Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Vector spaces of entire functions of unbounded type

Let E be an infinite dimensional complex Banach space. We prove the existence of an infinitely generated algebra, an infinite dimensional closed subspace and a dense subspace of entire functions on E whose non-zero elements are functions of unbounded type. We also show that the τδ topology on the space of all holomorphic functions cannot be obtained as a countable inductive limit of Fr´echet spaces. RESUMEN. Sea E un espacio de Banach complejo de dimensión infinita y sea H(E) el espacio de funciones holomorfas definidas en E. En el artículo se demuestra la existencia de un álgebra infinitamente generada en H(E), un subespacio vectorial en H(E) cerrado de dimensión infinita y un subespacio denso en H(E) cuyos elementos no nulos son funciones de tipo no acotado. También se demuestra que el espacio de funciones holomorfas con la topología ? no es un límite inductivo numberable de espacios de Fréchet.

Geometrical logarithmic and trigonometric hypercomplex functions of quaternionic type

Quaternionic theory has greatly been developed in recent years [1-12]. Thus, in our view, the study of trigonometric and logarithmic type quaternionic functions is important for the determination and realization of a hyper complex theory. In this paper, we intend to give a geometrical foundation for both logarithmic and trigonometric hyper complex functions based on the exponential function of quaternionic type recently introduced by Borges, Marão and Machado in their paper entitled Geometrical octonions II: Hyper regularity and hyper periodicity of the exponential function appearing. © 2011 Pushpa Publishing House.

Generalized Sobolev Spaces of Exponential Type Associated with the Dunkl Operators

2000 Mathematics Subject Classification: 35E45

Formules de quadrature pour les fonctions entières de type exponentiel

Ce mémoire contient quelques résultats sur l'intégration numérique. Ils sont liés à la célèbre formule de quadrature de K. F. Gauss. Une généralisation très intéressante de la formule de Gauss a été obtenue par P. Turán. Elle est contenue dans son article publié en 1948, seulement quelques années après la seconde guerre mondiale. Étant données les circonstances défavorables dans lesquelles il se trouvait à l'époque, l'auteur (Turán) a laissé beaucoup de détails à remplir par le lecteur. Par ailleurs, l'article de Turán a inspiré une multitude de recherches; sa formule a été étendue de di érentes manières et plusieurs articles ont été publiés sur ce sujet. Toutefois, il n'existe aucun livre ni article qui contiennent un compte-rendu détaillé des résultats de base, relatifs à la formule de Turán. Je voudrais donc que mon mémoire comporte su samment de détails qui puissent éclairer le lecteur tout en présentant un exposé de ce qui a été fait sur ce sujet. Voici comment nous avons organisé le contenu de ce mémoire. 1-a. La formule de Gauss originale pour les polynômes - L'énoncé ainsi qu'une preuve. 1-b. Le point de vue de Turán - Compte-rendu détaillé des résultats de son article. 2-a. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Gauss. 2-b. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Turán. 3-a. Deux formules pour les fonctions entières de type exponentiel, analogues à celle de Gauss pour les polynômes. 3-b. Une formule pour les fonctions entières de type exponentiel, analogue à celle de Turán. 4-a. Annexe A - Notions de base sur les polynômes de Legendre. 4-b. Annexe B - Interpolation polynomiale. 4-c. Annexe C - Notions de base sur les fonctions entières de type exponentiel. 4-d. Annexe D - L'article de P. Turán.

On real analytic functions of unbounded type

In this paper we prove several results on the existence of analytic functions on an infinite dimensional real Banach space which are bounded on some given collection of open sets and unbounded on others. In addition, we also obtain results on the density of some subsets of the space of all analytic functions for natural locally convex topologies on this space. RESUMEN. Los autores demuestran varios resultados de existencia de funciones analíticas en espacios de Banach reales de dimensión infinita que están acotadas en un colección de subconjuntos abiertos y no acotadas en los conjuntos de otra colección. Además, se demuestra la densidad de ciertos subconjuntos de funciones analíticas para varias topologías localmente convexas.

Exponential approximation in the norms and semi-norms

The deviations of some entire functions of exponential type from real-valued functions and their derivatives are estimated. As approximation metrics we use the Lp-norms and power variations on R. Theorems presented here correspond to the Ganelius and Popov results concerning the one-sided trigonometric approximation of periodic functions (see [4, 5 and 8]). Some related facts were announced in [2, 3, 6 and 7].

Sur les comportements locaux de polynômes et polynômes trigonométriques

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Inversion of analytic characteristic functions and infinite convolutions of exponential and Laplace densities

This paper shows that certain quotients of entire functions are characteristic functions. Under some conditions, we provide expressions for the densities of such characteristic functions which turn out to be generalized Dirichlet series which in turn can be expressed as an infinite linear combination of exponential or Laplace densities. We apply these results to several examples.

Functions of the human papillomavirus type 16 E4 protein

1. Abstract Cervical cancer is thought to be the consequence of infection by human papillomaviruses (HPV). In the majority of cases, DNA from HPV type 16 (HPV16) is found in malignant cervical lesions. The initial steps leading to transformation of an infected cell are not clearly understood but in most cases, disruption and integration of the episomal viral DNA must take place. As a consequence, the E2 and E4 genes are usually not expressed whereas the E6 and E7 oncogenes are highly expressed. However, in a normal infection in which the viral DNA is maintained as an episome, all viral genes are expressed. The pattern according to which the viral proteins are made, and therefore the life cycle of the virus, is tightly linked to the differentiation process of the host keratinocyte. The study of the viral oncogenes E6 and E7 has revealed crucial functions in the process of malignant transformation such as degradation of the p53 tumor suppressor protein, deregulation of the Retinoblastoma protein pathway and activation of the telomerase ribonucleoprotein. All these steps are necessary for cancerous lesions to develop. However, the loss of the E2 gene product seems to be necessary for sufficient expression of E6 and E7 in order to achieve such effects. In normal infections, the E4 protein is made abundantly in the later stages of the viral life cycle. Though extensive amounts of work have been carried out to define the function of E4, it still remains unclear. In this study, several approaches have been used to try and determine the functions of E4. First, a cell-penetrating fusion protein was designed and produced in order to circumvent the chronic difficulties of expressing E4 in mammalian cells. Unfortunately, this approach was not successful due to precipitation of the purified fusion protein. Second, the observation that E4 accumulates in cells having modified their adhesion properties led to the hypothesis that E4 might be involved in the differentiation process of keratinocytes. Preliminary results suggest that E4 triggers differentiation. Last, as E4 has been reported to collapse the cytokeratin network of keratinocytes, a direct approach using atomic force microscopy has allowed us to test the potential modification of mechanical properties of cells harboring reorganized cytokeratin networks. If so, a potential role for E4 in viral particle release could be hypothesized. 2. Résumé Il a été établi que le cancer du col de l'utérus se développe essentiellement à la suite d'une infection par le virus du papillome humain (HPV). Dans la majorité des cas analysés, de l'ADN du HPV de type 16 (HPV16) est détecté. Les étapes initiales de la transformation d'une cellule infectée sont mal connues mais il semble qu'une rupture du génome viral, normalement épisomal, suivi d'une intégration dans le génome de la cellule hôte soient des étapes nécessaires dans la plupart des cas. Or il semble qu'il y ait une sélection pour les cas où l'expression des oncogènes viraux E6 et E7 soit favorisée alors que l'expression des gènes E2 et E4 est en général impossible. Par contre, dans une infection dite normale où le génome viral n'est pas rompu, il n'y pas développement de cancer et tous les gènes viraux sont exprimés. L'ordre dans lequel les protéines virales sont produites, et donc le cycle de réplication du virus, est intimement lié au processus de différentiation de la cellule hôte. L'étude des protéines oncogènes E6 et E7 a révélé des fonctions clés dans le processus de transformation des cellules infectées telles que la dégradation du suppresseur de tumeur p53, la dérégulation de la voie de signalisation Rb ainsi que l'activation de la télomérase. Toutes ces activités sont nécessaires au développement de lésions cancéreuses. Toutefois, il semble que l'expression du gène E2 doit être empêchée afin que suffisamment des protéines E6 et E7 soient produites. Lorsque le gène E2 est exprimé, et donc lorsque le génome viral n'est pas rompu, les protéines E6 et E7 n'entraînent pas de telles conséquences. Le gène E4, qui se trouve dans la séquence codante de E2, a aussi besoin d'un génome viral intact pour être exprimé. Dans une infection normale, le gène E4 est exprimé abondamment dans les dernières étapes de la réplication du virus. Bien que de nombreuses études aient été menées afin de déterminer la fonction virale à E4, aucun résultat n'apparaît évident. Dans ce travail, plusieurs approches ont été utilisées afin d'adresser cette question. Premièrement, une protéine de fusion TAT-E4 a été produite et purifiée. Cette protéine, pouvant entrer dans les cellules vivantes par diffusion au travers de la membrane plasmique, aurait permis d'éviter ainsi les problèmes chroniques rencontrés lors de l'expression de E4 dans les cellules mammifères. Malheureusement, cette stratégie n'a pas pu être utilisée à cause de la précipitation de la protéine purifiée. Ensuite, l'observation que E4 s'accumule dans les cellules ayant modifié leurs propriétés d'adhésion a suggéré que E4 pourrait être impliqué dans le procédé de différentiation des kératinocytes. Des résultats préliminaires supportent cette possibilité. Enfin, il a été montré que E4 pouvait induire une réorganisation du réseau des cytokératines. Une approche directe utilisant le microscope à force atomique nous a ainsi permis de tester une potentielle modification des propriétés mécaniques de cellules ayant modifié leur réseau de cytokératines en présence de E4. Si tel est le cas, un rôle dans la libération de particules virales peut être proposé pour E4.

Laguerre polynomials as Jensen polynomials of Laguerre-Polya entire functions

We prove that the only Jensen polynomials associated with an entire function in the Laguerre-Polya class that are orthogonal are the Laguerre polynomials. (C) 2009 Elsevier B.V. All rights reserved.

Schur-SzegA composition of entire functions

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Conjectures and theorems in the theory of entire functions

Motivated by the recent solution of Karlin's conjecture, properties of functions in the Laguerre-Polya class are investigated. The main result of this paper establishes new moment inequalities fur a class of entire functions represented by Fourier transforms. The paper concludes with several conjectures and open problems involving the Laguerre-Polya class and the Riemann xi -function.

Analytical optimization of spread and change of exponential decay of generalized Wannier functions in one dimension

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)