Foundations of stochastic geometry and theory of random sets

The first section of this chapter starts with the Buffon problem, which is one of the oldest in stochastic geometry, and then continues with the definition of measures on the space of lines. The second section defines random closed sets and related measurability issues, explains how to characterize distributions of random closed sets by means of capacity functionals and introduces the concept of a selection. Based on this concept, the third section starts with the definition of the expectation and proves its convexifying effect that is related to the Lyapunov theorem for ranges of vector-valued measures. Finally, the strong law of large numbers for Minkowski sums of random sets is proved and the corresponding limit theorem is formulated. The chapter is concluded by a discussion of the union-scheme for random closed sets and a characterization of the corresponding stable laws.

Dimension Distortion by Sobolev Mappings in Foliated Metric Spaces

We quantify the extent to which a supercritical Sobolev mapping can increase the dimension of subsets of its domain, in the setting of metric measure spaces supporting a Poincaré inequality. We show that the set of mappings that distort the dimensions of sets by the maximum possible amount is a prevalent subset of the relevant function space. For foliations of a metric space X defined by a David–Semmes regular mapping Π : X → W, we quantitatively estimate, in terms of Hausdorff dimension in W, the size of the set of leaves of the foliation that are mapped onto sets of higher dimension. We discuss key examples of such foliations, including foliations of the Heisenberg group by left and right cosets of horizontal subgroups.

The effect of projections on dimension in the Heisenberg group

We prove analogs of classical almost sure dimension theorems for Euclidean projection mappings in the first Heisenberg group, equipped with a sub-Riemannian metric.

Correlation between broiler lameness and anatomical measurements of bone using radiographical projections with assessments of consistency across and within radiographs.

Lameness represents a major welfare and production issue in the poultry industry with a recent survey estimating 27% of birds lame and 3% unable to walk by 40 d of age. A variety of factors may induce lameness and are typically grouped into 2 broad classes on the basis of being infectious or skeletal in nature with the latter accounting for the majority of cases. The current work sought to build upon a large body of literature assessing the anatomical properties of bone in lame birds. Our specific objectives sought to identify relationships between relevant anatomical properties of the tibia and metatarsus using digital quantification from radiographs of legs and a measure of walking difficulty. Resulting output was statistically analyzed to assess 1) observer reliability for consistency in placing the leg during the radiograph procedure and quantification of the various measures within a radiograph, 2) the relationship between the various measurements of anatomical bone properties and sex, bird mass, and gait score, and 3) the relationship between each measurement and leg symmetry. Our anatomical bone measures were found to be reliable (intra-rater and test-retest reliabilities < 0.75) within radiograph for all measures and 8 of the 10 measures across radiographs. Several measures of bone properties in the tibia correlated to difficulty walking as measured by gait score (P < 0.05), indicating greater angulations with increasing lameness. Of the measures that manifested a gait score × bird mass interaction, heavier birds appeared to exhibit less angulation with increasing difficulty walking with lighter birds the opposite. These interactions suggest possibilities for influencing effects of activity or feed intake on bone mineralization with the bone angulation observed. Our efforts agree with that of others and indicate that angulation of the tibia may be related to lameness, though subsequent efforts involving comprehensive measures of bird activity, growth rates, and internal bone structure will be needed if the validity of the measures are to be accepted.

An Ensemble Kalman Filter multi-tracer assimilation: Determining uncertain ocean model parameters for improved climate-carbon cycle projections

An Ensemble Kalman Filter is applied to assimilate observed tracer fields in various combinations in the Bern3D ocean model. Each tracer combination yields a set of optimal transport parameter values that are used in projections with prescribed CO2 stabilization pathways. The assimilation of temperature and salinity fields yields a too vigorous ventilation of the thermocline and the deep ocean, whereas the inclusion of CFC-11 and radiocarbon improves the representation of physical and biogeochemical tracers and of ventilation time scales. Projected peak uptake rates and cumulative uptake of CO2 by the ocean are around 20% lower for the parameters determined with CFC-11 and radiocarbon as additional target compared to those with salinity and temperature only. Higher surface temperature changes are simulated in the Greenland–Norwegian–Iceland Sea and in the Southern Ocean when CFC-11 is included in the Ensemble Kalman model tuning. These findings highlights the importance of ocean transport calibration for the design of near-term and long-term CO2 emission mitigation strategies and for climate projections.

Oxygen and indicators of stress for marine life in multi-model global warming projections

Decadal-to-century scale trends for a range of marine environmental variables in the upper mesopelagic layer (UML, 100–600 m) are investigated using results from seven Earth System Models forced by a high greenhouse gas emission scenario. The models as a class represent the observation-based distribution of oxygen (O2) and carbon dioxide (CO2), albeit major mismatches between observation-based and simulated values remain for individual models. By year 2100 all models project an increase in SST between 2 °C and 3 °C, and a decrease in the pH and in the saturation state of water with respect to calcium carbonate minerals in the UML. A decrease in the total ocean inventory of dissolved oxygen by 2% to 4% is projected by the range of models. Projected O2 changes in the UML show a complex pattern with both increasing and decreasing trends reflecting the subtle balance of different competing factors such as circulation, production, remineralization, and temperature changes. Projected changes in the total volume of hypoxic and suboxic waters remain relatively small in all models. A widespread increase of CO2 in the UML is projected. The median of the CO2 distribution between 100 and 600m shifts from 0.1–0.2 mol m−3 in year 1990 to 0.2–0.4 mol m−3 in year 2100, primarily as a result of the invasion of anthropogenic carbon from the atmosphere. The co-occurrence of changes in a range of environmental variables indicates the need to further investigate their synergistic impacts on marine ecosystems and Earth System feedbacks.

Transconvolution and the virtual positron emission tomograph--a new method for cross calibration in quantitative PET∕CT imaging

PURPOSE Positron emission tomography (PET)∕computed tomography (CT) measurements on small lesions are impaired by the partial volume effect, which is intrinsically tied to the point spread function of the actual imaging system, including the reconstruction algorithms. The variability resulting from different point spread functions hinders the assessment of quantitative measurements in clinical routine and especially degrades comparability within multicenter trials. To improve quantitative comparability there is a need for methods to match different PET∕CT systems through elimination of this systemic variability. Consequently, a new method was developed and tested that transforms the image of an object as produced by one tomograph to another image of the same object as it would have been seen by a different tomograph. The proposed new method, termed Transconvolution, compensates for differing imaging properties of different tomographs and particularly aims at quantitative comparability of PET∕CT in the context of multicenter trials. METHODS To solve the problem of image normalization, the theory of Transconvolution was mathematically established together with new methods to handle point spread functions of different PET∕CT systems. Knowing the point spread functions of two different imaging systems allows determining a Transconvolution function to convert one image into the other. This function is calculated by convolving one point spread function with the inverse of the other point spread function which, when adhering to certain boundary conditions such as the use of linear acquisition and image reconstruction methods, is a numerically accessible operation. For reliable measurement of such point spread functions characterizing different PET∕CT systems, a dedicated solid-state phantom incorporating (68)Ge∕(68)Ga filled spheres was developed. To iteratively determine and represent such point spread functions, exponential density functions in combination with a Gaussian distribution were introduced. Furthermore, simulation of a virtual PET system provided a standard imaging system with clearly defined properties to which the real PET systems were to be matched. A Hann window served as the modulation transfer function for the virtual PET. The Hann's apodization properties suppressed high spatial frequencies above a certain critical frequency, thereby fulfilling the above-mentioned boundary conditions. The determined point spread functions were subsequently used by the novel Transconvolution algorithm to match different PET∕CT systems onto the virtual PET system. Finally, the theoretically elaborated Transconvolution method was validated transforming phantom images acquired on two different PET systems to nearly identical data sets, as they would be imaged by the virtual PET system. RESULTS The proposed Transconvolution method matched different PET∕CT-systems for an improved and reproducible determination of a normalized activity concentration. The highest difference in measured activity concentration between the two different PET systems of 18.2% was found in spheres of 2 ml volume. Transconvolution reduced this difference down to 1.6%. In addition to reestablishing comparability the new method with its parameterization of point spread functions allowed a full characterization of imaging properties of the examined tomographs. CONCLUSIONS By matching different tomographs to a virtual standardized imaging system, Transconvolution opens a new comprehensive method for cross calibration in quantitative PET imaging. The use of a virtual PET system restores comparability between data sets from different PET systems by exerting a common, reproducible, and defined partial volume effect.

Eye examining instrument

An eye examining instrument comprises a projection device and a concave screen. The eye examining instrument furthermore comprises a convex reflector, wherein an image can be projected by the projection device onto the convex reflector and reflected by the convex reflector onto the concave screen.

Schmiede ─ Heiligtum ─ Wassermühle. Cham-Hagendorn (Kanton Zug) in römischer Zeit. Ausgrabungen 1944/45 und 2003/04

1944/1945 wurde in Cham-Hagendorn eine Wassermühle ausgegraben, die dank ihrer aussergewöhnlich guten Holzerhaltung seit langem einen prominenten Platz in der Forschung einnimmt. 2003 und 2004 konnte die Kantonsarchäologie Zug den Platz erneut archäologisch untersuchen. Dabei wurden nicht nur weitere Reste der Wassermühle, sondern auch Spuren älterer und jüngerer Anlagen geborgen: eine ältere und eine jüngere Schmiedewerkstatt (Horizont 1a/Horizont 3) sowie ein zweiphasiges Heiligtum (Horizonte 1a/1b). All diese Anlagen lassen sich nun in das in den neuen Grabungen erkannte stratigraphische Gerüst einhängen (s. Beil. 2). Dank der Holzerhaltung können die meisten Phasen dendrochronologisch datiert werden (s. Abb. 4.1/1a): Horizont 1a mit Schlagdaten zwischen 162(?)/173 und 200 n. Chr., Horizont 1b um 215/218 n. Chr. und Horizont 2 um 231 n. Chr. Ferner konnten in den neuen Grabungen Proben für mikromorphologische und archäobotanische Untersuchungen entnommen werden (Kap. 2.2; 3.11). In der vorliegenden Publikation werden der Befund und die Baustrukturen vorgelegt, (Kap. 2), desgleichen sämtliche stratifizierten Funde und eine umfassende Auswahl der 1944/1945 geborgenen Funde (Kap. 3). Dank anpassender Fragmente, sog. Passscherben, lassen sich diese zum Teil nachträglich in die Schichtenabfolge einbinden. Die mikromorphologischen und die archäobotanischen Untersuchungen (Kap. 2.2; 3.11) zeigen, dass der Fundplatz in römischer Zeit inmitten einer stark vom Wald und dem Fluss Lorze geprägten Landschaft lag. In unmittelbarer Nähe können weder eine Siedlung noch einzelne Wohnbauten gelegen haben. Die demnach nur gewerblich und sakral genutzten Anlagen standen an einem Bach, der vermutlich mit jenem Bach identisch ist, der noch heute das Groppenmoos entwässert und bei Cham-Hagendorn in die Lorze mündet (s. Abb. 2.4/1). Der antike Bach führte wiederholt Hochwasser ─ insgesamt sind fünf grössere Überschwemmungsphasen auszumachen (Kap. 2.2; 2.4). Wohl anlässlich eines Seehochstandes durch ein Überschwappen der Lorze in den Bach ausgelöst, müssen diese Überschwemmungen eine enorme Gewalt entwickelt haben, der die einzelnen Anlagen zum Opfer fielen. Wie die Untersuchung der Siedlungslandschaft römischer Zeit rund um den Zugersee wahrscheinlich macht (Kap. 6 mit Abb. 6.2/2), dürften die Anlagen von Cham-Hagendorn zu einer in Cham-Heiligkreuz vermuteten Villa gehören, einem von fünf grösseren Landgütern in diesem Gebiet. Hinweise auf Vorgängeranlagen fehlen, mit denen die vereinzelten Funde des 1. Jh. n. Chr. (Kap. 4.5) in Verbindung gebracht werden könnten. Diese dürften eher von einer der Überschwemmungen bachaufwärts weggerissen und nach Cham-Hagendorn eingeschwemmt worden sein. Die Nutzung des Fundplatzes (Horizont 1a; s. Beil. 6) setzte um 170 n. Chr. mit einer Schmiedewerkstatt ein (Kap. 2.5.1). Der Fundanfall, insbesondere die Schmiedeschlacken (Kap. 3.9) belegen, dass hier nur hin und wieder Geräte hergestellt und repariert wurden (Kap. 5.2). Diese Werkstatt war vermutlich schon aufgelassen und dem Verfall preisgegeben, als man 200 n. Chr. (Kap. 4.2.4) auf einer Insel zwischen dem Bach und einem Lorzearm ein Heiligtum errichtete (Kap. 5.3). Beleg für den sakralen Status dieser Insel ist in erster Linie mindestens ein eigens gepflanzter Pfirsichbaum, nachgewiesen mit Pollen, einem Holz und über 400 Pfirsichsteinen (Kap. 3.11). Die im Bach verlaufende Grenze zwischen dem sakralen Platz und der profanen Umgebung markierte man zusätzlich mit einer Pfahlreihe (Kap. 2.5.3). In diese war ein schmaler Langbau integriert (Kap. 2.5.2), der an die oft an Temenosmauern antiker Heiligtümer angebauten Portiken erinnert und wohl auch die gleiche Funktion wie diese gehabt hatte, nämlich das Aufbewahren von Weihegaben und Kultgerät (Kap. 5.3). Das reiche Fundmaterial, das sich in den Schichten der ersten Überschwemmung fand (s. Abb. 5./5), die um 205/210 n. Chr. dieses Heiligtum zerstört hatte, insbesondere die zahlreiche Keramik (Kap. 3.2.4), und die zum Teil auffallend wertvollen Kleinfunde (Kap. 3.3.3), dürften zum grössten Teil einst in diesem Langbau untergebracht gewesen sein. Ein als Glockenklöppel interpretiertes, stratifiziertes Objekt spricht dafür, dass die fünf grossen, 1944/1945 als Stapel aufgefundenen Eisenglocken vielleicht auch dem Heiligtum zuzuweisen sind (Kap. 3.4). In diesen Kontext passen zudem die überdurchschnittlich häufig kalzinierten Tierknochen (Kap. 3.10). Nach der Überschwemmung befestigte man für 215 n. Chr. (Kap. 4.2.4) das unterspülte Bachufer mit einer Uferverbauung (Kap. 2.6.1). Mit dem Bau eines weiteren, im Bach stehenden Langbaus (Kap. 2.6.2) stellte man 218 n. Chr. das Heiligtum auf der Insel in ähnlicher Form wieder her (Horizont 1b; s. Beil. 7). Von der Pfahlreihe, die wiederum die sakrale Insel von der profanen Umgebung abgrenzte, blieben indes nur wenige Pfähle erhalten. Dennoch ist der sakrale Charakter der Anlage gesichert. Ausser dem immer noch blühenden Pfirsichbaum ist es ein vor dem Langbau aufgestelltes Ensemble von mindestens 23 Terrakottafigurinen (s. Abb. 3.6/1), elf Veneres, zehn Matres, einem Jugendlichen in Kapuzenmantel und einem kindlichen Risus (Kap. 3.6; s. auch Kap. 2.6.3). In den Sedimenten der zweiten Überschwemmung, der diese Anlage um 225/230 n. Chr. zum Opfer gefallen war, fanden sich wiederum zahlreiche Keramikgefässe (Kap. 3.2.4) und zum Teil wertvolle Kleinfunde wie eine Glasperle mit Goldfolie (Kap. 3.8.2) und eine Fibel aus Silber (Kap. 3.3.3), die wohl ursprünglich im Langbau untergebracht waren (Kap. 5.3.2 mit Abb. 5/7). Weitere Funde mit sicherem oder möglichem sakralem Charakter finden sich unter den 1944/1945 geborgenen Funden (s. Abb. 5/8), etwa ein silberner Fingerring mit Merkurinschrift, ein silberner Lunula-Anhänger, eine silberne Kasserolle (Kap. 3.3.3), eine Glasflasche mit Schlangenfadenauflage (Kap. 3.8.2) und einige Bergkristalle (Kap. 3.8.4). Im Bereich der Terrakotten kamen ferner mehrere Münzen (Kap. 3.7) zum Vorschein, die vielleicht dort niedergelegt worden waren. Nach der zweiten Überschwemmung errichtete man um 231 n. Chr. am Bach eine Wassermühle (Horizont 2; Kap. 2.7; Beil. 8; Abb. 2.7/49). Ob das Heiligtum auf der Insel wieder aufgebaut oder aufgelassen wurde, muss mangels Hinweisen offen bleiben. Für den abgehobenen Zuflusskanal der Wassermühle verwendete man mehrere stehen gebliebene Pfähle der vorangegangenen Anlagen der Horizonte 1a und 1b. Obwohl die Wassermühle den 28 jährlichen Überschwemmungshorizonten (Kap. 2.2) und den Funden (Kap. 4.3.2; 4.4.4; 45) zufolge nur bis um 260 n. Chr., während gut einer Generation, bestand, musste sie mindestens zweimal erneuert werden – nachgewiesen sind drei Wasserräder, drei Mühlsteinpaare und vermutlich drei Podeste, auf denen jeweils das Mahlwerk ruhte. Grund für diese Umbauten war wohl der weiche, instabile Untergrund, der zu Verschiebungen geführt hatte, so dass das Zusammenspiel von Wellbaum bzw. Sternnabe und Übersetzungsrad nicht mehr funktionierte und das ganze System zerbrach. Die Analyse von Pollen aus dem Gehhorizont hat als Mahlgut Getreide vom Weizentyp nachgewiesen (Kap. 3.11.4). Das Abzeichen eines Benefiziariers (Kap. 3.3.2 mit Abb. 3.3/23,B71) könnte dafür sprechen, dass das verarbeitete Getreide zumindest zum Teil für das römische Militär bestimmt war (s. auch Kap. 6.2.3). Ein im Horizont 2 gefundener Schreibgriffel und weitere stili sowie eine Waage für das Wägen bis zu 35-40 kg schweren Waren aus dem Fundbestand von 1944/1945 könnten davon zeugen, dass das Getreide zu wägen und zu registrieren war (Kap. 3.4.2). Kurz nach 260 n. Chr. fiel die Wassermühle einem weiteren Hochwasser zum Opfer. Für den folgenden Horizont 3 (Beil. 9) brachte man einen Kiesboden ein und errichtete ein kleines Gebäude (Kap. 2.8). Hier war wohl wiederum eine Schmiede untergebracht, wie die zahlreichen Kalottenschlacken belegen (Kap. 3.9), die im Umfeld der kleinen Baus zum Vorschein kamen. Aufgrund der Funde (Kap. 4.4.4; 4.5) kann diese Werkstatt nur kurze Zeit bestanden haben, höchstens bis um 270 n. Chr., bevor sie einem weiteren Hochwasser zum Opfer fiel. Von der jüngsten Anlage, die wohl noch in römische Zeit datiert (Horizont 4; Beil. 10), war lediglich eine Konstruktion aus grossen Steinplatten zu fassen (Kap. 2.9.1). Wozu sie diente, muss offen bleiben. Auch der geringe Fundanfall spricht dafür, dass die Nutzung des Platzes, zumindest für die römische Zeit, allmählich ein Ende fand (Kap. 4.5). Zu den jüngsten Strukturen gehören mehrere Gruben (Kap. 2.9.2), die vielleicht der Lehmentnahme dienten. Mangels Funden bleibt ihre Datierung indes ungewiss. Insbesondere wissen wir nicht, ob sie noch in römische Zeit datieren oder jünger sind. Spätestens mit der fünften Überschwemmung, die zur endgültigen Verlandung führte und wohl schon in die frühe Neuzeit zu setzen ist, wurde der Platz aufgelassen und erst mit dem Bau der bestehenden Fensterfabrik Baumgartner wieder besetzt.

Local Stereology of Tensors of Convex Bodies

In this paper, we present local stereological estimators of Minkowski tensors defined on convex bodies in ℝ d . Special cases cover a number of well-known local stereological estimators of volume and surface area in ℝ3, but the general set-up also provides new local stereological estimators of various types of centres of gravity and tensors of rank two. Rank two tensors can be represented as ellipsoids and contain information about shape and orientation. The performance of some of the estimators of centres of gravity and volume tensors of rank two is investigated by simulation.

Applications of random set theory in econometrics

In recent years, the econometrics literature has shown a growing interest in the study of partially identified models, in which the object of economic and statistical interest is a set rather than a point. The characterization of this set and the development of consistent estimators and inference procedures for it with desirable properties are the main goals of partial identification analysis. This review introduces the fundamental tools of the theory of random sets, which brings together elements of topology, convex geometry, and probability theory to develop a coherent mathematical framework to analyze random elements whose realizations are sets. It then elucidates how these tools have been fruitfully applied in econometrics to reach the goals of partial identification analysis.

A Convex Solution to Disparity Estimation from Light Fields via the Primal-Dual Method

We present a novel approach to the reconstruction of depth from light field data. Our method uses dictionary representations and group sparsity constraints to derive a convex formulation. Although our solution results in an increase of the problem dimensionality, we keep numerical complexity at bay by restricting the space of solutions and by exploiting an efficient Primal-Dual formulation. Comparisons with state of the art techniques, on both synthetic and real data, show promising performances.