Symplectic Lagrangian fibrations

In this work we investigate the deformation theory of pairs of an irreducible symplectic manifold X together with a Lagrangian subvariety Y in X, where the focus is on singular Lagrangian subvarieties. Among other things, Voisin's results [Voi92] are generalized to the case of simple normal crossing subvarieties; partial results are also obtained for more complicated singularities.rnAs done in Voisin's article, we link the codimension of the subspace of the universal deformation space of X parametrizing those deformations where Y persists, to the rank of a certain map in cohomology. This enables us in some concrete cases to actually calculate or at least estimate the codimension of this particular subspace. In these cases the Lagrangian subvarieties in question occur as fibers or fiber components of a given Lagrangian fibration f : X --> B. We discuss examples and the question of how our results might help to understand some aspects of Lagrangian fibrations.

Logarithmically smooth deformations of strict normal crossing logarithmically symplectic varieties

In this thesis we give a definition of the term logarithmically symplectic variety; to be precise, we distinguish even two types of such varieties. The general type is a triple $(f,nabla,omega)$ comprising a log smooth morphism $fcolon Xtomathrm{Spec}kappa$ of log schemes together with a flat log connection $nablacolon LtoOmega^1_fotimes L$ and a ($nabla$-closed) log symplectic form $omegainGamma(X,Omega^2_fotimes L)$. We define the functor of log Artin rings of log smooth deformations of such varieties $(f,nabla,omega)$ and calculate its obstruction theory, which turns out to be given by the vector spaces $H^i(X,B^bullet_{(f,nabla)}(omega))$, $i=0,1,2$. Here $B^bullet_{(f,nabla)}(omega)$ is the class of a certain complex of $mathcal{O}_X$-modules in the derived category $mathrm{D}(X/kappa)$ associated to the log symplectic form $omega$. The main results state that under certain conditions a log symplectic variety can, by a flat deformation, be smoothed to a symplectic variety in the usual sense. This may provide a new approach to the construction of new examples of irreducible symplectic manifolds.

Lagrange-Singularitäten

In dieser Arbeit wird eine Deformationstheorie fürLagrange-Singularitäten entwickelt. Wir definieren einen Komplex von Moduln mit nicht-linearem Differential, densogenannten Lagrange-de Rham-Komplex, dessen ersteKohomologie isomorph zum Raum der infinitesimalenLagrange-Deformationen ist. Wir beschreiben die Beziehung diesesKomplexes zur Theorie der Moduln über dem Ring vonDifferentieloperatoren. Informationen zur Obstruktionstheorie vonLagrange-Deformationen werden aus derzweiten Kohomologie des Lagrange-de Rham-Komplexes gewonnen.Wir zeigen, dass unter einer geometrischen Bedingung an dieSingularität ie Kohomologie von des Lagrange-deRham-Komplexes ausendlich dimensionalen Vektorräumen besteht. Desweiteren wirdeine Methode zur effektiven Berechnung dieser Kohomologie fürquasi-homogene Lagrange-Flächensingularitäten entwickelt. UnterZuhilfenahme von Computeralgebra wird diese Methode für konkreteBeispiele angewendet.

Shape fabric development during progressive deformation

Zusammenfassung:Das Ziel dieser Arbeit ist ein besseres Verständnis von der Art und Weise wie sich Formregelungsgefüge entwicklen. Auf dieser Basis wird der Nutzen von Formregelungsgefügen für die Geologie evaluiert. Untersuchungsmethoden sind Geländearbeit und -auswertung, numerische Simulationen und Analogexperimente. Untersuchungen an Formregelungsgefügen in Gesteinen zeigen, daß ein Formregelungsgefüge nur zu einem begrenzten Grad als Anzeiger für die Stärke der Verformung benutzt werden kann. Der angenommene Grund hierfür ist der Einfluß des Verhältnisses von ursprünglicher zu rekristallisierter Korngröße auf die Gefügeentwicklung und von der Art und Weise wie dynamische Rekristallisation ein Gefüge verändert. Um diese Beobachtung zu evaluieren, wurden verschiedene numerische Simulationen von dynamischer Rekristallisation durchgeführt. Ein neuer Deformationsapparat, mit dem generelle Fließregime modelliert werden können, wurde entwickelt. Die rheologischen Eigenschaften von Materialien, die für solche Experimente benutzt werden, wurden untersucht und diskutiert. Ergebnisse von Analogexperimenten zeigen, daß die Intensität eines Formregelungsgefüges positiv mit der Abnahme der 'kinematic vorticity number' und einem nicht-Newtonianischen, 'power law' Verhalten des Materixmaterials korreliert ist. Experimente, in denen die Formveränderung von viskosen Einschlüssen während der progressiven Verformung modelliert werden, zeigen, daß verschiedene Viskositätskontraste zwischen Matrix- und Einschlußmaterial in charakteristische Formgefüge resultieren.

Quantification of deformation processes in the Torlesse accretionary wedge, New Zealand

Zusammenfassung:In dieser Studie werden Deformationsprozesse im mesozoischen Torlesse Akkretionskeil (Neuseeland) quantifiziert, um Aufschluß über die Dynamik in Akkretionskeilen zu erhalten. Absolute und relative Verformungsmessungen zeigen sowohl im lokalen als auch regionalen Maßstab eine stark heterogene Deformation des Torlesse Keils. Die regionale Deformation wurde mit Hilfe einer Tensordurchschnittsberechnung, unter Benutzung einzelner lokaler Verformungsdaten, als uniaxiale Verkürzung entlang einer subvertikalen, maximalen Verkürzungsachse charakterisiert. Absolute Verformungsmessungen an niedriggradigen Metasandsteinen belegen darüber hinaus durchschnittliche Volumenverluste von ca. 20% SiO2. Volumenveränderungen in tieferkrustalen Aufschlüssen wurden mittels einer geochemischen Massenbilanzanalyse abgeschätzt. Chemische Zusammensetzungen höhergradiger Zonen weichen je nach Grad der Volumenverformung von der Protolitzusammensetzung ab und zeigen somit Verluste von 15% SiO2 an. Da Speicherorte für das gelöste Material nicht bekannt sind, muss angenommen werden, dass das Material aus dem Keil abtransportiert wurde. Die Verformungsergebnisse geben weiterhin Aufschluß über den Grad der Kopplung zwischen Akkretionskeil und subduzierter Platte. Die ermittelten Scherwerte in den Gesteinen liegen deutlich unter den zu erwartenden Scherwerten, die mittels eines einfachen Modells berechnet wurden, das sowohl verschiedene Konvergenzgeschwindigkeiten als auch Exhumierungsraten berücksichtigt. Dies belegt, dass der Torlesse Keil stark von der subduzierten pazifischen Platte entkoppelt war und die Deformation hauptsächlich durch den Fluß der Sedimente in und aus dem Keil bestimmt wurde.

Numerical loop calculations with contour deformation

Gegenstand dieser Arbeit ist die nummerische Berechnung von Schleifenintegralen welche in höheren Ordnungen der Störungstheorie auftreten.rnAnalog zur reellen Emission kann man auch in den virtuellen Beiträgen Subtraktionsterme einführen, welche die kollinearen und soften Divergenzen des Schleifenintegrals entfernen. Die Phasenraumintegration und die Schleifenintegration können dann in einer einzigen Monte Carlo Integration durchgeführt werden. In dieser Arbeit zeigen wir wie eine solche numerische Integration unter zu Hilfenahme einer Kontourdeformation durchgeführt werden kann. Ausserdem zeigen wir wie man die benötigeten Integranden mit Rekursionsformeln berechnen kann.

The geometry of Lagrangian fibres

If the generic fibre f−1(c) of a Lagrangian fibration f : X → B on a complex Poisson– variety X is smooth, compact, and connected, it is isomorphic to the compactification of a complex abelian Lie–group. For affine Lagrangian fibres it is not clear what the structure of the fibre is. Adler and van Moerbeke developed a strategy to prove that the generic fibre of a Lagrangian fibration is isomorphic to the affine part of an abelian variety.rnWe extend their strategy to verify that the generic fibre of a given Lagrangian fibration is the affine part of a (C∗)r–extension of an abelian variety. This strategy turned out to be successful for all examples we studied. Additionally we studied examples of Lagrangian fibrations that have the affine part of a ramified cyclic cover of an abelian variety as generic fibre. We obtained an embedding in a Lagrangian fibration that has the affine part of a C∗–extension of an abelian variety as generic fibre. This embedding is not an embedding in the category of Lagrangian fibrations. The C∗–quotient of the new Lagrangian fibration defines in a natural way a deformation of the cyclic quotient of the original Lagrangian fibration.

L-2-Kohomologie von Calabi-Yau-Familien über Kurven

Ist $f: X \to S$ eine glatte Familie von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Dimension $m$ über einer quasiprojektiven Kurve, so trägt nach einem Resultat von Zucker die erste $L^2$-Kohomologiegruppe $H^1_{(2)}(S, R^m f_* \mathbb{C}_X)$ eine reine Hodgestruktur vom Gewicht $m+1$. In dieser Arbeit berechnen wir die Hodgezahlen solcher Hodgestrukturen für $m= 1, 2, 3$ und verallgemeinern dabei Formeln aus einem Artikel von del Angel, Müller-Stach, van Straten und Zuo auf den Fall, in dem die lokalen Monodromiematrizen bei Unendlich nicht unipotent, sondern echt quasi-unipotent sind. Wir verwenden dazu den $L^2$-Higgs-Komplex nach Jost, Yang und Zuo. Für Familien von Kurven führt dies auf eine bereits bekannte Formel von Cox und Zucker. Schließlich wenden wir die Ergebnisse im Fall $m=3$ auf 14 Familien von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten an, die eine Rolle in der Spiegelsymmetrie spielen, sowie auf eine von Rohde konstruierte Familie ohne Punkte mit maximal unipotenter Monodromie.