Von nichtkommutativen Geometrien, ihren Symmetrien und etwas Hochenergiephysik

In den letzten fünf Jahren hat sich mit dem Begriff desspektralen Tripels eine Möglichkeit zur Beschreibungdes an Spinoren gekoppelten Gravitationsfeldes auf(euklidischen) nichtkommutativen Räumen etabliert. Die Dynamik dieses Gravitationsfeldes ist dabei durch diesogenannte spektrale Wirkung, dieSpur einer geeigneten Funktion des Dirac-Operators,bestimmt. Erstaunlicherweise kann man die vollständige Lagrange-Dichtedes (an das Gravitationsfeld gekoppelten) Standardmodellsder Elementarteilchenphysik, also insbesondere auch denmassegebenden Higgs-Sektor, als spektrale Wirkungeines entsprechenden spektralen Tripels ableiten. Diesesspektrale Tripel ist als Produkt des spektralenTripels der (kommutativen) Raumzeit mit einem speziellendiskreten spektralen Tripel gegeben. In der Arbeitwerden solche diskreten spektralen Tripel, die bis vorKurzem neben dem nichtkommutativen Torus die einzigen,bekannten nichtkommutativen Beispiele waren, klassifiziert. Damit kannnun auch untersucht werden, inwiefern sich dasStandardmodell durch diese Eigenschaft gegenüber anderenYang-Mills-Higgs-Theorien auszeichnet. Es zeigt sichallerdings, dasses - trotz mancher Einschränkung - eine sehr große Zahl vonModellen gibt, die mit Hilfe von spektralen Tripelnabgeleitet werden können. Es wäre aber auch denkbar, dass sich das spektrale Tripeldes Standardmodells durch zusätzliche Strukturen,zum Beispiel durch eine darauf ``isometrisch'' wirkendeHopf-Algebra, auszeichnet. In der Arbeit werden, um dieseFrage untersuchen zu können, sogenannte H-symmetrischespektrale Tripel, welche solche Hopf-Isometrien aufweisen,definiert.Dabei ergibt sich auch eine Möglichkeit, neue(H-symmetrische) spektrale Tripel mit Hilfe ihrerzusätzlichen Symmetrienzu konstruieren. Dieser Algorithmus wird an den Beispielender kommutativen Sphäre, deren Spin-Geometrie hier zumersten Mal vollständig in der globalen, algebraischen Sprache der NichtkommutativenGeometrie beschrieben wird, sowie dem nichtkommutativenTorus illustriert.Als Anwendung werden einige neue Beipiele konstruiert. Eswird gezeigt, dass sich für Yang-Mills Higgs-Theorien, diemit Hilfe von H-symmetrischen spektralen Tripeln abgeleitetwerden, aus den zusätzlichen Isometrien Einschränkungen andiefermionischen Massenmatrizen ergeben. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird kurz auf dieQuantisierung der spektralen Wirkung für diskrete spektraleTripel eingegangen.Außerdem wird mit dem Begriff des spektralen Quadrupels einKonzept für die nichtkommutative Verallgemeinerungvon lorentzschen Spin-Mannigfaltigkeiten vorgestellt.

Ein, zwei Punkte zu Nichtkommutativer Geometrie und Quantenfeldtheorie auf diskreten Räumen

Über viele Jahre hinweg wurden wieder und wieder Argumente angeführt, die diskreten Räumen gegenüber kontinuierlichen Räumen eine fundamentalere Rolle zusprechen. Unser Zugangzur diskreten Welt wird durch neuere Überlegungen der Nichtkommutativen Geometrie (NKG) bestimmt. Seit ca. 15Jahren gibt es Anstrengungen und auch Fortschritte, Physikmit Hilfe von Nichtkommutativer Geometrie besser zuverstehen. Nur eine von vielen Möglichkeiten ist dieReformulierung des Standardmodells derElementarteilchenphysik. Unter anderem gelingt es, auch denHiggs-Mechanismus geometrisch zu beschreiben. Das Higgs-Feld wird in der NKG in Form eines Zusammenhangs auf einer zweielementigen Menge beschrieben. In der Arbeit werden verschiedene Ziele erreicht:Quantisierung einer nulldimensionalen ,,Raum-Zeit'', konsistente Diskretisierungf'ur Modelle im nichtkommutativen Rahmen.Yang-Mills-Theorien auf einem Punkt mit deformiertemHiggs-Potenzial. Erweiterung auf eine ,,echte''Zwei-Punkte-Raum-Zeit, Abzählen von Feynman-Graphen in einer nulldimensionalen Theorie, Feynman-Regeln. Eine besondere Rolle werden Termini, die in derQuantenfeldtheorie ihren Ursprung haben, gewidmet. In diesemRahmen werden Begriffe frei von Komplikationen diskutiert,die durch etwaige Divergenzen oder Schwierigkeitentechnischer Natur verursacht werden könnten.Eichfixierungen, Geistbeiträge, Slavnov-Taylor-Identität undRenormierung. Iteratives Lösungsverfahren derDyson-Schwinger-Gleichung mit Computeralgebra-Unterstützung,die Renormierungsprozedur berücksichtigt.

Use of computer algebra in the calculation of Feynman diagrams

The increasing precision of current and future experiments in high-energy physics requires a likewise increase in the accuracy of the calculation of theoretical predictions, in order to find evidence for possible deviations of the generally accepted Standard Model of elementary particles and interactions. Calculating the experimentally measurable cross sections of scattering and decay processes to a higher accuracy directly translates into including higher order radiative corrections in the calculation. The large number of particles and interactions in the full Standard Model results in an exponentially growing number of Feynman diagrams contributing to any given process in higher orders. Additionally, the appearance of multiple independent mass scales makes even the calculation of single diagrams non-trivial. For over two decades now, the only way to cope with these issues has been to rely on the assistance of computers. The aim of the xloops project is to provide the necessary tools to automate the calculation procedures as far as possible, including the generation of the contributing diagrams and the evaluation of the resulting Feynman integrals. The latter is based on the techniques developed in Mainz for solving one- and two-loop diagrams in a general and systematic way using parallel/orthogonal space methods. These techniques involve a considerable amount of symbolic computations. During the development of xloops it was found that conventional computer algebra systems were not a suitable implementation environment. For this reason, a new system called GiNaC has been created, which allows the development of large-scale symbolic applications in an object-oriented fashion within the C++ programming language. This system, which is now also in use for other projects besides xloops, is the main focus of this thesis. The implementation of GiNaC as a C++ library sets it apart from other algebraic systems. Our results prove that a highly efficient symbolic manipulator can be designed in an object-oriented way, and that having a very fine granularity of objects is also feasible. The xloops-related parts of this work consist of a new implementation, based on GiNaC, of functions for calculating one-loop Feynman integrals that already existed in the original xloops program, as well as the addition of supplementary modules belonging to the interface between the library of integral functions and the diagram generator.

BCJ-relations in quantum field theory

BCJ-relations have a series of important consequences in Quantum FieldrnTheory and in Gravity. In QFT, one can use BCJ-relations to reduce thernnumber of independent colour-ordered partial amplitudes and to relate nonplanarrnand planar diagrams in loop calculations. In addition, one can usernBCJ-numerators to construct gravity scattering amplitudes through a squaringrn procedure. For these reasons, it is important to nd a prescription tornobtain BCJ-numerators without requiring a diagram by diagram approach.rnIn this thesis, after introducing some basic concepts needed for the discussion,rnI will examine the existing diagrammatic prescriptions to obtainrnBCJ-numerators. Subsequently, I will present an algorithm to construct anrneective Yang-Mills Lagrangian which automatically produces kinematic numeratorsrnsatisfying BCJ-relations. A discussion on the kinematic algebrarnfound through scattering equations will then be presented as a way to xrnnon-uniqueness problems in the algorithm.