Spectral theory of differential operators on finite metric graphs and on bounded domains

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Spektraltheorie von Differentialoperatoren auf metrischen Graphen und von indefiniten Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten. Sie besteht aus zwei Teilen. Im Ersten werden endliche, nicht notwendigerweise kompakte, metrische Graphen und die Hilberträume von quadratintegrierbaren Funktionen auf diesen betrachtet. Alle quasi-m-akkretiven Laplaceoperatoren auf solchen Graphen werden charakterisiert, und Abschätzungen an die negativen Eigenwerte selbstadjungierter Laplaceoperatoren werden hergeleitet. Weiterhin wird die Wohlgestelltheit eines gemischten Diffusions- und Transportproblems auf kompakten Graphen durch die Anwendung von Halbgruppenmethoden untersucht. Eine Verallgemeinerung des indefiniten Operators $-tfrac{d}{dx}sgn(x)tfrac{d}{dx}$ von Intervallen auf metrische Graphen wird eingeführt. Die Spektral- und Streutheorie der selbstadjungierten Realisierungen wird detailliert besprochen. Im zweiten Teil der Arbeit werden Operatoren untersucht, die mit indefiniten Formen der Art $langlegrad v, A(cdot)grad urangle$ mit $u,vin H_0^1(Omega)subset L^2(Omega)$ und $OmegasubsetR^d$ beschränkt, assoziiert sind. Das Eigenwertverhalten entspricht in Dimension $d=1$ einer verallgemeinerten Weylschen Asymptotik und für $dgeq 2$ werden Abschätzungen an die Eigenwerte bewiesen. Die Frage, wann indefinite Formmethoden für Dimensionen $dgeq 2$ anwendbar sind, bleibt offen und wird diskutiert.

Representation theorems for indefinite quadratic forms and applications

Diese Arbeit widmet sich den Darstellungssätzen für symmetrische indefinite (das heißt nicht-halbbeschränkte) Sesquilinearformen und deren Anwendungen. Insbesondere betrachten wir den Fall, dass der zur Form assoziierte Operator keine Spektrallücke um Null besitzt. Desweiteren untersuchen wir die Beziehung zwischen reduzierenden Graphräumen, Lösungen von Operator-Riccati-Gleichungen und der Block-Diagonalisierung für diagonaldominante Block-Operator-Matrizen. Mit Hilfe der Darstellungssätze wird eine entsprechende Beziehung zwischen Operatoren, die zu indefiniten Formen assoziiert sind, und Form-Riccati-Gleichungen erreicht. In diesem Rahmen wird eine explizite Block-Diagonalisierung und eine Spektralzerlegung für den Stokes Operator sowie eine Darstellung für dessen Kern erreicht. Wir wenden die Darstellungssätze auf durch (grad u, h() grad v) gegebene Formen an, wobei Vorzeichen-indefinite Koeffzienten-Matrizen h() zugelassen sind. Als ein Resultat werden selbstadjungierte indefinite Differentialoperatoren div h() grad mit homogenen Dirichlet oder Neumann Randbedingungen konstruiert. Beispiele solcher Art sind Operatoren die in der Modellierung von optischen Metamaterialien auftauchen und links-indefinite Sturm-Liouville Operatoren.

Aktionale Operatoren im Türkischen mit besonderer Berücksichtigung des Türkei- und Irantürkischen

Unter aktionalen Operatoren versteht diese Untersuchung grammatikalisierte Verbalkonstruktionen zur Bezeichnung von Aktionsarten und Aktionalität. In Türksprachen - und damit auch im Türkeitürkischen - dienen typischerweise Postverbien diesem Zweck. Diese Formen bestehen aus einem lexikalischen Verb, welches Konverbform haben oder finit sein kann sowie einem darauffolgenden Auxiliarverb mit stark verallgemeinerter, grammatikalisierter Bedeutung. Auxiliarverb und Konverbsuffix modifizieren das vorangehende lexikalische Verb in Bezug auf aktionale Eigenschaften. Weniger typisch für Türksprachen sind hingegen Präverbien, d.h. Konstruktionen, in denen das Auxiliarverb dem lexikalischen Verb vorangeht. Auch dieser Art der Kennzeichnung von Aktionsarten und Aktionalität widmet sich diese Dissertation. Das erste, einleitende Kapitel stellt das untersuchte Material sowie die theoretischen Grundlagen vor. Das zweite Kapitel beinhaltet türkische Postverbien mit ihren jeweiligen Funktionen und Bedeutungen, die anhand von zahlreichen Beispielen aus verschiedenen Türksprachen ausser dem Türkeitürkischen illustriert werden. Das Kapitel 3 befasst sich mit dem Inventar an Postverbien, das das Türkeitürkische zu bieten hat. Es beginnt mit dem Versuch einer Beschreibung der Funktion eines bisher nicht als solches beschriebenen Postverbs, welches auf der Grundlage eines türkischen Verbs für deutsch "vorbei-, hindurch-, vorübergehen" gebildet wird. Dieses Postverb befindet sich noch in einem recht jungen Grammatikalisierungsstadium und kann entsprechend zu semantischen Ambiguitäten führen, welche die Autorin mittels geeigneter Tests aufdeckt. Andere, weiter grammatikalisierte Postverbien des Türkeitürkischen basieren auf den Auxiliaren kal- 'bleiben', gel- 'kommen', git- 'gehen', gör- 'sehen' und dur- 'stehenbleiben, stehen'. Diese Postverbien werden einer differenzierten Klassifikation bezüglich ihrer Kombinierbarkeit mit verschiedenen Verbtypen, ihrer phasenspezifizierenden Funktionen und weiterer sekundärer Implikationen, die auch, aber nicht ausschließlich von ihrer eigenen lexikalischen Bedeutung herrühren, unterzogen. Das Postverb -(y)Iver- hat zahlreiche Eigenschaften, die es von anderen aktional verwendeten Postverbien unterscheidet. Es unterliegt keiner der Restriktionen, die für die anderen türkischen Postverbien gelten und weist ein weiter fortgeschrittenes Grammatikalisierungsstadium auf. Darüber hinaus zeigt -(y)Iver- große Parallelen mit dem Marker für Possibilität -(y)Abil-. Hierzu gehört nicht zuletzt die Möglichkeit, -(y)Iver- mit anderen Postverbien zu kombinieren - was für die anderen Postverbien des Türkeitürkischen ausgeschlossen ist. Die Autorin argumentiert dafür, in -(y)Iver- ein Postverb zu sehen, welches zum Ausdruck nicht mehr nur aktionaler, sonder modaler Inhalte dient. Im vierten Kapitel werden Konverb- und finite Formen der türkeitürkischen Verben kalk- 'aufstehen', tut- 'ergreifen, festhalten', gel- 'kommen', git- 'gehen', var- 'ankommen', al- 'nehmen' und cik- 'heraus-, hervorgehen, -kommen' mit ihren Funktionen als Präverbien vorgestellt. Eine grammatikalisierte präverbiale Bedeutung dieser Verben ist stark kontextabhängig, so dass immer mit semantischen Ambiguitäten zu rechnen ist. Dennoch bilden Präverbien eine geschlossene Gruppe von Formen, die eine gemeinsame Bedeutung haben. Das Kapitel 5 bezieht moderne irantürkische Varietäten, insbesondere das Chaladschische, in die Untersuchung ein. Die Autorin nimmt die Diskussion über chaladschische Imperativformen, die auf Postverbien zurückgehen, wieder auf und bietet ein vereinfachtes Beschreibungsmodell dieses vermeintlich komplexen Paradigmas an. Dieses Kapitel schließt auch die Fülle von parataktisch gebildeten Verkonstruktionen ein, welche in ihren Funktionen und Bedeutungen auffällig große Ähnlichkeiten mit türkeitürkischen Präverbien, aber auch mit Postverbien aufweisen. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung (6) und einem Literaturverzeichnis ab.