Spectral and variational characterizations of solutions to semilinear eigenvalue problems

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit einer Klasse von nichtlinearen Eigenwertproblemen mit Variationsstrukturin einem reellen Hilbertraum. Die betrachteteEigenwertgleichung ergibt sich demnach als Euler-Lagrange-Gleichung eines stetig differenzierbarenFunktionals, zusätzlich sei der nichtlineare Anteil desProblems als ungerade und definit vorausgesetzt.Die wichtigsten Ergebnisse in diesem abstrakten Rahmen sindKriterien für die Existenz spektral charakterisierterLösungen, d.h. von Lösungen, deren Eigenwert gerade miteinem vorgegeben variationellen Eigenwert eines zugehörigen linearen Problems übereinstimmt. Die Herleitung dieserKriterien basiert auf einer Untersuchung kontinuierlicher Familien selbstadjungierterEigenwertprobleme und erfordert Verallgemeinerungenspektraltheoretischer Konzepte.Neben reinen Existenzsätzen werden auch Beziehungen zwischenspektralen Charakterisierungen und denLjusternik-Schnirelman-Niveaus des Funktionals erörtert.Wir betrachten Anwendungen auf semilineareDifferentialgleichungen (sowieIntegro-Differentialgleichungen) zweiter Ordnung. Diesliefert neue Informationen über die zugehörigenLösungsmengen im Hinblick auf Knoteneigenschaften. Diehergeleiteten Methoden eignen sich besonders für eindimensionale und radialsymmetrische Probleme, während einTeil der Resultate auch ohne Symmetrieforderungen gültigist.

Perturbation theory for spectral subspaces

In der vorliegenden Arbeit wird die Variation abgeschlossener Unterräume eines Hilbertraumes untersucht, die mit isolierten Komponenten der Spektren von selbstadjungierten Operatoren unter beschränkten additiven Störungen assoziiert sind. Von besonderem Interesse ist hierbei die am wenigsten restriktive Bedingung an die Norm der Störung, die sicherstellt, dass die Differenz der zugehörigen orthogonalen Projektionen eine strikte Normkontraktion darstellt. Es wird ein Überblick über die bisher erzielten Resultate gegeben. Basierend auf einem Iterationsansatz wird eine allgemeine Schranke an die Variation der Unterräume für Störungen erzielt, die glatt von einem reellen Parameter abhängen. Durch Einführung eines Kopplungsparameters wird das Ergebnis auf den Fall additiver Störungen angewendet. Auf diese Weise werden zuvor bekannte Ergebnisse verbessert. Im Falle von additiven Störungen werden die Schranken an die Variation der Unterräume durch ein Optimierungsverfahren für die Stützstellen im Iterationsansatz weiter verschärft. Die zugehörigen Ergebnisse sind die besten, die bis zum jetzigen Zeitpunkt erzielt wurden.