IMEX finite volume methods for the shallow water equations

Die Flachwassergleichungen (SWE) sind ein hyperbolisches System von Bilanzgleichungen, die adäquate Approximationen an groß-skalige Strömungen der Ozeane, Flüsse und der Atmosphäre liefern. Dabei werden Masse und Impuls erhalten. Wir unterscheiden zwei charakteristische Geschwindigkeiten: die Advektionsgeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit des Massentransports, und die Geschwindigkeit von Schwerewellen, d.h. die Geschwindigkeit der Oberflächenwellen, die Energie und Impuls tragen. Die Froude-Zahl ist eine Kennzahl und ist durch das Verhältnis der Referenzadvektionsgeschwindigkeit zu der Referenzgeschwindigkeit der Schwerewellen gegeben. Für die oben genannten Anwendungen ist sie typischerweise sehr klein, z.B. 0.01. Zeit-explizite Finite-Volume-Verfahren werden am öftersten zur numerischen Berechnung hyperbolischer Bilanzgleichungen benutzt. Daher muss die CFL-Stabilitätsbedingung eingehalten werden und das Zeitinkrement ist ungefähr proportional zu der Froude-Zahl. Deswegen entsteht bei kleinen Froude-Zahlen, etwa kleiner als 0.2, ein hoher Rechenaufwand. Ferner sind die numerischen Lösungen dissipativ. Es ist allgemein bekannt, dass die Lösungen der SWE gegen die Lösungen der Seegleichungen/ Froude-Zahl Null SWE für Froude-Zahl gegen Null konvergieren, falls adäquate Bedingungen erfüllt sind. In diesem Grenzwertprozess ändern die Gleichungen ihren Typ von hyperbolisch zu hyperbolisch.-elliptisch. Ferner kann bei kleinen Froude-Zahlen die Konvergenzordnung sinken oder das numerische Verfahren zusammenbrechen. Insbesondere wurde bei zeit-expliziten Verfahren falsches asymptotisches Verhalten (bzgl. der Froude-Zahl) beobachtet, das diese Effekte verursachen könnte.Ozeanographische und atmosphärische Strömungen sind typischerweise kleine Störungen eines unterliegenden Equilibriumzustandes. Wir möchten, dass numerische Verfahren für Bilanzgleichungen gewisse Equilibriumzustände exakt erhalten, sonst können künstliche Strömungen vom Verfahren erzeugt werden. Daher ist die Quelltermapproximation essentiell. Numerische Verfahren die Equilibriumzustände erhalten heißen ausbalanciert.rnrnIn der vorliegenden Arbeit spalten wir die SWE in einen steifen, linearen und einen nicht-steifen Teil, um die starke Einschränkung der Zeitschritte durch die CFL-Bedingung zu umgehen. Der steife Teil wird implizit und der nicht-steife explizit approximiert. Dazu verwenden wir IMEX (implicit-explicit) Runge-Kutta und IMEX Mehrschritt-Zeitdiskretisierungen. Die Raumdiskretisierung erfolgt mittels der Finite-Volumen-Methode. Der steife Teil wird mit Hilfe von finiter Differenzen oder au eine acht mehrdimensional Art und Weise approximniert. Zur mehrdimensionalen Approximation verwenden wir approximative Evolutionsoperatoren, die alle unendlich viele Informationsausbreitungsrichtungen berücksichtigen. Die expliziten Terme werden mit gewöhnlichen numerischen Flüssen approximiert. Daher erhalten wir eine Stabilitätsbedingung analog zu einer rein advektiven Strömung, d.h. das Zeitinkrement vergrößert um den Faktor Kehrwert der Froude-Zahl. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Verfahren sind asymptotisch erhaltend und ausbalanciert. Die asymptotischer Erhaltung stellt sicher, dass numerische Lösung das "korrekte" asymptotische Verhalten bezüglich kleiner Froude-Zahlen besitzt. Wir präsentieren Verfahren erster und zweiter Ordnung. Numerische Resultate bestätigen die Konvergenzordnung, so wie Stabilität, Ausbalanciertheit und die asymptotische Erhaltung. Insbesondere beobachten wir bei machen Verfahren, dass die Konvergenzordnung fast unabhängig von der Froude-Zahl ist.

Sedimentary environments and climate change: a case study (late Miocene, central Crete)

In this study, conditions of deposition and stratigraphical architecture of Neogene (Tortonian, 11-6,7Ma) sediments of southern central Crete were analysed. In order to improve resolution of paleoclimatic data, new methods were applied to quantify environmental parameters and to increase the chronostratigraphic resolution in shallow water sediments. A relationship between paleoenvironmental change observed on Crete and global processes was established and a depositional model was developed. Based on a detailed analysis of the distribution of non geniculate coralline red algae, index values for water temperature and water depth were established and tested with the distribution patterns of benthic foraminifera and symbiont-bearing corals. Calcite shelled bivalves were sampled from the Algarve coast (southern Portugal) and central Crete and then 87Sr/86Sr was measured. A high resolution chronostratigraphy was developed based on the correlation between fluctuations in Sr ratios in the measured sections and in a late Miocene global seawater Sr isotope reference curve. Applying this method, a time frame was established to compare paleoenvironmental data from southern central Crete with global information on climate change reflected in oxygen isotope data. The comparison between paleotemperature data based on red algae and global oxygen isotope data showed that the employed index values reflect global change in temperature. Data indicate a warm interval during earliest Tortonian, a second short warm interval between 10 and 9,5Ma, a longer climatic optimum between 9 and 8Ma and an interval of increasing temperatures in the latest Tortonian. The distribution of coral reefs and carpets shows that during the warm intervals, the depositional environment became tropical while temperate climates prevailed during the cold interval. Since relative tectonic movements after initial half-graben formation in the early Tortonian were low in southern central Crete, sedimentary successions strongly respond to global sea-level fluctuation. A characteristic sedimentary succession formed during a 3rd order sea-level cycle: It comprises mixed siliciclastic-limestone deposited during sea-level fall and lowstand, homogenous red algal deposits formed during sea-level rise and coral carpets formed during late rise and highstand. Individual beds in the succession reflect glacioeustatic fluctuations that are most prominent in the mixed siliciclastic-limestone interval. These results confirm the fact that sedimentary successions deposited at the critical threshold between temperate and tropical environments develop characteristic changes in depositional systems and biotic associations that can be used to assemble paleoclimatic datasets.