Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations

Sei $\pi:X\rightarrow S$ eine \"uber $\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau Varietaten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\pi_0:X_0\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\pi$ \uber $k$. F\ur die gew\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\alt, ausdr\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\atigt. Dar\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.

Markierung der Zellinien im Embryo von Platynereis

Die Zellgenealogie des Polychaeten Platynereis dumerilii wurde durch Farbstoffinjektion in die Blastomeren des 2-, 4- und 8-Zellstadiums, sowie die Zellen 2d, 2d112, 4d und 4d1 untersucht. Injektionen gelangen durch Aufweichung der Vitellinhülle mittels Dithioerythritol und Trypsin. Die injizierten Keime wurden zur Trochophora bzw zum dreisegmentigen Jungwurm aufgezogen, fixiert und mit dem konfokalen Rasterlichtmikroskop dreidimensional aufgenommen. Die animal-vegetale Achse des Frühkeims entspricht der antero-posterioren Achse des Jungwurms. Die Mikromeren des ersten Quartetts sind radiär um die antero-posteriore Achse angeordnet und bilden den Kopf. Die Mikromere 2d proliferiert bilateralsymmetrisch von der dorsalen Mittellinie aus und liefert das gesamte Rumpfektoderm. Indirekt ließ sich ableiten, daß die Mikromeren 2a1 bis 2c1 schmale ektodermale Streifen zwischen Kopf und Rumpf bilden und aus 2a2 und 2c2 das ektodermale Stomodaeum hervorgeht. Die Mikromeren des dritten Quartetts sowie möglicherweise 2b2 bilden 'Ektomesoderm'. 4d proliferiert ebenfalls bilateralsymmetrisch von der dorsalen Mittellinie aus zum Rumpfmesoderm und liefert vielleicht noch kleine Beiträge zum Aufbau des Darmes. Der Mitteldarm stammt von den dotterreichen Makromeren 4A bis 4D.

Über das Vermessen tubulärer Strukturen in der Computertomographie

Die chronisch obstruktive Lungenerkrankung (engl. chronic obstructive pulmonary disease, COPD) ist ein Überbegriff für Erkrankungen, die zu Husten, Auswurf und Dyspnoe (Atemnot) in Ruhe oder Belastung führen - zu diesen werden die chronische Bronchitis und das Lungenemphysem gezählt. Das Fortschreiten der COPD ist eng verknüpft mit der Zunahme des Volumens der Wände kleiner Luftwege (Bronchien). Die hochauflösende Computertomographie (CT) gilt bei der Untersuchung der Morphologie der Lunge als Goldstandard (beste und zuverlässigste Methode in der Diagnostik). Möchte man Bronchien, eine in Annäherung tubuläre Struktur, in CT-Bildern vermessen, so stellt die geringe Größe der Bronchien im Vergleich zum Auflösungsvermögen eines klinischen Computertomographen ein großes Problem dar. In dieser Arbeit wird gezeigt wie aus konventionellen Röntgenaufnahmen CT-Bilder berechnet werden, wo die mathematischen und physikalischen Fehlerquellen im Bildentstehungsprozess liegen und wie man ein CT-System mittels Interpretation als lineares verschiebungsinvariantes System (engl. linear shift invariant systems, LSI System) mathematisch greifbar macht. Basierend auf der linearen Systemtheorie werden Möglichkeiten zur Beschreibung des Auflösungsvermögens bildgebender Verfahren hergeleitet. Es wird gezeigt wie man den Tracheobronchialbaum aus einem CT-Datensatz stabil segmentiert und mittels eines topologieerhaltenden 3-dimensionalen Skelettierungsalgorithmus in eine Skelettdarstellung und anschließend in einen kreisfreien Graphen überführt. Basierend auf der linearen System Theorie wird eine neue, vielversprechende, integral-basierte Methodik (IBM) zum Vermessen kleiner Strukturen in CT-Bildern vorgestellt. Zum Validieren der IBM-Resultate wurden verschiedene Messungen an einem Phantom, bestehend aus 10 unterschiedlichen Silikon Schläuchen, durchgeführt. Mit Hilfe der Skelett- und Graphendarstellung ist ein Vermessen des kompletten segmentierten Tracheobronchialbaums im 3-dimensionalen Raum möglich. Für 8 zweifach gescannte Schweine konnte eine gute Reproduzierbarkeit der IBM-Resultate nachgewiesen werden. In einer weiteren, mit IBM durchgeführten Studie konnte gezeigt werden, dass die durchschnittliche prozentuale Bronchialwandstärke in CT-Datensätzen von 16 Rauchern signifikant höher ist, als in Datensätzen von 15 Nichtrauchern. IBM läßt sich möglicherweise auch für Wanddickenbestimmungen bei Problemstellungen aus anderen Arbeitsgebieten benutzen - kann zumindest als Ideengeber dienen. Ein Artikel mit der Beschreibung der entwickelten Methodik und der damit erzielten Studienergebnisse wurde zur Publikation im Journal IEEE Transactions on Medical Imaging angenommen.

Topologically correct intersection curves of tori and natural quadrics

This thesis provides efficient and robust algorithms for the computation of the intersection curve between a torus and a simple surface (e.g. a plane, a natural quadric or another torus), based on algebraic and numeric methods. The algebraic part includes the classification of the topological type of the intersection curve and the detection of degenerate situations like embedded conic sections and singularities. Moreover, reference points for each connected intersection curve component are determined. The required computations are realised efficiently by solving quartic polynomials at most and exactly by using exact arithmetic. The numeric part includes algorithms for the tracing of each intersection curve component, starting from the previously computed reference points. Using interval arithmetic, accidental incorrectness like jumping between branches or the skipping of parts are prevented. Furthermore, the environments of singularities are correctly treated. Our algorithms are complete in the sense that any kind of input can be handled including degenerate and singular configurations. They are verified, since the results are topologically correct and approximate the real intersection curve up to any arbitrary given error bound. The algorithms are robust, since no human intervention is required and they are efficient in the way that the treatment of algebraic equations of high degree is avoided.

Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Software zur automatischen Tumordiagnose in der funktionalen MRT der weiblichen Brust

In den westlichen Industrieländern ist das Mammakarzinom der häufigste bösartige Tumor der Frau. Sein weltweiter Anteil an allen Krebserkrankungen der Frau beläuft sich auf etwa 21 %. Inzwischen ist jede neunte Frau bedroht, während ihres Lebens an Brustkrebs zu erkranken. Die alterstandardisierte Mortalitätrate liegt derzeit bei knapp 27 %.rnrnDas Mammakarzinom hat eine relative geringe Wachstumsrate. Die Existenz eines diagnostischen Verfahrens, mit dem alle Mammakarzinome unter 10 mm Durchmesser erkannt und entfernt werden, würden den Tod durch Brustkrebs praktisch beseitigen. Denn die 20-Jahres-Überlebungsrate bei Erkrankung durch initiale Karzinome der Größe 5 bis 10 mm liegt mit über 95 % sehr hoch.rnrnMit der Kontrastmittel gestützten Bildgebung durch die MRT steht eine relativ junge Untersuchungsmethode zur Verfügung, die sensitiv genug zur Erkennung von Karzinomen ab einer Größe von 3 mm Durchmesser ist. Die diagnostische Methodik ist jedoch komplex, fehleranfällig, erfordert eine lange Einarbeitungszeit und somit viel Erfahrung des Radiologen.rnrnEine Computer unterstützte Diagnosesoftware kann die Qualität einer solch komplexen Diagnose erhöhen oder zumindest den Prozess beschleunigen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung einer vollautomatischen Diagnose Software, die als Zweitmeinungssystem eingesetzt werden kann. Meines Wissens existiert eine solche komplette Software bis heute nicht.rnrnDie Software führt eine Kette von verschiedenen Bildverarbeitungsschritten aus, die dem Vorgehen des Radiologen nachgeahmt wurden. Als Ergebnis wird eine selbstständige Diagnose für jede gefundene Läsion erstellt: Zuerst eleminiert eine 3d Bildregistrierung Bewegungsartefakte als Vorverarbeitungsschritt, um die Bildqualität der nachfolgenden Verarbeitungsschritte zu verbessern. Jedes kontrastanreichernde Objekt wird durch eine regelbasierte Segmentierung mit adaptiven Schwellwerten detektiert. Durch die Berechnung kinetischer und morphologischer Merkmale werden die Eigenschaften der Kontrastmittelaufnahme, Form-, Rand- und Textureeigenschaften für jedes Objekt beschrieben. Abschließend werden basierend auf den erhobenen Featurevektor durch zwei trainierte neuronale Netze jedes Objekt in zusätzliche Funde oder in gut- oder bösartige Läsionen klassifiziert.rnrnDie Leistungsfähigkeit der Software wurde auf Bilddaten von 101 weiblichen Patientinnen getested, die 141 histologisch gesicherte Läsionen enthielten. Die Vorhersage der Gesundheit dieser Läsionen ergab eine Sensitivität von 88 % bei einer Spezifität von 72 %. Diese Werte sind den in der Literatur bekannten Vorhersagen von Expertenradiologen ähnlich. Die Vorhersagen enthielten durchschnittlich 2,5 zusätzliche bösartige Funde pro Patientin, die sich als falsch klassifizierte Artefakte herausstellten.rn

Imaging and modeling of pore scale processes in porous media using X-ray computed tomography and lattice Boltzmann solver

In der Erdöl– und Gasindustrie sind bildgebende Verfahren und Simulationen auf der Porenskala im Begriff Routineanwendungen zu werden. Ihr weiteres Potential lässt sich im Umweltbereich anwenden, wie z.B. für den Transport und Verbleib von Schadstoffen im Untergrund, die Speicherung von Kohlendioxid und dem natürlichen Abbau von Schadstoffen in Böden. Mit der Röntgen-Computertomografie (XCT) steht ein zerstörungsfreies 3D bildgebendes Verfahren zur Verfügung, das auch häufig für die Untersuchung der internen Struktur geologischer Proben herangezogen wird. Das erste Ziel dieser Dissertation war die Implementierung einer Bildverarbeitungstechnik, die die Strahlenaufhärtung der Röntgen-Computertomografie beseitigt und den Segmentierungsprozess dessen Daten vereinfacht. Das zweite Ziel dieser Arbeit untersuchte die kombinierten Effekte von Porenraumcharakteristika, Porentortuosität, sowie die Strömungssimulation und Transportmodellierung in Porenräumen mit der Gitter-Boltzmann-Methode. In einer zylindrischen geologischen Probe war die Position jeder Phase auf Grundlage der Beobachtung durch das Vorhandensein der Strahlenaufhärtung in den rekonstruierten Bildern, das eine radiale Funktion vom Probenrand zum Zentrum darstellt, extrahierbar und die unterschiedlichen Phasen ließen sich automatisch segmentieren. Weiterhin wurden Strahlungsaufhärtungeffekte von beliebig geformten Objekten durch einen Oberflächenanpassungsalgorithmus korrigiert. Die Methode der „least square support vector machine” (LSSVM) ist durch einen modularen Aufbau charakterisiert und ist sehr gut für die Erkennung und Klassifizierung von Mustern geeignet. Aus diesem Grund wurde die Methode der LSSVM als pixelbasierte Klassifikationsmethode implementiert. Dieser Algorithmus ist in der Lage komplexe geologische Proben korrekt zu klassifizieren, benötigt für den Fall aber längere Rechenzeiten, so dass mehrdimensionale Trainingsdatensätze verwendet werden müssen. Die Dynamik von den unmischbaren Phasen Luft und Wasser wird durch eine Kombination von Porenmorphologie und Gitter Boltzmann Methode für Drainage und Imbibition Prozessen in 3D Datensätzen von Böden, die durch synchrotron-basierte XCT gewonnen wurden, untersucht. Obwohl die Porenmorphologie eine einfache Methode ist Kugeln in den verfügbaren Porenraum einzupassen, kann sie dennoch die komplexe kapillare Hysterese als eine Funktion der Wassersättigung erklären. Eine Hysterese ist für den Kapillardruck und die hydraulische Leitfähigkeit beobachtet worden, welche durch die hauptsächlich verbundenen Porennetzwerke und der verfügbaren Porenraumgrößenverteilung verursacht sind. Die hydraulische Konduktivität ist eine Funktion des Wassersättigungslevels und wird mit einer makroskopischen Berechnung empirischer Modelle verglichen. Die Daten stimmen vor allem für hohe Wassersättigungen gut überein. Um die Gegenwart von Krankheitserregern im Grundwasser und Abwässern vorhersagen zu können, wurde in einem Bodenaggregat der Einfluss von Korngröße, Porengeometrie und Fluidflussgeschwindigkeit z.B. mit dem Mikroorganismus Escherichia coli studiert. Die asymmetrischen und langschweifigen Durchbruchskurven, besonders bei höheren Wassersättigungen, wurden durch dispersiven Transport aufgrund des verbundenen Porennetzwerks und durch die Heterogenität des Strömungsfeldes verursacht. Es wurde beobachtet, dass die biokolloidale Verweilzeit eine Funktion des Druckgradienten als auch der Kolloidgröße ist. Unsere Modellierungsergebnisse stimmen sehr gut mit den bereits veröffentlichten Daten überein.

Tropfenbasierte Multiphasen – Mikroreaktionstechnologie in organisch-chemischer Synthese

In der vorliegenden Doktorarbeit werden neue, mikrofluidische Verfahren, zur Durchführung chemischer Reaktionen in mehrphasigen Systemen präsentiert. rnDas Einschließen von Reaktionspartnern in einzelne Segmente, deren Volumina im Bereich von Mikro- bis Femtoliter liegen und die dadurch erzeugten enormen, spezifischen Oberflächen, ermöglichen Massentransportprozesse über die Phasengrenzfläche zwischen einzelnen Segmenten, drastisch zu intensivieren. Aufgrund geringer räumlicher Ausdehnungen einzelner Kompartimente und durch vorherrschende, zirkulierende Strömungen in den einzelnen Abschnitten, sind Diffusions- und Konvektionsprozesse in diesen rasch, sodass an der Grenzfläche gebildete, reaktive Intermediate in sehr kurzen Zeitintervallen umgesetzt werden können. rnrn

Study of the helicity dependence of pi 0 photoproduction on proton at MAMI

The excitation spectrum is one of the fundamental properties of every spatially extended system. The excitations of the building blocks of normal matter, i.e., protons and neutrons (nucleons), play an important role in our understanding of the low energy regime of the strong interaction. Due to the large coupling, perturbative solutions of quantum chromodynamics (QCD) are not appropriate to calculate long-range phenomena of hadrons. For many years, constituent quark models were used to understand the excitation spectra. Recently, calculations in lattice QCD make first connections between excited nucleons and the fundamental field quanta (quarks and gluons). Due to their short lifetime and large decay width, excited nucleons appear as resonances in scattering processes like pion nucleon scattering or meson photoproduction. In order to disentangle individual resonances with definite spin and parity in experimental data, partial wave analyses are necessary. Unique solutions in these analyses can only be expected if sufficient empirical information about spin degrees of freedom is available. The measurement of spin observables in pion photoproduction is the focus of this thesis. The polarized electron beam of the Mainz Microtron (MAMI) was used to produce high-intensity, polarized photon beams with tagged energies up to 1.47 GeV. A "frozen-spin" Butanol target in combination with an almost 4π detector setup consisting of the Crystal Ball and the TAPS calorimeters allowed the precise determination of the helicity dependence of the γp → π0p reaction. In this thesis, as an improvement of the target setup, an internal polarizing solenoid has been constructed and tested. A magnetic field of 2.32 T and homogeneity of 1.22×10−3 in the target volume have been achieved. The helicity asymmetry E, i.e., the difference of events with total helicity 1/2 and 3/2 divided by the sum, was determined from data taken in the years 2013-14. The subtraction of background events arising from nucleons bound in Carbon and Oxygen was an important part of the analysis. The results for the asymmetry E are compared to existing data and predictions from various models. The results show a reasonable agreement to the models in the energy region of the ∆(1232)-resonance but large discrepancies are observed for energy above 600 MeV. The expansion of the present data in terms of Legendre polynomials, shows the sensitivity of the data to partial wave amplitudes up to F-waves. Additionally, a first, preliminary multipole analysis of the present data together with other results from the Crystal Ball experiment has been as been performed.