Ausbreitung einer Infektion durch ein System Brownscher Bewegungen

In dieser Arbeit werden wir ein Modell untersuchen, welches die Ausbreitung einer Infektion beschreibt. Bei diesem Modell werden zunächst Partikel gemäß eines Poissonschen Punktprozesses auf der reellen Achse verteilt. Bis zu einem gewissen Punkt auf der reellen Achse sind alle Partikel von einer Infektion befallen. Während sich nicht infizierte Partikel nicht bewegen, folgen die infizierten Partikel den Pfaden von voneinander unabhängigen Brownschen Bewegungen und verbreitet die Infektion dabei an den Orten, welche sie betreten. Wenn sie dabei auf ein nicht infiziertes Partikel treffen, ist dieses von diesem Moment an auch infiziert und beginnt ebenfalls, dem Pfad einer Brownschen Bewegung zu folgen und die Infektion auszubreiten. Auf diese Art verschiebt sich nun der am weitesten rechts liegende Ort R_t, an dem die Infektion bereits verbreitet wurde. Wir werden mit Hilfe des subadditiven Ergodensatzes zeigen, dass sich dieser Ort mit linearer Geschwindigkeit fortbewegt. Ferner werden wir eine obere und eine untere Schranke für die Ausbreitungsgeschwindkeit angeben. Danach werden wir zeigen, dass der Prozess Regenerationszeiten hat, nämlich solche zufällige Zeiten, zu denen er eine Art Neustart unter speziellen Startbedingungen durchführt. Wir werden diese für eine weitere Charakterisierung der Ausbreitungsgeschwingkeit nutzen. Ferner erhalten wir durch die Regenerationszeiten auch einen Zentralen Grenzwertsatz für R_t und können zeigen, dass die Verteilung der infizierten Partikel aus Sicht des am weitesten rechts liegenden infizierten Ortes gegen eine invariante Verteilung konvergiert.

Random lattice models

This thesis deals with three different physical models, where each model involves a random component which is linked to a cubic lattice. First, a model is studied, which is used in numerical calculations of Quantum Chromodynamics.In these calculations random gauge-fields are distributed on the bonds of the lattice. The formulation of the model is fitted into the mathematical framework of ergodic operator families. We prove, that for small coupling constants, the ergodicity of the underlying probability measure is indeed ensured and that the integrated density of states of the Wilson-Dirac operator exists. The physical situations treated in the next two chapters are more similar to one another. In both cases the principle idea is to study a fermion system in a cubic crystal with impurities, that are modeled by a random potential located at the lattice sites. In the second model we apply the Hartree-Fock approximation to such a system. For the case of reduced Hartree-Fock theory at positive temperatures and a fixed chemical potential we consider the limit of an infinite system. In that case we show the existence and uniqueness of minimizers of the Hartree-Fock functional. In the third model we formulate the fermion system algebraically via C*-algebras. The question imposed here is to calculate the heat production of the system under the influence of an outer electromagnetic field. We show that the heat production corresponds exactly to what is empirically predicted by Joule's law in the regime of linear response.