Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Existence of solutions and asymtptotic limits of the Euler-Poisson and the quantum drift-diffusion systems

My work concerns two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas: the Euler-Poisson system and the quantum drift-diffusion system. The first is given by the Euler equations for the conservation of mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential. The second one takes into account the physical effects due to the smallness of the devices (quantum effects). It is a simple extension of the classical drift-diffusion model which consists of two continuity equations for the charge densities, with a Poisson equation for the electrostatic potential. Using an asymptotic expansion method, we study (in the steady-state case for a potential flow) the limit to zero of the three physical parameters which arise in the Euler-Poisson system: the electron mass, the relaxation time and the Debye length. For each limit, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimates. For a vanishing electron mass or a vanishing relaxation time, this method gives us a new approach in the convergence of the Euler-Poisson system to the incompressible Euler equations. For a vanishing Debye length (also called quasineutral limit), we obtain a new approach in the existence of solutions when boundary layers can appear (i.e. when no compatibility condition is assumed). Moreover, using an iterative method, and a finite volume scheme or a penalized mixed finite volume scheme, we numerically show the smallness condition on the electron mass needed in the existence of solutions to the system, condition which has already been shown in the literature. In the quantum drift-diffusion model for the transient bipolar case in one-space dimension, we show, by using a time discretization and energy estimates, the existence of solutions (for a general doping profile). We also prove rigorously the quasineutral limit (for a vanishing doping profile). Finally, using a new time discretization and an algorithmic construction of entropies, we prove some regularity properties for the solutions of the equation obtained in the quasineutral limit (for a vanishing pressure). This new regularity permits us to prove the positivity of solutions to this equation for at least times large enough.

The structuring body : a critical study in the description & explanation of perceptual experience

The aims of the dissertation are to find the right description of the structure of perceptual experience and to explore the ways in which the structure of the body might serve to explain it. In the first two parts, I articulate and defend the claim that perceptual experience seems direct and the claim that its objects seem real. I defend these claims as integral parts of a coherent metaphysically neutral conception of perceptual experience. Sense-datum theorists, certain influential perceptual psychologists, and early modern philosophers (most notably Berkeley) all disputed the claim that perceptual experience seems direct. In Part I, I argue that the grounds on which they did so were poor. The aim is then, in Part II, to give a proper appreciation of the distinctive intentionality of perceptual experience whilst remaining metaphysically neutral. I do so by drawing on the early work of Edmund Husserl, providing a characterisation of the perceptual experience of objects as real, qua mind-independent particulars. In Part III, I explore two possible explanations of the structure characterising the intentionality of perceptual experience, both of which accord a distinctive explanatory role to the body. On one account, perceptual experience is structured by an implicit pre-reflective consciousness of oneself as a body engaged in perceptual activity. An alternative account makes no appeal to the metaphysically laden concept of a bodily self. It seeks to explain the structure of perceptual experience by appeal to anticipation of the structural constraints of the body. I develop this alternative by highlighting the conceptual and empirical basis for the idea that a first-order structural affordance relation holds between a bodily agent and certain properties of its body. I then close with a discussion of the shared background assumptions that ought to inform disputes over whether the body itself (in addition to its representation) ought to serve as an explanans in such an account.

Numerical modelling of fluid-structure interaction with application in hemodynamics

The thesis deals with numerical algorithms for fluid-structure interaction problems with application in blood flow modelling. It starts with a short introduction on the mathematical description of incompressible viscous flow with non-Newtonian viscosity and a moving linear viscoelastic structure. The mathematical model consists of the generalized Navier-Stokes equation used for the description of fluid flow and the generalized string model for structure movement. The arbitrary Lagrangian-Eulerian approach is used in order to take into account moving computational domain. A part of the thesis is devoted to the discussion on the non-Newtonian behaviour of shear-thinning fluids, which is in our case blood, and derivation of two non-Newtonian models frequently used in the blood flow modelling. Further we give a brief overview on recent fluid-structure interaction schemes with discussion about the difficulties arising in numerical modelling of blood flow. Our main contribution lies in numerical and experimental study of a new loosely-coupled partitioned scheme called the kinematic splitting fluid-structure interaction algorithm. We present stability analysis for a coupled problem of non-Newtonian shear-dependent fluids in moving domains with viscoelastic boundaries. Here, we assume both, the nonlinearity in convective as well is diffusive term. We analyse the convergence of proposed numerical scheme for a simplified fluid model of the Oseen type. Moreover, we present series of experiments including numerical error analysis, comparison of hemodynamic parameters for the Newtonian and non-Newtonian fluids and comparison of several physiologically relevant computational geometries in terms of wall displacement and wall shear stress. Numerical analysis and extensive experimental study for several standard geometries confirm reliability and accuracy of the proposed kinematic splitting scheme in order to approximate fluid-structure interaction problems.

Erzeugung vakuumultravioletter Strahlung durch Vierwellenmischen in einer Hohlfaser

In dieser Arbeit wird die Entwicklung und experimentelle Umsetzung einer kontinuierlichen, kohärenten Lichtquelle im vakuumultravioletten Wellenlängenbereich um 122 nm präsentiert. Diese basiert auf der nichtlinearen optischen Summenfrequenzmischung dreier Fundamentallaserstrahlen in einer mit Quecksilberdampf gefüllten Hohlfaser. Die Wellenlängen der fundamentalen Laser sind dabei an der Niveaustruktur des Quecksilbers orientiert, um eine mehrfach resonante Überhöhung der nichtlinearen Suszeptibilität zu erreichen. Der transversale Einschluss der Lichtfelder in der Faser verlängert die Wechselwirkungszone mit dem nichtlinearen Medium um mehrere Größenordnungen gegenüber dem Regime fokussierter Strahlen und erlaubt so signifikante Steigerungen der Mischeffizienz.rnrnIm Zuge dieser Arbeit wurde neben einer umfassenden mathematischen Analyse des nichtlinearen Mischprozesses unter Einfluss der Fasercharakteristika eine Apparatur zur Erzeugung und Detektion vakuumultravioletter Strahlung entwickelt. Die Generierung ausreichend hoher Dampfdichten innerhalb des 50 µm durchmessenden Faserkerns konnten spektroskopisch nachgewiesen werden.rnrnDas erste erfolgreiche Summenfrequenzmischen zu 121,26 nm in der Faser wurde demonstriert. Die erzielten Mischeffizienzen sind bereits mit denen vergleichbar, welche unter Verwendung fokussierter Strahlen erreicht werden, obwohl eine Phasenanpassung in der Faser bisher nicht möglich war. Die Ergebnisse dieser Arbeit markieren damit einen wichtigen Schritt hin zu Leistungssteigerungen kohärenter, kontinuierlicher vakuumultravioletter Lichtquellen.rnrnEine solche Quelle wird für zukünftige Laserkühlung von magnetisch gefangenem Antiwasserstoff auf dem Lyman-Alpha Übergang, sowie die Rydberganregung von Calciumionen in einer Paulfalle zur Implementierung quantenlogischer Operationen benötigt.rnrnFerner hat eine Untersuchung der, für eine effiziente Konversion essentiellen, 6^1S_0 - 7^1S_0 Zwei-Photonen Resonanz in Quecksilber Hinweise auf eine bis dato experimentell nicht beobachtete, auf einer Mehr-Photonen Anregung beruhende Licht-induzierte Drift ergeben.

Mythos und Mathematik : Hermann Brochs Roman "Die Schuldlosen" und seine Essays

„Natürlich habe ich mich [...] unausgesetzt mit Mathematik beschäftigt, umso mehr als ich sie für meine erkenntnistheoretisch-philosophischen Studien brauchte, denn ohne Mathematik lässt sich kaum mehr philosophieren.“, schreibt Hermann Broch 1948, ein Schriftsteller, der ca. zehn Jahre zuvor von sich selbst sogar behauptete, das Mathematische sei eine seiner stärksten Begabungen.rnDiesem Hinweis, die Bedeutung der Mathematik für das Brochsche Werk näher zu untersuchen, wurde bis jetzt in der Forschung kaum Folge geleistet. Besonders in Bezug auf sein Spätwerk Die Schuldlosen fehlen solche Betrachtungen ganz, sie scheinen jedoch unentbehrlich für die Entschlüsselung dieses Romans zu sein, der oft zu Unrecht als Nebenarbeit abgewertet wurde, weil ihm „mit gängigen literaturwissenschaftlichen Kategorien […] nicht beizukommen ist“ (Koopmann, 1994). rnDa dieser Aspekt insbesondere mit Blick auf Die Schuldlosen ein Forschungsdesiderat darstellt, war das Ziel der vorliegenden Arbeit, Brochs mathematische Studien genauer nachzuvollziehen und vor diesem Hintergrund eine Neuperspektivierung der Schuldlosen zu leisten. Damit wird eine Grundlage geschaffen, die einen adäquaten Zugang zur Struktur dieses Romans eröffnet.rnDie vorliegende Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Nach einer Untersuchung von Brochs theoretischen Betrachtungen anhand ausgewählter Essays folgt die Interpretation der Schuldlosen aus diesem mathematischen Blickwinkel. Es wird deutlich, dass Brochs Poetik eng mit seinen mathematischen Anschauungen verquickt ist, und somit nachgewiesen, dass sich die spezielle Bauform des Romans wie auch seine besondere Form des Erzählens tatsächlich aus dem mathematischen Denken des Autors ableiten lassen. Broch nutzt insbesondere die mathematische Annäherung an das Unendliche für seine Versuche einer literarischen Erfassung der komplexen Wirklichkeit seiner Zeit. Dabei spielen nicht nur Elemente der fraktalen Geometrie eine zentrale Rolle, sondern auch Brochs eigener Hinweis, es handele sich „um eine Art Novellenroman“ (KW 13/1, 243). Denn tatsächlich ergibt sich aus den poetologischen Forderungen Brochs und ihren Umsetzungen im Roman die Gattung des Novellenromans, wie gezeigt wird. Dabei ist von besonderer Bedeutung, dass Broch dem Mythos eine ähnliche Rolle in der Literatur zuspricht wie der Mathematik in den Wissenschaften allgemein.rnMit seinem Roman Die Schuldlosen hat Hermann Broch Neuland betreten, indem er versuchte, durch seine mathematische Poetik die komplexe Wirklichkeit seiner Epoche abzubilden. Denn „die Ganzheit der Welt ist nicht erfaßbar, indem man deren Atome einzelweise einfängt, sondern nur, indem man deren Grundzüge und deren wesentliche – ja, man möchte sagen, deren mathematische Struktur aufzeigt“ (Broch).