Localized potentials in electrical impedance tomography

In this work we study localized electric potentials that have an arbitrarily high energy on some given subset of a domain and low energy on another. We show that such potentials exist for general L-infinity-conductivities (with positive infima) in almost arbitrarily shaped subregions of a domain, as long as these regions are connected to the boundary and a unique continuation principle is satisfied. From this we deduce a simple, but new, theoretical identifiability result for the famous Calderon problem with partial data. We also show how to construct such potentials numerically and use a connection with the factorization method to derive a new non-iterative algorithm for the detection of inclusions in electrical impedance tomography.

Factorization method and irregular inclusions in electrical impedance tomography

In electrical impedance tomography, one tries to recover the conductivity inside a physical body from boundary measurements of current and voltage. In many practically important situations, the investigated object has known background conductivity but it is contaminated by inhomogeneities. The factorization method of Andreas Kirsch provides a tool for locating such inclusions. Earlier, it has been shown that under suitable regularity conditions positive (or negative) inhomogeneities can be characterized by the factorization technique if the conductivity or one of its higher normal derivatives jumps on the boundaries of the inclusions. In this work, we use a monotonicity argument to generalize these results: We show that the factorization method provides a characterization of an open inclusion (modulo its boundary) if each point inside the inhomogeneity has an open neighbourhood where the perturbation of the conductivity is strictly positive (or negative) definite. In particular, we do not assume any regularity of the inclusion boundary or set any conditions on the behaviour of the perturbed conductivity at the inclusion boundary. Our theoretical findings are verified by two-dimensional numerical experiments.

Periodicities in the Hodgkin-Huxley model and versions of this model with stochastic input

A field of computational neuroscience develops mathematical models to describe neuronal systems. The aim is to better understand the nervous system. Historically, the integrate-and-fire model, developed by Lapique in 1907, was the first model describing a neuron. In 1952 Hodgkin and Huxley [8] described the so called Hodgkin-Huxley model in the article “A Quantitative Description of Membrane Current and Its Application to Conduction and Excitation in Nerve”. The Hodgkin-Huxley model is one of the most successful and widely-used biological neuron models. Based on experimental data from the squid giant axon, Hodgkin and Huxley developed their mathematical model as a four-dimensional system of first-order ordinary differential equations. One of these equations characterizes the membrane potential as a process in time, whereas the other three equations depict the opening and closing state of sodium and potassium ion channels. The membrane potential is proportional to the sum of ionic current flowing across the membrane and an externally applied current. For various types of external input the membrane potential behaves differently. This thesis considers the following three types of input: (i) Rinzel and Miller [15] calculated an interval of amplitudes for a constant applied current, where the membrane potential is repetitively spiking; (ii) Aihara, Matsumoto and Ikegaya [1] said that dependent on the amplitude and the frequency of a periodic applied current the membrane potential responds periodically; (iii) Izhikevich [12] stated that brief pulses of positive and negative current with different amplitudes and frequencies can lead to a periodic response of the membrane potential. In chapter 1 the Hodgkin-Huxley model is introduced according to Izhikevich [12]. Besides the definition of the model, several biological and physiological notes are made, and further concepts are described by examples. Moreover, the numerical methods to solve the equations of the Hodgkin-Huxley model are presented which were used for the computer simulations in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2 the statements for the three different inputs (i), (ii) and (iii) will be verified, and periodic behavior for the inputs (ii) and (iii) will be investigated. In chapter 3 the inputs are embedded in an Ornstein-Uhlenbeck process to see the influence of noise on the results of chapter 2.

Titanate-based paraelectric glass-ceramics for applications in GHz electronics

Das Gebiet der drahtlosen Kommunikationsanwendungen befindet sich in einem permanenten Entwicklungsprozess (Mobilfunkstandards: GSM/UMTS/LTE/5G, glo-bale Navigationssatellitensysteme (GNSS): GPS, GLONASS, Galileo, Beidou) zu immer höheren Datenraten und zunehmender Miniaturisierung, woraus ein hoher Bedarf für neue, optimierte Hochfrequenzmaterialien resultiert. Diese Entwicklung zeigt sich besonders in den letzten Jahren in der zunehmenden Entwicklung und Anzahl von Smartphones, welche verschiedene Technologien mit unterschiedlichen Arbeitsfrequenzen innerhalb eines Geräts kombinieren (data: 1G-4G, GPS, WLAN, Bluetooth). Die für zukünftige Technologien (z.B. 5G) benötigte Performance-steigerung kann durch die Verwendung von auf MIMO basierenden Antennensystemen realisiert werden (multiple-input & multiple-output, gesteuerte Kombination von mehreren Antennen) für welche auf dielectric Loading basierende Technologien als eine der vielversprechendsten Implementierungslösungen angesehen werden. rnDas Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung einer geeigneten paraelektrischen Glaskeramik ($varepsilon_{r}$ > 20, $Qf$ > 5000 GHz, |$tau_f$| < 20 ppm/K; im GHz Frequenzbe-reich) im $mathrm{La_{2}O_{3}}$-$mathrm{TiO_{2}}$-$mathrm{SiO_{2}}$-$mathrm{B_{2}O_{3}}$-System für auf dielectric Loading basierende Mobilfunkkommunikationstechnologien als Alternative zu existierenden kommerziell genutzten Sinterkeramiken. Der Fokus lag hierbei auf der Frage, wie die makroskopi-schen dielektrischen Eigenschaften der Glaskeramik mit ihrer Mikrostruktur korreliert bzw. modifiziert werden können. Es konnte gezeigt werden, dass die dielektrischen Materialanforderungen durch das untersuchte System erfüllt werden und dass auf Glaskeramik basierende Dielektrika weitere vorteilhafte nichtelektro-nische Eigenschaften gegenüber gesinterten Keramiken besitzen, womit dielektrische Glaskeramiken durchaus als geeignete Alternative angesehen werden können. rnEin stabiles Grünglas mit minimalen Glasbildneranteil wurde entwickelt und die chemische Zusammensetzung bezüglich Entglasung und Redoxinstabilitäten optimiert. Geeignete Dotierungen für dielektrisch verlustarme $mathrm{TiO_{2}}$-haltige Glaskeramiken wurden identifiziert.rnDer Einfluss der Schmelzbedingungen auf die Keimbildung wurde untersucht und der Keramisierungsprozess auf einen maximalen Anteil der gewünschten Kristallphasen optimiert um optimale dielektrische Eigenschaften zu erhalten. Die mikroskopische Struktur der Glaskeramiken wurde analysiert und ihr Einfluss auf die makroskopischen dielektrischen Eigenschaften bestimmt. Die Hochfrequenzverlustmechanismen wurden untersucht und Antennen-Prototypenserien wurden analysiert um die Eignung von auf Glaskeramik basierenden Dielektrika für die Verwendung in dielectric Loading Anwendungen zu zeigen.