Periodicities in the Hodgkin-Huxley model and versions of this model with stochastic input

A field of computational neuroscience develops mathematical models to describe neuronal systems. The aim is to better understand the nervous system. Historically, the integrate-and-fire model, developed by Lapique in 1907, was the first model describing a neuron. In 1952 Hodgkin and Huxley [8] described the so called Hodgkin-Huxley model in the article “A Quantitative Description of Membrane Current and Its Application to Conduction and Excitation in Nerve”. The Hodgkin-Huxley model is one of the most successful and widely-used biological neuron models. Based on experimental data from the squid giant axon, Hodgkin and Huxley developed their mathematical model as a four-dimensional system of first-order ordinary differential equations. One of these equations characterizes the membrane potential as a process in time, whereas the other three equations depict the opening and closing state of sodium and potassium ion channels. The membrane potential is proportional to the sum of ionic current flowing across the membrane and an externally applied current. For various types of external input the membrane potential behaves differently. This thesis considers the following three types of input: (i) Rinzel and Miller [15] calculated an interval of amplitudes for a constant applied current, where the membrane potential is repetitively spiking; (ii) Aihara, Matsumoto and Ikegaya [1] said that dependent on the amplitude and the frequency of a periodic applied current the membrane potential responds periodically; (iii) Izhikevich [12] stated that brief pulses of positive and negative current with different amplitudes and frequencies can lead to a periodic response of the membrane potential. In chapter 1 the Hodgkin-Huxley model is introduced according to Izhikevich [12]. Besides the definition of the model, several biological and physiological notes are made, and further concepts are described by examples. Moreover, the numerical methods to solve the equations of the Hodgkin-Huxley model are presented which were used for the computer simulations in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2 the statements for the three different inputs (i), (ii) and (iii) will be verified, and periodic behavior for the inputs (ii) and (iii) will be investigated. In chapter 3 the inputs are embedded in an Ornstein-Uhlenbeck process to see the influence of noise on the results of chapter 2.

Ein Bereich der Computational Neuroscience beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung neuronaler Systeme. Das Ziel ist es, ein besseres Verständnis des Nervensystems zu erhalten. Historisch gesehen ist das Integrate-and-Fire Modell, entwickelt von Lapique im Jahre 1907, das erste Modell, das ein Neuron beschrieben hat. Im Jahre 1952 beschreiben Hodgkin und Huxley [8] in ihrer Arbeit “A Quantitative Description of Membrane Current and Its Application to Conduction and Excitation in Nerve” eines der erfolgreichsten und am meisten genutzten biologischen Neuronenmodelle, das sogenannte Hodgkin-Huxley Modell. Auf der Grundlage von Experimenten am Riesenaxon des Tintenfischs wurde das Hodgkin-Huxley Modell als vierdimensionales System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung entwickelt. Eine dieser Gleichungen stellt das Membranpotential dar, wohingegen die restlichen drei Gleichungen das Öffnen und Schließen der Natrium- und Kaliumionenkanäle wiedergibt. Dabei ist das Membranpotential proportional zur Summe der Ionenströme und einem externen Strominput. Für verschiedene Typen von externem Input reagiert das Membranpotential unterschiedlich. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit den folgenden drei Typen von Input: (i) Rinzel und Miller [15] berechneten numerisch, dass für einen konstanten Input ein Intervall von Amplituden existiert, für welches das Membranpotential mit einer gewissen Frequenz wiederholend Aktionspotenziale erzeugt; (ii) Aihara, Matsumoto und Ikegaya [1] beschreiben, dass abhängig von der Amplitude und der Frequenz eines periodischen Inputs das Membranpotential periodisch zum Input erwidert; (iii) Izhikevich [12] erklärt, dass kurze Impulse von positivem, sowie negativem Strom mit unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen zu periodischem Verhalten des Membranpotentials führen kann. In Kapitel 1 wird eine Einführung in das Hodgkin-Huxley Modell gegeben, analog zu Izhikevich [12]. Dabei werden neben der Definition des Modells einige Bemerkungen über den biologischen und physiologischen Hintergrund gegeben und weitere Begriffe anhand von Beispielen eingeführt. Außerdem werden die numerischen Methoden angegeben, die zur Lösung der Gleichungen des Hodgkin-Huxley Modells mit Computersimulationen in Kapitel 2 und Kapitel 3 verwendet werden. In Kapitel 2 werden die Aussagen über die drei verschiedenen Inputtypen (i), (ii) und (iii) verifiziert. Außerdem werden die Periodizitäten in (ii) und (iii) genauer untersucht. In Kapitel 3 werden die Inputtypen in einen Ornstein-Uhlenbeck Prozess eingebettet, um den Einfluss von Rauschen auf die Ergebnisse aus Kapitel 2 zu untersuchen.