On Sandwiched Singularities

Sandwich-Singularitäten sind die Singularitäten auf derNormalisierung von Aufblasungen eines regulärenFlächenkeimes. In der Arbeit wird ein enger Zusammenhangzwischen Topologie und Deformationstheorie vonSandwich-Singularitäten einerseits und ebenenKurvensingularitäten andererseits dargestellt. NeueErgebnisse betreffen u.a. Deformationen vonnulldimensionalen komplexen Räumen in der Ebene, die durchvollständige Ideale beschrieben werden, z.B. wann'simultanes Aufblasen' der Fasern einer solchen Deformationmöglich ist. Zudem werden Glättungskomponenten und dieKollar-Vermutung für Sandwich-Singularitäten untersucht undim Zusammenhang damit numerische Kriterien für die Frage, obdie symbolische Algebra einer Raumkurve endlich erzeugt ist.

A dictionary of modular threefolds

The thesis deals with the modularity conjecture for three-dimensional Calabi-Yau varieties. This is a generalization of the work of A. Wiles and others on modularity of elliptic curves. Modularity connects the number of points on varieties with coefficients of certain modular forms. In chapter 1 we collect the basics on arithmetic on Calabi-Yau manifolds, including general modularity results and strategies for modularity proofs. In chapters 2, 3, 4 and 5 we investigate examples of modular Calabi-Yau threefolds, including all examples occurring in the literature and many new ones. Double octics, i.e. Double coverings of projective 3-space branched along an octic surface, are studied in detail. In chapter 6 we deal with examples connected with the same modular forms. According to the Tate conjecture there should be correspondences between them. Many correspondences are constructed explicitly. We finish by formulating conjectures on the occurring newforms, especially their levels. In the appendices we compile tables of coefficients of weight 2 and weight 4 newforms and many examples of double octics.

Eduard Study (1862-1930) - ein mathematischer Mephistopheles im geometrischen Gärtchen

Diese Arbeit befasst sich mit Eduard Study (1862-1930), einem der deutschen Geometer um die Jahrhundertwende, der seine Zeit zum Einen durch seine Kontakte zu Klein, Hilbert, Engel, Lie, Gordan, Halphen, Zeuthen, Einstein, Hausdorff und Weyl geprägt hat, zum Anderen in ihr aber auch für seine beißenden und stilistisch ausgefeilten Kritiken ebenso berühmt wie berüchtigt war. Da sich Study mit einer Vielzahl mathematischer Themen beschäftigt hat, führen wir zunächst in die von ihm bearbeiteten Gebiete der Geometrie des 19. Jahrhunderts ein (analytische und synthetische Geometrie im Sinne von Monge, Poncelet, Plücker und Reye, Invariantentheorie Clebsch-Gordan'scher Prägung, abzählende Geometrie von Chasles und Halphen, die Werke Lie's und Grassmann’s, Liniengeometrie sowie Axiomatik und Grundlagenkrise). In seiner darauf folgenden Biographie finden sich als zentrale Stellen seine Habilitation bei Klein über die Chasles’sche Vermutung, sein Streit mit Zeuthen darüber als eine der Debatten der Mathematischen Annalen (aus der er historisch zwar nicht, mathematisch aber tatsächlich als Gewinner hätte herausgehen müssen, wie wir an der Lösung des Problems durch van der Waerden sehen werden) und seine Auseinandersetzungen als etablierter Bonner Professor mit Engel über Lie, Weyl über Invariantentheorie, zahlreichen philosophischen Richtungen über das Raumproblem, Pasch’s Axiomatik, Hilbert’s Formalismus sowie Brouwer’s und Weyl’s Intuitionismus.

Quantum Einstein gravity - advancements of heat kernel-based renormalization group studies

The asymptotic safety scenario allows to define a consistent theory of quantized gravity within the framework of quantum field theory. The central conjecture of this scenario is the existence of a non-Gaussian fixed point of the theory's renormalization group flow, that allows to formulate renormalization conditions that render the theory fully predictive. Investigations of this possibility use an exact functional renormalization group equation as a primary non-perturbative tool. This equation implements Wilsonian renormalization group transformations, and is demonstrated to represent a reformulation of the functional integral approach to quantum field theory.rnAs its main result, this thesis develops an algebraic algorithm which allows to systematically construct the renormalization group flow of gauge theories as well as gravity in arbitrary expansion schemes. In particular, it uses off-diagonal heat kernel techniques to efficiently handle the non-minimal differential operators which appear due to gauge symmetries. The central virtue of the algorithm is that no additional simplifications need to be employed, opening the possibility for more systematic investigations of the emergence of non-perturbative phenomena. As a by-product several novel results on the heat kernel expansion of the Laplace operator acting on general gauge bundles are obtained.rnThe constructed algorithm is used to re-derive the renormalization group flow of gravity in the Einstein-Hilbert truncation, showing the manifest background independence of the results. The well-studied Einstein-Hilbert case is further advanced by taking the effect of a running ghost field renormalization on the gravitational coupling constants into account. A detailed numerical analysis reveals a further stabilization of the found non-Gaussian fixed point.rnFinally, the proposed algorithm is applied to the case of higher derivative gravity including all curvature squared interactions. This establishes an improvement of existing computations, taking the independent running of the Euler topological term into account. Known perturbative results are reproduced in this case from the renormalization group equation, identifying however a unique non-Gaussian fixed point.rn

Monodromy calculations for some differential equations

In vielen Teilgebieten der Mathematik ist es w"{u}nschenswert, die Monodromiegruppe einer homogenen linearen Differenzialgleichung zu verstehen. Es sind nur wenige analytische Methoden zur Berechnung dieser Gruppe bekannt, daher entwickeln wir im ersten Teil dieser Arbeit eine numerische Methode zur Approximation ihrer Erzeuger.rnIm zweiten Abschnitt fassen wir die Grundlagen der Theorie der Uniformisierung Riemannscher Fl"achen und die der arithmetischen Fuchsschen Gruppen zusammen. Auss erdem erkl"aren wir, wie unsere numerische Methode bei der Bestimmung von uniformisierenden Differenzialgleichungen dienlich sein kann. F"ur arithmetische Fuchssche Gruppen mit zwei Erzeugern erhalten wir lokale Daten und freie Parameter von Lam'{e} Gleichungen, welche die zugeh"origen Riemannschen Fl"achen uniformisieren. rnIm dritten Teil geben wir einen kurzen Abriss zur homologischen Spiegelsymmetrie und f"uhren die $widehat{Gamma}$-Klasse ein. Wir erkl"aren wie diese genutzt werden kann, um eine Hodge-theoretische Version der Spiegelsymmetrie f"ur torische Varit"aten zu beweisen. Daraus gewinnen wir Vermutungen "uber die Monodromiegruppe $M$ von Picard-Fuchs Gleichungen von gewissen Familien $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ von $n$-dimensionalen Calabi-Yau Variet"aten. Diese besagen erstens, dass bez"uglich einer nat"urlichen Basis die Monodromiematrizen in $M$ Eintr"age aus dem K"orper $bbq(zeta(2j+1)/(2 pi i)^{2j+1},j=1,ldots,lfloor (n-1)/2 rfloor)$ haben. Und zweitens, dass sich topologische Invarianten des Spiegelpartners einer generischen Faser von $f:mathcal{X}rightarrow bbp^1$ aus einem speziellen Element von $M$ rekonstruieren lassen. Schliess lich benutzen wir die im ersten Teil entwickelten Methoden zur Verifizierung dieser Vermutungen, vornehmlich in Hinblick auf Dimension drei. Dar"uber hinaus erstellen wir eine Liste von Kandidaten topologischer Invarianten von vermutlich existierenden dreidimensionalen Calabi-Yau Variet"aten mit $h^{1,1}=1$.