Spectral and variational characterizations of solutions to semilinear eigenvalue problems

Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit einer Klasse von nichtlinearen Eigenwertproblemen mit Variationsstrukturin einem reellen Hilbertraum. Die betrachteteEigenwertgleichung ergibt sich demnach als Euler-Lagrange-Gleichung eines stetig differenzierbarenFunktionals, zusätzlich sei der nichtlineare Anteil desProblems als ungerade und definit vorausgesetzt.Die wichtigsten Ergebnisse in diesem abstrakten Rahmen sindKriterien für die Existenz spektral charakterisierterLösungen, d.h. von Lösungen, deren Eigenwert gerade miteinem vorgegeben variationellen Eigenwert eines zugehörigen linearen Problems übereinstimmt. Die Herleitung dieserKriterien basiert auf einer Untersuchung kontinuierlicher Familien selbstadjungierterEigenwertprobleme und erfordert Verallgemeinerungenspektraltheoretischer Konzepte.Neben reinen Existenzsätzen werden auch Beziehungen zwischenspektralen Charakterisierungen und denLjusternik-Schnirelman-Niveaus des Funktionals erörtert.Wir betrachten Anwendungen auf semilineareDifferentialgleichungen (sowieIntegro-Differentialgleichungen) zweiter Ordnung. Diesliefert neue Informationen über die zugehörigenLösungsmengen im Hinblick auf Knoteneigenschaften. Diehergeleiteten Methoden eignen sich besonders für eindimensionale und radialsymmetrische Probleme, während einTeil der Resultate auch ohne Symmetrieforderungen gültigist.

Supramolecular order and dynamics of discotic materials studied by solid-state NMR recoupling methods

The topic of this thesis is the investigation of structure,order and dynamics in discotic mesogens by advancedsolid-state NMR spectroscopy. Most of the discotic mesogensunder investigation are hexa-peri-hexabenzocoronene (HBC)derivatives which are of particular interest for potentialdevice applications due to their high one-dimensional chargecarrier mobilities. The supramolecular stacking arrangement of the discoticcores was investigated by 2D 1H-1H double-quantum (DQ)methods, which were modified by incorporating the WATERGATEsuppression technique into the experiments in order toovercome severe phase problems arising from the strongsignal of the long alkyl sidechains. Molecular dynamics and sample orientation was probed throughthe generation of sideband patterns by reconversion rotorencoding in 2D recoupling experiments. These experimentswere extended by new recoupling schemes to enable thedistinction of motion and orientation effects. The solid-state NMR studies presented in this work aim tothe understanding of structure-property relationships in theinvestigated discotic materials, while the experimentsapplied to these materials include new recoupling schemeswhich make the desired information on molecular orientationand dynamics accessible without isotope labelling.

Mixed finite-element methods for elliptic convection-dominated problems arising in semiconductor physics

In this work we develop and analyze an adaptive numerical scheme for simulating a class of macroscopic semiconductor models. At first the numerical modelling of semiconductors is reviewed in order to classify the Energy-Transport models for semiconductors that are later simulated in 2D. In this class of models the flow of charged particles, that are negatively charged electrons and so-called holes, which are quasi-particles of positive charge, as well as their energy distributions are described by a coupled system of nonlinear partial differential equations. A considerable difficulty in simulating these convection-dominated equations is posed by the nonlinear coupling as well as due to the fact that the local phenomena such as "hot electron effects" are only partially assessable through the given data. The primary variables that are used in the simulations are the particle density and the particle energy density. The user of these simulations is mostly interested in the current flow through parts of the domain boundary - the contacts. The numerical method considered here utilizes mixed finite-elements as trial functions for the discrete solution. The continuous discretization of the normal fluxes is the most important property of this discretization from the users perspective. It will be proven that under certain assumptions on the triangulation the particle density remains positive in the iterative solution algorithm. Connected to this result an a priori error estimate for the discrete solution of linear convection-diffusion equations is derived. The local charge transport phenomena will be resolved by an adaptive algorithm, which is based on a posteriori error estimators. At that stage a comparison of different estimations is performed. Additionally a method to effectively estimate the error in local quantities derived from the solution, so-called "functional outputs", is developed by transferring the dual weighted residual method to mixed finite elements. For a model problem we present how this method can deliver promising results even when standard error estimator fail completely to reduce the error in an iterative mesh refinement process.

Inverse problems in classical and quantum physics

The subject of this thesis is in the area of Applied Mathematics known as Inverse Problems. Inverse problems are those where a set of measured data is analysed in order to get as much information as possible on a model which is assumed to represent a system in the real world. We study two inverse problems in the fields of classical and quantum physics: QCD condensates from tau-decay data and the inverse conductivity problem. Despite a concentrated effort by physicists extending over many years, an understanding of QCD from first principles continues to be elusive. Fortunately, data continues to appear which provide a rather direct probe of the inner workings of the strong interactions. We use a functional method which allows us to extract within rather general assumptions phenomenological parameters of QCD (the condensates) from a comparison of the time-like experimental data with asymptotic space-like results from theory. The price to be paid for the generality of assumptions is relatively large errors in the values of the extracted parameters. Although we do not claim that our method is superior to other approaches, we hope that our results lend additional confidence to the numerical results obtained with the help of methods based on QCD sum rules. EIT is a technology developed to image the electrical conductivity distribution of a conductive medium. The technique works by performing simultaneous measurements of direct or alternating electric currents and voltages on the boundary of an object. These are the data used by an image reconstruction algorithm to determine the electrical conductivity distribution within the object. In this thesis, two approaches of EIT image reconstruction are proposed. The first is based on reformulating the inverse problem in terms of integral equations. This method uses only a single set of measurements for the reconstruction. The second approach is an algorithm based on linearisation which uses more then one set of measurements. A promising result is that one can qualitatively reconstruct the conductivity inside the cross-section of a human chest. Even though the human volunteer is neither two-dimensional nor circular, such reconstructions can be useful in medical applications: monitoring for lung problems such as accumulating fluid or a collapsed lung and noninvasive monitoring of heart function and blood flow.

Statistical problems related to excitation threshold and reset value of membrane potentials

Die vorliegende Arbeit ist motiviert durch biologische Fragestellungen bezüglich des Verhaltens von Membranpotentialen in Neuronen. Ein vielfach betrachtetes Modell für spikende Neuronen ist das Folgende. Zwischen den Spikes verhält sich das Membranpotential wie ein Diffusionsprozess X der durch die SDGL dX_t= beta(X_t) dt+ sigma(X_t) dB_t gegeben ist, wobei (B_t) eine Standard-Brown'sche Bewegung bezeichnet. Spikes erklärt man wie folgt. Sobald das Potential X eine gewisse Exzitationsschwelle S überschreitet entsteht ein Spike. Danach wird das Potential wieder auf einen bestimmten Wert x_0 zurückgesetzt. In Anwendungen ist es manchmal möglich, einen Diffusionsprozess X zwischen den Spikes zu beobachten und die Koeffizienten der SDGL beta() und sigma() zu schätzen. Dennoch ist es nötig, die Schwellen x_0 und S zu bestimmen um das Modell festzulegen. Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, ist x_0 und S als Parameter eines statistischen Modells aufzufassen und diese zu schätzen. In der vorliegenden Arbeit werden vier verschiedene Fälle diskutiert, in denen wir jeweils annehmen, dass das Membranpotential X zwischen den Spikes eine Brown'sche Bewegung mit Drift, eine geometrische Brown'sche Bewegung, ein Ornstein-Uhlenbeck Prozess oder ein Cox-Ingersoll-Ross Prozess ist. Darüber hinaus beobachten wir die Zeiten zwischen aufeinander folgenden Spikes, die wir als iid Treffzeiten der Schwelle S von X gestartet in x_0 auffassen. Die ersten beiden Fälle ähneln sich sehr und man kann jeweils den Maximum-Likelihood-Schätzer explizit angeben. Darüber hinaus wird, unter Verwendung der LAN-Theorie, die Optimalität dieser Schätzer gezeigt. In den Fällen OU- und CIR-Prozess wählen wir eine Minimum-Distanz-Methode, die auf dem Vergleich von empirischer und wahrer Laplace-Transformation bezüglich einer Hilbertraumnorm beruht. Wir werden beweisen, dass alle Schätzer stark konsistent und asymptotisch normalverteilt sind. Im letzten Kapitel werden wir die Effizienz der Minimum-Distanz-Schätzer anhand simulierter Daten überprüfen. Ferner, werden Anwendungen auf reale Datensätze und deren Resultate ausführlich diskutiert.

Efficient parallel proximity queries and an application to highly complex motion planning problems with many narrow passages

In vielen Bereichen der industriellen Fertigung, wie zum Beispiel in der Automobilindustrie, wer- den digitale Versuchsmodelle (sog. digital mock-ups) eingesetzt, um die Entwicklung komplexer Maschinen m ̈oglichst gut durch Computersysteme unterstu ̈tzen zu k ̈onnen. Hierbei spielen Be- wegungsplanungsalgorithmen eine wichtige Rolle, um zu gew ̈ahrleisten, dass diese digitalen Pro- totypen auch kollisionsfrei zusammengesetzt werden k ̈onnen. In den letzten Jahrzehnten haben sich hier sampling-basierte Verfahren besonders bew ̈ahrt. Diese erzeugen eine große Anzahl von zuf ̈alligen Lagen fu ̈r das ein-/auszubauende Objekt und verwenden einen Kollisionserken- nungsmechanismus, um die einzelnen Lagen auf Gu ̈ltigkeit zu u ̈berpru ̈fen. Daher spielt die Kollisionserkennung eine wesentliche Rolle beim Design effizienter Bewegungsplanungsalgorith- men. Eine Schwierigkeit fu ̈r diese Klasse von Planern stellen sogenannte “narrow passages” dar, schmale Passagen also, die immer dort auftreten, wo die Bewegungsfreiheit der zu planenden Objekte stark eingeschr ̈ankt ist. An solchen Stellen kann es schwierig sein, eine ausreichende Anzahl von kollisionsfreien Samples zu finden. Es ist dann m ̈oglicherweise n ̈otig, ausgeklu ̈geltere Techniken einzusetzen, um eine gute Performance der Algorithmen zu erreichen.rnDie vorliegende Arbeit gliedert sich in zwei Teile: Im ersten Teil untersuchen wir parallele Kollisionserkennungsalgorithmen. Da wir auf eine Anwendung bei sampling-basierten Bewe- gungsplanern abzielen, w ̈ahlen wir hier eine Problemstellung, bei der wir stets die selben zwei Objekte, aber in einer großen Anzahl von unterschiedlichen Lagen auf Kollision testen. Wir im- plementieren und vergleichen verschiedene Verfahren, die auf Hu ̈llk ̈operhierarchien (BVHs) und hierarchische Grids als Beschleunigungsstrukturen zuru ̈ckgreifen. Alle beschriebenen Verfahren wurden auf mehreren CPU-Kernen parallelisiert. Daru ̈ber hinaus vergleichen wir verschiedene CUDA Kernels zur Durchfu ̈hrung BVH-basierter Kollisionstests auf der GPU. Neben einer un- terschiedlichen Verteilung der Arbeit auf die parallelen GPU Threads untersuchen wir hier die Auswirkung verschiedener Speicherzugriffsmuster auf die Performance der resultierenden Algo- rithmen. Weiter stellen wir eine Reihe von approximativen Kollisionstests vor, die auf den beschriebenen Verfahren basieren. Wenn eine geringere Genauigkeit der Tests tolerierbar ist, kann so eine weitere Verbesserung der Performance erzielt werden.rnIm zweiten Teil der Arbeit beschreiben wir einen von uns entworfenen parallelen, sampling- basierten Bewegungsplaner zur Behandlung hochkomplexer Probleme mit mehreren “narrow passages”. Das Verfahren arbeitet in zwei Phasen. Die grundlegende Idee ist hierbei, in der er- sten Planungsphase konzeptionell kleinere Fehler zuzulassen, um die Planungseffizienz zu erh ̈ohen und den resultierenden Pfad dann in einer zweiten Phase zu reparieren. Der hierzu in Phase I eingesetzte Planer basiert auf sogenannten Expansive Space Trees. Zus ̈atzlich haben wir den Planer mit einer Freidru ̈ckoperation ausgestattet, die es erlaubt, kleinere Kollisionen aufzul ̈osen und so die Effizienz in Bereichen mit eingeschr ̈ankter Bewegungsfreiheit zu erh ̈ohen. Optional erlaubt unsere Implementierung den Einsatz von approximativen Kollisionstests. Dies setzt die Genauigkeit der ersten Planungsphase weiter herab, fu ̈hrt aber auch zu einer weiteren Perfor- mancesteigerung. Die aus Phase I resultierenden Bewegungspfade sind dann unter Umst ̈anden nicht komplett kollisionsfrei. Um diese Pfade zu reparieren, haben wir einen neuartigen Pla- nungsalgorithmus entworfen, der lokal beschr ̈ankt auf eine kleine Umgebung um den bestehenden Pfad einen neuen, kollisionsfreien Bewegungspfad plant.rnWir haben den beschriebenen Algorithmus mit einer Klasse von neuen, schwierigen Metall- Puzzlen getestet, die zum Teil mehrere “narrow passages” aufweisen. Unseres Wissens nach ist eine Sammlung vergleichbar komplexer Benchmarks nicht ̈offentlich zug ̈anglich und wir fan- den auch keine Beschreibung von vergleichbar komplexen Benchmarks in der Motion-Planning Literatur.

Higher-order molecular properties and excitation energies in single-reference and multireference coupled-cluster theory

Coupled-cluster (CC) theory is one of the most successful approaches in high-accuracy quantum chemistry. The present thesis makes a number of contributions to the determination of molecular properties and excitation energies within the CC framework. The multireference CC (MRCC) method proposed by Mukherjee and coworkers (Mk-MRCC) has been benchmarked within the singles and doubles approximation (Mk-MRCCSD) for molecular equilibrium structures. It is demonstrated that Mk-MRCCSD yields reliable results for multireference cases where single-reference CC methods fail. At the same time, the present work also illustrates that Mk-MRCC still suffers from a number of theoretical problems and sometimes gives rise to results of unsatisfactory accuracy. To determine polarizability tensors and excitation spectra in the MRCC framework, the Mk-MRCC linear-response function has been derived together with the corresponding linear-response equations. Pilot applications show that Mk-MRCC linear-response theory suffers from a severe problem when applied to the calculation of dynamic properties and excitation energies: The Mk-MRCC sufficiency conditions give rise to a redundancy in the Mk-MRCC Jacobian matrix, which entails an artificial splitting of certain excited states. This finding has established a new paradigm in MRCC theory, namely that a convincing method should not only yield accurate energies, but ought to allow for the reliable calculation of dynamic properties as well. In the context of single-reference CC theory, an analytic expression for the dipole Hessian matrix, a third-order quantity relevant to infrared spectroscopy, has been derived and implemented within the CC singles and doubles approximation. The advantages of analytic derivatives over numerical differentiation schemes are demonstrated in some pilot applications.

On arc-routing problems

Das Basisproblem von Arc-Routing Problemen mit mehreren Fahrzeugen ist das Capacitated Arc-Routing Problem (CARP). Praktische Anwendungen des CARP sind z.B. in den Bereichen Müllabfuhr und Briefzustellung zu finden. Das Ziel ist es, einen kostenminimalen Tourenplan zu berechnen, bei dem alle erforderlichen Kanten bedient werden und gleichzeitig die Fahrzeugkapazität eingehalten wird. In der vorliegenden Arbeit wird ein Cut-First Branch-and-Price Second Verfahren entwickelt. In der ersten Phase werden Schnittebenen generiert, die dem Master Problem in der zweiten Phase hinzugefügt werden. Das Subproblem ist ein kürzeste Wege Problem mit Ressourcen und wird gelöst um neue Spalten für das Master Problem zu liefern. Ganzzahlige CARP Lösungen werden durch ein neues hierarchisches Branching-Schema garantiert. Umfassende Rechenstudien zeigen die Effektivität dieses Algorithmus. Kombinierte Standort- und Arc-Routing Probleme ermöglichen eine realistischere Modellierung von Zustellvarianten bei der Briefzustellung. In dieser Arbeit werden jeweils zwei mathematische Modelle für Park and Loop und Park and Loop with Curbline vorgestellt. Die Modelle für das jeweilige Problem unterscheiden sich darin, wie zulässige Transfer Routen modelliert werden. Während der erste Modelltyp Subtour-Eliminationsbedingungen verwendet, werden bei dem zweiten Modelltyp Flussvariablen und Flusserhaltungsbedingungen eingesetzt. Die Rechenstudie zeigt, dass ein MIP-Solver den zweiten Modelltyp oft in kürzerer Rechenzeit lösen kann oder bei Erreichen des Zeitlimits bessere Zielfunktionswerte liefert.