Mixed finite-element methods for elliptic convection-dominated problems arising in semiconductor physics

In this work we develop and analyze an adaptive numerical scheme for simulating a class of macroscopic semiconductor models. At first the numerical modelling of semiconductors is reviewed in order to classify the Energy-Transport models for semiconductors that are later simulated in 2D. In this class of models the flow of charged particles, that are negatively charged electrons and so-called holes, which are quasi-particles of positive charge, as well as their energy distributions are described by a coupled system of nonlinear partial differential equations. A considerable difficulty in simulating these convection-dominated equations is posed by the nonlinear coupling as well as due to the fact that the local phenomena such as "hot electron effects" are only partially assessable through the given data. The primary variables that are used in the simulations are the particle density and the particle energy density. The user of these simulations is mostly interested in the current flow through parts of the domain boundary - the contacts. The numerical method considered here utilizes mixed finite-elements as trial functions for the discrete solution. The continuous discretization of the normal fluxes is the most important property of this discretization from the users perspective. It will be proven that under certain assumptions on the triangulation the particle density remains positive in the iterative solution algorithm. Connected to this result an a priori error estimate for the discrete solution of linear convection-diffusion equations is derived. The local charge transport phenomena will be resolved by an adaptive algorithm, which is based on a posteriori error estimators. At that stage a comparison of different estimations is performed. Additionally a method to effectively estimate the error in local quantities derived from the solution, so-called "functional outputs", is developed by transferring the dual weighted residual method to mixed finite elements. For a model problem we present how this method can deliver promising results even when standard error estimator fail completely to reduce the error in an iterative mesh refinement process.

In dieser Arbeit wird ein adaptives numerisches Verfahren zur Simulation einer Klasse von makroskopischen Halbleitermodellen vorgestellt und analysiert. Dazu wird zunächst in die mathematische Modellierung von Halbleitern eingeführt. Dies dient zur Einordnung der im weiteren Verlauf numerisch in 2D genauer untersuchten Energie--Transport Modelle. Diese Modellklasse beschreibt den Fluß von geladenen Teilchen, d.h. von negativ geladenen Elektronen und sogenannten Löchern, das sind pseudoteilchen mit positiver Ladung, und deren Energieverteilung in einem Halbleiterkristall anhand eines Systems von nichtlinearen gekoppelten partiellen Differentialgleichungen. Eine wesentliche Schwierigkeit in der numerischen Behandlung dieser Gleichungen stellen einerseits die nichtlineare Kopplung und die nur teilweise durch die Daten abschätzbaren lokalen Phänomene, sogenannter ``hot electron effects'', dieser teils konvektionsdominanten Gleichungen dar. Die primären Größen der Modelle sind in der hier für die Simulationen verwendeten Formulierung Teilchen- und Energiedichten. Weiterhin entscheidend ist für den Anwender die Größe des Stromflusses durch Teile des Randes, sogenannte Kontakte. Das hier betrachtete numerische Verfahren verwendet gemischte Finite Elemente als Ansatzraum für die diskrete Lösung. Die stetige Diskretisierung der Normalkomponente der Stromdichte ist aus Sicht der Anwendung der entscheidende Vorteil dieser Elemente. Es wird gezeigt, daß im Laufe des Algorithmus unter bestimmten Bedingungen an die Triangulierung sichergestellt ist, daß die Teilchendichten positiv bleiben. In diesem Zusammenhang wird ebenfalls eine a priori Fehlerabschätzung für die diskrete Lösung einer linearen Konvektions-Diffusions-Gleichung bewiesen. Die lokalen Phänomene im Halbleiter werden durch adaptive Verfahren, die auf a posteriori Fehlerschätzern beruhen, geeignet aufgelöst. Es findet an dieser Stelle ein Vergleich verschiedener Fehlerschätzer statt. Außerdem wird ein Verfahren zur Fehlerschätzung in von der Lösung abgeleiteten Größen, sogenannten ``functional outputs'', auf die Diskretisierung mit gemischten Finiten Elementen übertragen. An einem Beispielproblem wird dargestellt, wie dieses Verfahren noch erfolgversprechend angewendet werden kann, wenn Standardfehlerschätzer keine Reduktion des Fehlers im Zuge iterativer Gitterverfeinerung erzielen.