Single polymers at surfaces: adsorption and detachment

This thesis is concerned with the adsorption and detachment of polymers at planar, rigid surfaces. We have carried out a systematic investigation of adsorption of polymers using analytical techniques as well as Monte Carlo simulations with a coarse grained off-lattice bead spring model. The investigation was carried out in three stages. In the first stage the adsorption of a single multiblock AB copolymer on a solid surface was investigated by means of simulations and scaling analysis. It was shown that the problem could be mapped onto an effective homopolymer problem. Our main result was the phase diagram of regular multiblock copolymers which shows an increase in the critical adsorption potential of the substrate with decreasing size of blocks. We also considered the adsorption of random copolymers which was found to be well described within the annealed disorder approximation. In the next phase, we studied the adsorption kinetics of a single polymer on a flat, structureless surface in the regime of strong physisorption. The idea of a ’stem-flower’ polymer conformation and the mechanism of ’zipping’ during the adsorption process were used to derive a Fokker-Planck equation with reflecting boundary conditions for the time dependent probability distribution function (PDF) of the number of adsorbed monomers. The numerical solution of the time-dependent PDF obtained from a discrete set of coupled differential equations were shown to be in perfect agreement with Monte Carlo simulation results. Finally we studied force induced desorption of a polymer chain adsorbed on an attractive surface. We approached the problem within the framework of two different statistical ensembles; (i) by keeping the pulling force fixed while measuring the position of the polymer chain end, and (ii) by measuring the force necessary to keep the chain end at fixed distance above the adsorbing plane. In the first case we treated the problem within the framework of the Grand Canonical Ensemble approach and derived analytic expressions for the various conformational building blocks, characterizing the structure of an adsorbed linear polymer chain, subject to pulling force of fixed strength. The main result was the phase diagram of a polymer chain under pulling. We demonstrated a novel first order phase transformation which is dichotomic i.e. phase coexistence is not possible. In the second case, we carried out our study in the “fixed height” statistical ensemble where one measures the fluctuating force, exerted by the chain on the last monomer when a chain end is kept fixed at height h over the solid plane at different adsorption strength ε. The phase diagram in the h − ε plane was calculated both analytically and by Monte Carlo simulations. We demonstrated that in the vicinity of the polymer desorption transition a number of properties like fluctuations and probability distribution of various quantities behave differently, if h rather than the force, f, is used as an independent control parameter.

Picard-Fuchs equations of dimensionally regulated Feynman integrals

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit besch¨aftige ich mich mit Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. Ein Feynman–Integral h¨angt von einem Dimensionsparameter D ab und kann f¨ur ganzzahlige Dimension als projektives Integral dargestellt werden. Dies ist die sogenannte Feynman–Parameter Darstellung. In Abh¨angigkeit der Dimension kann ein solches Integral divergieren. Als Funktion in D erh¨alt man eine meromorphe Funktion auf ganz C. Ein divergentes Integral kann also durch eine Laurent–Reihe ersetzt werden und dessen Koeffizienten r¨ucken in das Zentrum des Interesses. Diese Vorgehensweise wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet. Alle Terme einer solchen Laurent–Reihe eines Feynman–Integrals sind Perioden im Sinne von Kontsevich und Zagier. Ich beschreibe eine neue Methode zur Berechnung von Differentialgleichungen von Feynman– Integralen. ¨ Ublicherweise verwendet man hierzu die sogenannten ”integration by parts” (IBP)– Identit¨aten. Die neue Methode verwendet die Theorie der Picard–Fuchs–Differentialgleichungen. Im Falle projektiver oder quasi–projektiver Variet¨aten basiert die Berechnung einer solchen Differentialgleichung auf der sogenannten Griffiths–Dwork–Reduktion. Zun¨achst beschreibe ich die Methode f¨ur feste, ganzzahlige Dimension. Nach geeigneter Verschiebung der Dimension erh¨alt man direkt eine Periode und somit eine Picard–Fuchs–Differentialgleichung. Diese ist inhomogen, da das Integrationsgebiet einen Rand besitzt und daher nur einen relativen Zykel darstellt. Mit Hilfe von dimensionalen Rekurrenzrelationen, die auf Tarasov zur¨uckgehen, kann in einem zweiten Schritt die L¨osung in der urspr¨unglichen Dimension bestimmt werden. Ich beschreibe außerdem eine Methode, die auf der Griffiths–Dwork–Reduktion basiert, um die Differentialgleichung direkt f¨ur beliebige Dimension zu berechnen. Diese Methode ist allgemein g¨ultig und erspart Dimensionswechsel. Ein Erfolg der Methode h¨angt von der M¨oglichkeit ab, große Systeme von linearen Gleichungen zu l¨osen. Ich gebe Beispiele von Integralen von Graphen mit zwei und drei Schleifen. Tarasov gibt eine Basis von Integralen an, die Graphen mit zwei Schleifen und zwei externen Kanten bestimmen. Ich bestimme Differentialgleichungen der Integrale dieser Basis. Als wichtigstes Beispiel berechne ich die Differentialgleichung des sogenannten Sunrise–Graphen mit zwei Schleifen im allgemeinen Fall beliebiger Massen. Diese ist f¨ur spezielle Werte von D eine inhomogene Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie elliptischer Kurven. Der Sunrise–Graph ist besonders interessant, weil eine analytische L¨osung erst mit dieser Methode gefunden werden konnte, und weil dies der einfachste Graph ist, dessen Master–Integrale nicht durch Polylogarithmen gegeben sind. Ich gebe außerdem ein Beispiel eines Graphen mit drei Schleifen. Hier taucht die Picard–Fuchs–Gleichung einer Familie von K3–Fl¨achen auf.