The Complex Monge-Ampère Equation

In questa trattazione si studia la regolarità delle soluzioni viscose plurisubarmoniche dell’equazione di Monge-Ampère complessa. Si tratta di un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine completamente non lineare il cui termine del secondo ordine è il determinante della matrice hessiana complessa di una funzione incognita a valori reali u. Il principale risultato della tesi è un nuovo controesempio di tipo Pogorelov per questa equazione. Si prova cioè l’esistenza di soluzioni viscose plurisubarmoniche e non classiche per un equazione di Monge-Ampère complessa.

La misura di Monge-Ampère

In questo documento si costruisce la misura di Monge-Ampère partendo da una funzione continua convessa u a n variabili a valori reali. Si studiano le proprietà fondamentali di questa misura. Si enuncia la definizione di soluzioni generalizzate e soluzioni di viscosità dell'equazione di Monge-Ampère e si mostrano alcuni risultati importanti riguardo queste soluzioni. Utilizzando la nozione di misura di Monge-Ampère si dimostra il principio di massimo di Aleksandrov-Bakelman-Pucci.