Formula integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla

La tesi consiste nella ricerca di un candidato ideale per la soluzione del problema di Dirichlet. Vengono affrontati gli argomenti in maniera graduale, partendo dalle funzioni armoniche e le loro relative proprietà, passando per le identità e le formule di rappresentazione di Green, per finire nell'analisi del problema sopra citato, mediante i risultati precedentemente ottenuti, per concludere trovando la formula integrale di Poisson come soluzione ma anche come formula generale per sviluppi in vari ambiti.

Formula integrale di Poisson

Il tema centrale di questa tesi è lo studio del problema di Dirichlet per il Laplaciano in R^2 usando le serie di Fourier. Il problema di Dirichlet per il Laplaciano consiste nel determinare una funzione f armonica e regolare in un dominio limitato D quando sono noti i valori che f assume sul suo bordo. Ammette una sola soluzione, ma non esistono criteri generali per ricavarla. In questa tesi si mostra come la formula integrale di Poisson, sotto determinate condizioni, risolva il problema di Dirichlet in R^2 e in R^n.

Operator preconditioning per sistemi lineari provenienti dall’equazione di Poisson

Le equazioni alle derivate parziali lineari (PDE’s) hanno un ruolo centrale in molte applicazioni di tipo scientifico, ingegneristico, medico, finanziario e sociale. È necessario, per questo motivo, avere metodi robusti che permettano di approssimare soluzioni di classi di PDE’s. Nell’ambito dei problemi lineari ellittici stazionari, una delle procedure comunemente utilizzate consiste nel discretizzare l’equazione differenziale mediante l’approssimazione delle derivate con differenze finite nel dominio considerato, e risolvere il sistema lineare algebrico risultante. Lo scopo dell’elaborato è studiare la dipendenza della convergenza del metodo dei Gradienti Coniugati dal parametro di discretizzazione per problemi ellittici autoaggiunti. Studieremo inoltre accelerazioni del metodo di tipo “Operator preconditioning”, che permettono di rendere l’algoritmo indipendente da tale parametro di discretizzazione in termini di numero di iterazioni.