Dualità proiettiva e sistemi lineari di ipersuperfici

Si presentano i risultati necessari a dimostrare il principio di dualità proiettiva. Nella seconda parte si studiano i sistemi lineari di ipersuperfici in uno spazio proiettivo n-dimensionale.

Geometria delle ipersuperfici quadriche dello spazio proiettivo

In questo lavoro vengono analizzate due sottovarietà notevoli di P^5 legate allo studio delle ipersuperfici quadriche: la quadrica di Klein e la superficie di Veronese. La quadrica di Klein è una ipersuperficie di grado 2 di P^5 in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle rette di P^3. Riguardando P^5 come lo spazio delle coniche di P^2, la superficie di Veronese corrisponde alle coniche di rango 1, cioè alle rette doppie.

Modelli topologici del piano proiettivo

In questa tesi ho ripercorso storicamente i modelli del piano proiettivo studiando in particolare quelli di Möbius, Klein e Grassman, fino ad arrivare a quelli più comunemente usati, mostrando le loro equivalenze.

La superficie di Boy: una immersione del piano proiettivo nello spazio ordinario

È ben noto che non è possibile definire un embedding dello spazio proiettivo P^2(R) in R^3. Werner Boy nel 1901 provò per via teorica l’esistenza di un’immersione di P^2 in R^3: l’immagine di tale immersione è nota come superficie di Boy. Successivamente tale immersione venne fornita esplicitamente e si dimostrò che la superficie di Boy poteva essere ottenuta deformando la superficie romana di Steiner. Quest’ultima è una rappresentazione di P^2(R) in R^3 che non è tuttavia un’immersione, per la presenza di punti singolari detti pinch points.

Color/kinematic duality, double copies and scalar matrix models

In questa tesi presentiamo una descrizione autoconsistente della dualità Colore/Cinematica nelle teorie di gauge e al processo di Double Copy. Particolare attenzione viene data all'approccio alla dualità con il formalismo di cono-luce, in quanto semplifica notevolmente sia il calcolo sia l'interpretazione fisica: vengono indagati i settori duale e self-duale per poi passare al modello di Chalmers e Siegel per l'estensione alla teoria generale. Proponiamo quindi uno Scalar Matrix Model, che può essere un buon modello per generare ampiezze ottenibili da una Double Copy `inversa', e ne studiamo un'eventuale dualità a la Colore/Cinematica. Vengono illustrati alcuni casi particolari di rottura spontanea di simmetria. In appendice riportiamo un notebook di Mathematica per il calcolo di ampiezze tree level di puro gauge, utile per i calcoli necessari allo studio della dualità.

Il teorema di Riemann-Roch

Superfici di Riemann compatte, divisori, Teorema di Riemann Roch, immersioni nello spazio proiettivo.

Superfici rigate

Intuitivamente una superficie S è rigata se è un'unione di rette o, equivalentemente, se per ogni punto di essa passa una retta che giace interamente sulla superficie. La superficie si dice doppiamente rigata se per ogni suo punto passano due rette della superficie. Gli esempi più comuni e facili da visualizzare sono i piani, i coni e i cilindri. Scopo di questo elaborato è lo studio delle superfici rigate dello spazio affine reale tridimensionale e delle loro proprietà geometriche locali e globali, con particolare attenzione allo studio delle superfici sviluppabili e delle quadriche rigate. Si considereranno poi le rigate nello spazio proiettivo tridimensionale complesso per arrivare ad un risultato classico sulle superfici algebriche rigate luogo delle rette che si appoggiano a tre curve dello spazio. Nonostante le rigate siano tra le superfici più semplici, il loro studio può essere effettuato da diversi punti di vista: quello della geometria analitica elementare, della geometria differenziale e della geometria proiettiva. La proprietà di una superficie di essere rigata o doppiamente rigata si conserva per trasformazioni affini e per trasformazioni proiettive, e questo le ha rese largamente utilizzate in architettura, come mostra l’ampia letteratura al riguardo.

Analisi Convessa in Spazi Vettoriali Topologici e Ottimizzazione

Questa tesi presenta alcuni aspetti dell'analisi convessa, in spazi vettoriali topologici, indirizzati allo studio di problemi generali di minimizzazione. Dai risultati geometrici dei teoremi di Hahn-Banach, attraverso la descrizione di proprietà fondamentali delle funzioni convesse e del sottodifferenziale, viene descritta la dualità di Fenchel-Moreau, e poi applicata a problemi generali di Ottimizzazione convessa, sotto forma prima di problema primale-duale, e poi come rapporto tra i punti di sella della Lagrangiana e le soluzioni della funzione da minimizzare.

La superficie quadrica rigata e le curve su di essa

Trattazione sulla superficie quadrica rigata nel proiettivo, con cenni sulle quadriche in generale nello spazio affine e proiettivo e sull'unicità della superficie quadrica liscia nello spazio proiettivo complesso. Descrizione della quadrica rigata tramite la Mappa di Segre e tramite la proiezione da un suo punto su di un piano, studio di come ricavare tale quadrica da un piano e descrizione delle curve su di essa.

Rivestimenti topologici e gruppo fondamentale

Questa tesi ha come obiettivo principale quello di calcolare il gruppo fondamentale di alcuni spazi topologici noti, in particolare alcuni spazi di orbite rispetto ad azioni di gruppi. Il gruppo fondamentale è un gruppo che può essere associato ad ogni spazio topologico X connesso per archi e che per le sue proprietà può fornire informazioni sulla topologia di X; è uno dei primi concetti della topologia algebrica. La nozione di gruppo fondamentale è strettamente legata alla nozione di rivestimento, particolare funzione tale che ogni punto del codominio possiede un intorno aperto la cui retroimmagine è unione disgiunta di aperti del dominio ognuno dei quli omeomorfi all’intorno di partenza. Si prendono poi in considerazione il caso di spazio di orbite, cioè di uno spazio quoziente di uno spazio topologico X rispetto all’azione di un gruppo. Se tale azione è propriamente discontinua allora la proiezione canonica è un rivestimento. In questa tesi utilizzeremo i risultati che legano i gruppi fondamentali di X e X/G per calcolare il gruppo fondamentale di alcuni spazi notevoli, quali la circonferenza, il toro, lo spazio proiettivo e il nastro di Moebius.

Curve di terzo grado nel piano e nello spazio

Si è interessati a classificare le cubiche del piano proiettivo complesso. In particolare vengono classificate le cubiche piane dimostrando che ogni cubica non singolare è proiettivamente equivalente a una cubica di equazione affine nota e che esistono infinite classi di equivalenza proiettiva per le cubiche piane non singolari. Si mostra inoltre che le cubiche piane singolari irriducibili possono essere ricondotte a due classi di equivalenza proiettive: la prima classe contiene le cubiche con un nodo, la seconda classe contiene invece le cubiche con una cuspide. Infine si studiano le proiezioni piane della cubica gobba da un suo punto, oppure da un punto esterno alla cubica.

La corrispondenza fra ideali e varietà algebriche, affini e proiettive

L’obiettivo di questa tesi è costruire una corrispondenza tra oggetti algebrici, gli ideali, e oggetti geometrici, le varietà algebriche, e studiarne il comportamento nel caso affine e proiettivo. Nel caso affine, lavorando in campi algebricamente chiusi, si descrive una corrispondenza biunivoca tra ideali radicali e varietà affini non vuote. Ciò permette di riformulare ogni affermazione sulle varietà affini in un’affermazione sugli ideali radicali, e viceversa; in particolare si descrivono le relazioni tra le operazioni su ideali e su varietà: alla somma degli ideali corrisponde l’intersezione di varietà, a prodotto e intersezione di ideali corrisponde l’unione di varietà, al quoziente di ideali corrisponde la chiusura di Zariski della differenza insiemistica delle varietà. Inoltre ad ogni ideale primo corrisponde una varietà irriducibile e agli ideali massimali corrispondono i punti dello spazio. Nel caso proiettivo invece, si considerano ideali omogenei e varietà proiettive, definite da polinomi omogenei. Restringendosi a campi algebricamente chiusi, si ha una corrispondenza biunivoca tra varietà proiettive non vuote e ideali radicali omogenei contenuti in un particolare ideale, (x_0,…,x_n). Con queste restrizioni la corrispondenza tra le operazioni algebriche e geometriche è la stessa studiata nel caso affine. Infine si introduce la chiusura proiettiva di una varietà affine, che è la più piccola varietà proiettiva che contiene una varietà affine data.

Transizioni di fase nel modello di Ising

L'elaborato tratta le transizioni di fase nel modello di Ising, usato per descrivere i sistemi magnetici. Tramite l'argomento di Landau viene introdotto il problema della dimensionalità per l'esistenza di una fase ferromagnetica. Con il sistema di un gas forzato su reticolo viene presentato il carattere universale dei fenomeni critici per mezzo degli esponenti critici. Viene poi risolto in modo esatto il modello unidimensionale, che non prevede una fase ferromagnetica. Per sistemi a dimensionali maggiore viene introdotto il metodo dell'approssimazione di campo medio. Viene infine determinato il valore della temperatura critica per reticoli planari quadrati e di questi viene mostrata la soluzione esatta di Lars Onsager.

Presentazione di varietà tridimensionali tramite poliedri

Lo scopo della tesi è dimostrare un teorema che offre una condizione necessaria e sufficiente affinché un poliedro con facce identificate risulti una varietà tridimensionale. Nel primo capitolo si descrive una possibile metodologia di studio e presentazione delle superfici al fine di fare un confronto con le 3-varietà. Nel secondo capitolo, prima di studiare il teorema principale, si descrivono nozioni di topologia algebrica utili nella sua dimostrazione: la coomologia e la dualità di Poincaré. Infine il terzo capitolo è dedicato alla descrizione di due esempi di 3-varietà e ad un controesempio al teorema in dimensione 5.