Calcolo differenziale senza infinitesimi: una nuova proposta didattica

In questa tesi presentiamo una nuova proposta didattica che consiste nel fare il calcolo differenziale senza l'utilizzo di infinitesimi.

Le funzioni circolari ed esponenziali

Nei capitoli I e II ho costruito rigorosamente le funzioni circolari ed esponenziali rispettivamente attraverso un procedimento analitico tratto dal libro Analisi Matematica di Giovanni Prodi. Nel III capitolo, dopo aver introdotto il numero di Nepero e come limite di una particolare successione monotona, ho calcolato i limiti notevoli dell'esponenziale e della sua inversa, che sono alla base del calcolo differenziale di queste funzioni, concludendo poi la sezione dimostrando l'irrazionalità del numero e, base dei logaritmi naturali. Nel capitolo successivo ho dato, delle funzioni circolari ed esponenziali, i rispettivi sviluppi in serie di Taylor ma solamente nel V capitolo potremo renderci veramente conto di come i risultati ottenuti siano fra loro dipendenti. In particolare verrà messa in evidenza come il legame del tutto naturale che si osserva fra le funzioni circolari e le funzioni esponenziali rappresenta le fondamenta di argomenti molto notevoli e pieni di significato, come l'estensione ai numeri complessi dell'esponenziale o le celebri identità di Eulero. L'ultimo capitolo vedrà come protagonista pi greco, così misterioso quanto affascinante, che per secoli ha smosso gli animi dei matematici intenzionati a volerne svelare la natura. Come per il numero di Nepero, non potrà mancare un paragrafo dedicato alla dimostrazione della sua non razionalità.

Definizione di una metodica per il controllo in continuo delle proprietà meccaniche su prodotti di acciaio laminati e zincati mediante sensore di rilevamento della magnetizzazione residua e sviluppo del ciclo produttivo di un materiale bifasico

Questo elaborato presenta un metodo per lo sviluppo di correlazioni lineari con lo scopo di determinare le proprietà meccaniche di un acciaio laminato e zincato utilizzando un sensore che percepisce la magnetizzazione residua del materiale. Vengono utilizzati metodi statistici di analisi della varianza per lo studio delle funzioni di regressione lineari. Lo studio effettuato è stato sviluppato per la lavorazione di zincatura di coils presso Marcegaglia spa, stabilimento di Ravenna. È risultato evidente che la sola misurazione della magnetizzazione residua non fosse sufficiente per la determinazione delle proprietà meccaniche, a tale proposito sono stati sviluppati dei modelli di calcolo con funzioni multivariabili e, attraverso risolutori che minimizzano la differenza quadratica dell'errore, si sono determinati i coefficienti di regressione. Una delle principali problematiche riscontrate per la definizione delle correlazioni è stato il reperimento dei dati necessari per considerare affidabili i risultati ottenuti. Si sono infatti analizzate solamente le famiglie di materiale più numerose. Sono stati sviluppati tre modelli di calcolo differenti per parametri di processo di produzione utilizzati per la definizione delle correlazioni. Sono stati confrontati gli errori percentuali medi commessi dalle funzioni, gli indici di regressione che indicano la qualità della correlazione e i valori di significatività di ogni singolo coefficiente di regressione delle variabili. Si è dimostrato che la magnetizzazione residua influisce notevolmente, così come i parametri dei processo di ricottura del materiale, come le temperature in forno, lo spessore e le velocità. Questo modello di calcolo è stato utilizzato direttamente in linea per lo sviluppo di un ciclo ottimale per la produzione di un nuovo materiale bifasico. Utilizzando il modello per la predizione delle proprietà meccaniche si è concluso che per limiti impiantistici la chimica del materiale utilizzata non fosse idonea. Si è perciò utilizzato un acciaio con percentuali di carbonio, manganese e cromo differenti. In conclusione del progetto si sono formulate delle possibili alternative di funzioni di regressione che utilizzano il valore della durezza piuttosto che il valore di magnetizzazione residua. Si è appurato che l'utilizzo di un durometro, anziché il sensore studiato, potrebbe risultare una valida alternativa al sensore studiato.

Crittografia basata sull'identità e curve ellittiche

Questa tesi ha lo scopo di fornire una panoramica generale sulle curve ellittiche e il loro utilizzo nella crittografia moderna. L'ultima parte è invece focalizzata a descrivere uno specifico sistema per lo scambio sicuro di messaggi: la crittografia basata sull'identità. Quest'ultima utilizza uno strumento molto interessante, il pairing di Weil, che sarà introdotto nel contesto della teoria dei divisori di funzioni razionali sulle curve ellittiche.

Quantum Riemannian geometry on graphs for gauge field theory

In questo lavoro estendiamo concetti classici della geometria Riemanniana al fine di risolvere le equazioni di Maxwell sul gruppo delle permutazioni $S_3$. Cominciamo dando la strutture algebriche di base e la definizione di calcolo differenziale quantico con le principali proprietà. Generalizziamo poi concetti della geometria Riemanniana, quali la metrica e l'algebra esterna, al caso quantico. Tutto ciò viene poi applicato ai grafi dando la forma esplicita del calcolo differenziale quantico su $\mathbb{K}(V)$, della metrica e Laplaciano del secondo ordine e infine dell'algebra esterna. A questo punto, riscriviamo le equazioni di Maxwell in forma geometrica compatta usando gli operatori e concetti della geometria differenziale su varietà che abbiamo generalizzato in precedenza. In questo modo, considerando l'elettromagnetismo come teoria di gauge, possiamo risolvere le equazioni di Maxwell su gruppi finiti oltre che su varietà differenziabili. In particolare, noi le risolviamo su $S_3$.

Storia e sviluppo del concetto di limite: fra matematica, filosofia e didattica

La letteratura mostra come siano innumerevoli le difficoltà e gli ostacoli nell'apprendimento del concetto di limite: la ricerca è volta ad ipotizzare un possibile aiuto e supporto alla didattica con l'utilizzo della storia della matematica relativa al concetto di limite.

Discalculia e calcolo mentale: l'esperienza didattica in una scuola secondaria di primo grado

Nella tesi si illustra la discalculia, cioè un disturbo che interessa la sfera del calcolo e delle abilità matematiche. Segue una parte di ricerca in classe sul calcolo mentale, in cui è stato programmato un intervento didattico al fine di favorire il ragionamento e poi, tramite l’esercizio, consentire l’automatizzazione delle procedure risolutive.

La comprensione del concetto di limite, dalla storia alla pratica didattica.

Molti concetti basilari dell'Analisi Matematica si fondano sulla definizione di limite, della quale si è avuta una formulazione rigorosa solo nel XIX secolo, grazie a Cauchy e a Weierstrass. Il primo capitolo ripercorre brevemente le tappe storiche di un percorso lungo e difficile, durato circa 2000 anni, evidenziando le difficoltà dei grandi matematici che si sono occupati dei concetti infinitesimali. Nel secondo capitolo vengono esposte le possibili cause delle difficoltà degli studenti nell'apprendimento dei limiti. Nel terzo capitolo vengono descritte ed analizzate le risposte degli studenti liceali ed universitari ad un questionario sui limiti.

Strategie di calcolo tra studenti discalculici e non

Sono stati analizzati i circuiti neurali addetti all'elaborazione matematica, a partire da quelli di start-up neurocognitivo per l'apprendimento del numero e del calcolo, capacità innate e già presenti alla nascita. I protagonisti sono il sistema della stima approssimativa del numero e quello di individuazione degli oggetti multipli e, spesso, le difficoltà che si incontrano durante un compito matematico (o la lentezza per portarlo a termine) sono date dalla difficile interazione tra questi e le loro sottocomponenti, continuamente riprogrammate dall'esecutivo centrale per poter supervisionare i processi di problem solving. Per la costruzione e lo sviluppo del calcolo più elevato, occorrono alcune capacità di base come il concetto di corrispondenza biunivoca, quello di ordinamento di un insieme, di maggioranza, di raddoppio e di dimezzamento, per mezzo delle quali ogni procedura si può ridurre ad una serie di operazioni più semplici. Queste funzioni vengono controllate e coordinate dal Sistema Attentivo Esecutivo che presiede tutte le attività di problem solving. I ragazzi che presentano deficit altamente specifici in una o più abilità matematiche di base vengono definiti discalculici e tra i loro tratti caratteristici vi sono l'incapacità di comprendere le numerosità, i principi delle operazioni e di elaborare strategie risolutive adatte ad ogni esercizio. Non tutti i ragazzi che presentano difficoltà in matematica sono discalculici: a tal proposito ho svolto una sperimentazione didattica in 10 classi di un I.T.I.S. , per cercare di capire se i concetti reputati consolidati alla scuola secondaria di 1° grado, lo sono realmente in quella di 2° e per mostrare le diverse tipologie di errori compiuti dai ragazzi clinici e non. I risultati sono stati largamente al di sotto delle aspettative, anche negli esercizi in cui è stato permesso l'uso della calcolatrice, lasciandomi presagire che gli errori commessi siano perlopiù di concetto piuttosto che di calcolo.

Alcune proprietà di regolarità per le funzioni p-armoniche

Le funzioni p-armoniche sono definite come soluzioni dell'equazione differenziale alle derivate parziali $\Delta_p u = 0$, dove $\Delta_p$ è l'operatore p-laplaciano. La classe delle funzioni p-armoniche si può estendere includendo funzioni derivabili in senso debole. Si dimostra che ogni funzione p-armonica è localmente hoelderiana, così come il suo gradiente. Infine, si caratterizzano le funzioni p-armoniche in termini della loro media integrale, mediante formule di media asintotiche.