Combinatoria e topologia di arrangiamenti di iperpiani

In questo elaborato vengono studiati gli arrangiamenti di iperpiani prima di tutto dal punto di vista combinatorio e, in seguito, dal punto di vista topologico. Particolare attenzione verrà riposta nello studio della coomologia del complemento di arrangiamenti complessi. Per giungere ad una completa descrizione coomologica si sfrutterà la costruzione e lo studio di particolari algebre esterne basate sulle caratteristiche combinatorie degli arrangiamenti.

L'anello di coomologia della varietà delle bandiere

Lo scopo di questa tesi è il calcolo dell'anello di coomologia di de Rham della varietà delle bandiere di uno spazio vettoriale complesso. Per prima cosa introduciamo la coomologia di de Rham e riassumiamo le sue principali proprietà. Definiamo poi la varietà delle bandiere di uno spazio vettoriale complesso, e, utilizzando la teoria delle classi di Chern, ne calcoliamo l'anello di coomologia di de Rham.

Analisi combinatoria dei parchi d'attrazioni

Da oltre mezzo secolo i parchi di divertimento sono strutture complesse e altamente organizzate, entro cui si muovono migliaia di persone quotidianamente; in cui l'elettrificazione, la manutenzione, la sicurezza (sia come safety sia come security) non possono essere lasciate all'improvvisazione. Fra i diversi modelli matematici con cui è possibile rappresentare un parco di divertimenti i grafi si adattano bene a rappresentare l'organizzazione "geografica" delle attrazioni e dei sentieri che le collegano. Fortunatamente la teoria dei grafi si presta anche molto bene all'impostazione e risoluzione dei problemi di ottimizzazione, fornendo quindi uno strumento privilegiato per miglioramenti strutturali nella direzione sia del risparmio economico, sia della fruizione ottimale delle strutture. In questa tesi ho analizzato un aspetto particolare dei grafi associati a quattro parchi d'attrazione: le distanze reciproche tra attrazioni e in particolare la collocazione dei "centri", cioè di vertici del grafo per cui la massima distanza da altri vertici sia minima. I calcoli sono stati eseguiti adattando un'implementazione esistente in Matlab dell'algoritmo di Dijkstra, utilizzando in ingresso le matrici di adiacenza dei grafi. Dopo un capitolo dedicato ai richiami essenziali di teoria dei grafi, il capitolo due traccia una breve storia dei parchi d'attrazione concentrandosi sui quattro che sono l'oggetto di questo studio. Il terzo capitolo, fulcro teorico della tesi, descrive la sperimentazione riportata nel capitolo quattro.

Arrangiamenti di sfere: stime sul "kissing number".

La tesi ha lo scopo di iniziare, in quanto non lo esaurisce completamente, a riordinare il percorso fatto nella stima del kissing number.

Topologia dei complessi simpliciali casuali

La presente tesi si propone di fornire un breve compendio sulla teoria dei complessi casuali, ramo di recente sviluppo della topologia algebrica applicata. Nell'illustrare i risultati più significativi ottenuti in tale teoria, si è voluto enfatizzare le modalità che permettono di affrontare con strumenti probabilistici lo studio delle proprietà topologiche ed algebriche dei complessi casuali.

Un'applicazione della teoria di Morse alla topologia delle varietà di Stein

In questa tesi si è data una dimostrazione dovuta ad Andreotti e Frenkel del Teorema di Lefschetz, utilizzando gli strumenti e i risultati della Teoria di Morse.

Presentazione di varietà tridimensionali tramite poliedri

Lo scopo della tesi è dimostrare un teorema che offre una condizione necessaria e sufficiente affinché un poliedro con facce identificate risulti una varietà tridimensionale. Nel primo capitolo si descrive una possibile metodologia di studio e presentazione delle superfici al fine di fare un confronto con le 3-varietà. Nel secondo capitolo, prima di studiare il teorema principale, si descrivono nozioni di topologia algebrica utili nella sua dimostrazione: la coomologia e la dualità di Poincaré. Infine il terzo capitolo è dedicato alla descrizione di due esempi di 3-varietà e ad un controesempio al teorema in dimensione 5.

Geometria e topologia delle superfici

Definizioni e enunciati riguardo al gruppo fondamentale, alle azioni di gruppo, ai rivestimenti, alle varietà topologiche, differenziabili e riemanniane, alle isometrie e ai gruppi discreti di isometrie. Approfondimento riguardo alle superfici connesse, compatte e orientabili con classificazione topologica, definizione di curvatura gaussiana con classificazione delle superfici in base al valore della curvatura, teorema di Killing-Hopf, teorema di uniformizzazione, enunciato del teorema che verrà dimostrato: la sfera è l'unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica, il toro è l'unica piatta, le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Descrizione del piano euclideo con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, teorema di Chasles con dimostrazione, dimostrazione del toro come unica superficie connessa, compatta e orientabile piatta. Descrizione della sfera con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione della semplicità di SO(3), dimostrazione della sfera come unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica. Descrizione di due modelli del piano iperbolico, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione del fatto che le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Definizione di gruppo Fuchsiano e di spazio di Teichmuller.

Anioni: particelle identiche e topologia in meccanica quantistica

Si espone la teoria quantistica non relativistica dei sistemi di particelle identiche, costruendo un opportuno spazio delle configurazioni la cui struttura è coerente con la loro indistinguibilità. Si impiegano nozioni di topologia algebrica per la formulazione di una meccanica quantistica su tale spazio, mostrando che in due dimensioni spaziali esiste una continuità di statistiche quantistiche. Le particelle con queste statistiche intermedie tra bosoni e fermioni sono chiamate anioni. Si illustra l'importanza che hanno assunto nella spiegazione dell'effetto Hall quantistico e nell'attuale ricerca sulla possibilità di creare un computer quantistico topologico.

Proprietà statistiche delle caratteristiche topologiche del grafo di un "hub" generato da un social network

Questa tesi affronta lo studio delle proprietà statistiche della topologia di un grafo, che rappresenta le relazioni interpersonali in un gruppo di utenti di Facebook. Perché è interessante? Quali informazioni produce? Anzitutto va osservato che dalla nascita di Internet in poi la globalizzazione ha reso le relazioni sociali un fenomeno di massa con numeri sorprendentemente alti di connessioni. Questo e la disponibilità dei dati forniscono una occasione preziosa per analizzarne la struttura.

Strategie di elaborazione di tracciati GPS per reti veicolari

Il proliferare di dispositivi di elaborazione e comunicazione mobili (telefoni cellulari, computer portatili, PDA, wearable devices, personal digital assistant) sta guidando un cambiamento rivoluzionario nella nostra società dell'informazione. Si sta migrando dall'era dei Personal Computer all'era dell'Ubiquitous Computing, in cui un utente utilizza, parallelamente, svariati dispositivi elettronici attraverso cui può accedere a tutte le informazioni, ovunque e quantunque queste gli si rivelino necessarie. In questo scenario, anche le mappe digitali stanno diventando sempre più parte delle nostre attività quotidiane; esse trasmettono informazioni vitali per una pletora di applicazioni che acquistano maggior valore grazie alla localizzazione, come Yelp, Flickr, Facebook, Google Maps o semplicemente le ricerche web geo-localizzate. Gli utenti di PDA e Smartphone dipendono sempre più dai GPS e dai Location Based Services (LBS) per la navigazione, sia automobilistica che a piedi. Gli stessi servizi di mappe stanno inoltre evolvendo la loro natura da uni-direzionale a bi-direzionale; la topologia stradale è arricchita da informazioni dinamiche, come traffico in tempo reale e contenuti creati dagli utenti. Le mappe digitali aggiornabili dinamicamente sono sul punto di diventare un saldo trampolino di lancio per i sistemi mobili ad alta dinamicità ed interattività, che poggiando su poche informazioni fornite dagli utenti, porteranno una moltitudine di applicazioni innovative ad un'enorme base di consumatori. I futuri sistemi di navigazione per esempio, potranno utilizzare informazioni estese su semafori, presenza di stop ed informazioni sul traffico per effettuare una ottimizzazione del percorso che valuti simultaneamente fattori come l'impronta al carbonio rilasciata, il tempo di viaggio effettivamente necessario e l'impatto della scelta sul traffico locale. In questo progetto si mostra come i dati GPS raccolti da dispositivi fissi e mobili possano essere usati per estendere le mappe digitali con la locazione dei segnali di stop, dei semafori e delle relative temporizzazioni. Queste informazioni sono infatti oggi rare e locali ad ogni singola municipalità, il che ne rende praticamente impossibile il pieno reperimento. Si presenta quindi un algoritmo che estrae utili informazioni topologiche da agglomerati di tracciati gps, mostrando inoltre che anche un esiguo numero di veicoli equipaggiati con la strumentazione necessaria sono sufficienti per abilitare l'estensione delle mappe digitali con nuovi attributi. Infine, si mostrerà come l'algoritmo sia in grado di lavorare anche con dati mancanti, ottenendo ottimi risultati e mostrandosi flessibile ed adatto all'integrazione in sistemi reali.

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.

A study on set variable representations in constraint programming

Il lavoro presentato in questa tesi si colloca nel contesto della programmazione con vincoli, un paradigma per modellare e risolvere problemi di ricerca combinatoria che richiedono di trovare soluzioni in presenza di vincoli. Una vasta parte di questi problemi trova naturale formulazione attraverso il linguaggio delle variabili insiemistiche. Dal momento che il dominio di tali variabili può essere esponenziale nel numero di elementi, una rappresentazione esplicita è spesso non praticabile. Recenti studi si sono quindi focalizzati nel trovare modi efficienti per rappresentare tali variabili. Pertanto si è soliti rappresentare questi domini mediante l'uso di approssimazioni definite tramite intervalli (d'ora in poi rappresentazioni), specificati da un limite inferiore e un limite superiore secondo un'appropriata relazione d'ordine. La recente evoluzione della ricerca sulla programmazione con vincoli sugli insiemi ha chiaramente indicato che la combinazione di diverse rappresentazioni permette di raggiungere prestazioni di ordini di grandezza superiori rispetto alle tradizionali tecniche di codifica. Numerose proposte sono state fatte volgendosi in questa direzione. Questi lavori si differenziano su come è mantenuta la coerenza tra le diverse rappresentazioni e su come i vincoli vengono propagati al fine di ridurre lo spazio di ricerca. Sfortunatamente non esiste alcun strumento formale per paragonare queste combinazioni. Il principale obiettivo di questo lavoro è quello di fornire tale strumento, nel quale definiamo precisamente la nozione di combinazione di rappresentazioni facendo emergere gli aspetti comuni che hanno caratterizzato i lavori precedenti. In particolare identifichiamo due tipi possibili di combinazioni, una forte ed una debole, definendo le nozioni di coerenza agli estremi sui vincoli e sincronizzazione tra rappresentazioni. Il nostro studio propone alcune interessanti intuizioni sulle combinazioni esistenti, evidenziandone i limiti e svelando alcune sorprese. Inoltre forniamo un'analisi di complessità della sincronizzazione tra minlex, una rappresentazione in grado di propagare in maniera ottimale vincoli lessicografici, e le principali rappresentazioni esistenti.

Mapping class group e complesso delle curve per superfici di Heegaard

In una 3-varietà chiusa è possibile individuare alcune superfici (dette di Heegaard) tali che, tagliando la 3-varietà lungo una di queste, essa si spezza in due corpi con manici che hanno per bordo tale superficie. La tesi propone alcuni recenti risultati circa l'interazione tra la topologia della 3-varietà, il gruppo di automorfismi delle sue superfici di Heegaard e complessi simpliciali costruiti a partire dalle curve su tali superfici.