Combinatoria e topologia di arrangiamenti di iperpiani

In questo elaborato vengono studiati gli arrangiamenti di iperpiani prima di tutto dal punto di vista combinatorio e, in seguito, dal punto di vista topologico. Particolare attenzione verrà riposta nello studio della coomologia del complemento di arrangiamenti complessi. Per giungere ad una completa descrizione coomologica si sfrutterà la costruzione e lo studio di particolari algebre esterne basate sulle caratteristiche combinatorie degli arrangiamenti.

Topologia dei complessi simpliciali casuali

La presente tesi si propone di fornire un breve compendio sulla teoria dei complessi casuali, ramo di recente sviluppo della topologia algebrica applicata. Nell'illustrare i risultati più significativi ottenuti in tale teoria, si è voluto enfatizzare le modalità che permettono di affrontare con strumenti probabilistici lo studio delle proprietà topologiche ed algebriche dei complessi casuali.

Un'applicazione della teoria di Morse alla topologia delle varietà di Stein

In questa tesi si è data una dimostrazione dovuta ad Andreotti e Frenkel del Teorema di Lefschetz, utilizzando gli strumenti e i risultati della Teoria di Morse.

Geometria e topologia delle superfici

Definizioni e enunciati riguardo al gruppo fondamentale, alle azioni di gruppo, ai rivestimenti, alle varietà topologiche, differenziabili e riemanniane, alle isometrie e ai gruppi discreti di isometrie. Approfondimento riguardo alle superfici connesse, compatte e orientabili con classificazione topologica, definizione di curvatura gaussiana con classificazione delle superfici in base al valore della curvatura, teorema di Killing-Hopf, teorema di uniformizzazione, enunciato del teorema che verrà dimostrato: la sfera è l'unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica, il toro è l'unica piatta, le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Descrizione del piano euclideo con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, teorema di Chasles con dimostrazione, dimostrazione del toro come unica superficie connessa, compatta e orientabile piatta. Descrizione della sfera con relativa metrica, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione della semplicità di SO(3), dimostrazione della sfera come unica superficie connessa, compatta e orientabile ellittica. Descrizione di due modelli del piano iperbolico, descrizione delle sue isometrie, dimostrazione del fatto che le somme connesse di g tori (g>1) sono iperboliche. Definizione di gruppo Fuchsiano e di spazio di Teichmuller.

Anioni: particelle identiche e topologia in meccanica quantistica

Si espone la teoria quantistica non relativistica dei sistemi di particelle identiche, costruendo un opportuno spazio delle configurazioni la cui struttura è coerente con la loro indistinguibilità. Si impiegano nozioni di topologia algebrica per la formulazione di una meccanica quantistica su tale spazio, mostrando che in due dimensioni spaziali esiste una continuità di statistiche quantistiche. Le particelle con queste statistiche intermedie tra bosoni e fermioni sono chiamate anioni. Si illustra l'importanza che hanno assunto nella spiegazione dell'effetto Hall quantistico e nell'attuale ricerca sulla possibilità di creare un computer quantistico topologico.

Proprietà statistiche delle caratteristiche topologiche del grafo di un "hub" generato da un social network

Questa tesi affronta lo studio delle proprietà statistiche della topologia di un grafo, che rappresenta le relazioni interpersonali in un gruppo di utenti di Facebook. Perché è interessante? Quali informazioni produce? Anzitutto va osservato che dalla nascita di Internet in poi la globalizzazione ha reso le relazioni sociali un fenomeno di massa con numeri sorprendentemente alti di connessioni. Questo e la disponibilità dei dati forniscono una occasione preziosa per analizzarne la struttura.

Strategie di elaborazione di tracciati GPS per reti veicolari

Il proliferare di dispositivi di elaborazione e comunicazione mobili (telefoni cellulari, computer portatili, PDA, wearable devices, personal digital assistant) sta guidando un cambiamento rivoluzionario nella nostra società dell'informazione. Si sta migrando dall'era dei Personal Computer all'era dell'Ubiquitous Computing, in cui un utente utilizza, parallelamente, svariati dispositivi elettronici attraverso cui può accedere a tutte le informazioni, ovunque e quantunque queste gli si rivelino necessarie. In questo scenario, anche le mappe digitali stanno diventando sempre più parte delle nostre attività quotidiane; esse trasmettono informazioni vitali per una pletora di applicazioni che acquistano maggior valore grazie alla localizzazione, come Yelp, Flickr, Facebook, Google Maps o semplicemente le ricerche web geo-localizzate. Gli utenti di PDA e Smartphone dipendono sempre più dai GPS e dai Location Based Services (LBS) per la navigazione, sia automobilistica che a piedi. Gli stessi servizi di mappe stanno inoltre evolvendo la loro natura da uni-direzionale a bi-direzionale; la topologia stradale è arricchita da informazioni dinamiche, come traffico in tempo reale e contenuti creati dagli utenti. Le mappe digitali aggiornabili dinamicamente sono sul punto di diventare un saldo trampolino di lancio per i sistemi mobili ad alta dinamicità ed interattività, che poggiando su poche informazioni fornite dagli utenti, porteranno una moltitudine di applicazioni innovative ad un'enorme base di consumatori. I futuri sistemi di navigazione per esempio, potranno utilizzare informazioni estese su semafori, presenza di stop ed informazioni sul traffico per effettuare una ottimizzazione del percorso che valuti simultaneamente fattori come l'impronta al carbonio rilasciata, il tempo di viaggio effettivamente necessario e l'impatto della scelta sul traffico locale. In questo progetto si mostra come i dati GPS raccolti da dispositivi fissi e mobili possano essere usati per estendere le mappe digitali con la locazione dei segnali di stop, dei semafori e delle relative temporizzazioni. Queste informazioni sono infatti oggi rare e locali ad ogni singola municipalità, il che ne rende praticamente impossibile il pieno reperimento. Si presenta quindi un algoritmo che estrae utili informazioni topologiche da agglomerati di tracciati gps, mostrando inoltre che anche un esiguo numero di veicoli equipaggiati con la strumentazione necessaria sono sufficienti per abilitare l'estensione delle mappe digitali con nuovi attributi. Infine, si mostrerà come l'algoritmo sia in grado di lavorare anche con dati mancanti, ottenendo ottimi risultati e mostrandosi flessibile ed adatto all'integrazione in sistemi reali.

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.

Mapping class group e complesso delle curve per superfici di Heegaard

In una 3-varietà chiusa è possibile individuare alcune superfici (dette di Heegaard) tali che, tagliando la 3-varietà lungo una di queste, essa si spezza in due corpi con manici che hanno per bordo tale superficie. La tesi propone alcuni recenti risultati circa l'interazione tra la topologia della 3-varietà, il gruppo di automorfismi delle sue superfici di Heegaard e complessi simpliciali costruiti a partire dalle curve su tali superfici.

Knot theory and its applications

Nella tesi verranno presi in considerazione tre aspetti: si descriverà come la teoria dei nodi si sia sviluppata nel corso degli anni in relazione alle diverse scoperte scientifiche avvenute. Si potrà quindi subito avere una idea di come questa teoria sia estremamente connessa a diverse altre. Nel secondo capitolo ci si occuperà degli aspetti più formali di questa teoria. Si introdurrà il concetto di nodi equivalenti e di invariante dei nodi. Si definiranno diversi invarianti, dai più elementari, le mosse di Reidemeister, il numero di incroci e la tricolorabilità, fino ai polinomi invarianti, tra cui il polinomio di Alexander, il polinomio di Jones e quello di Kaufman. Infine si spiegheranno alcune applicazioni della teoria dei nodi in chimica, fisica e biologia. Sulla chimica, si definirà la chiralità molecolare e si mostrerà come la chiralità dei nodi possa essere utile nel determinare quella molecolare. In campo fisico, si mostrerà la relazione che esiste tra l'equazione di Yang-Baxter e i nodi. E in conclusione si mostrerà come modellare un importante processo biologico, la recombinazione del DNA, grazie alla teoria dei nodi.