Spectral Splitting of Purely Magnetic Schrödinger Operator in 2-d

La tesi ripercorre i procedimenti utilizzati per il calcolo dell'asintotica dello splitting dell'operatore puramente magnetico di Schrödinger nel limite semiclassico (con campo magnetico costante) in un dominio aperto limitato e semplicemente connesso il cui bordo ha simmetria assiale ed esattamente due punti di curvatura massima non degeneri. Il punto di partenza è trovare stime a priori sulle sue autofunzioni, che permettono di dire che sono localizzate esponenzialmente vicino al bordo del dominio in oggetto, grazie a queste stime di riesce a modificare l'operatore in maniera tale che l'asintotica dello splitting rimanga equivalente. Si passa in seguito a coordinate tubulari, quindi si rettifica il borso del dominio, andando però a complicare il potenziale magnetico. Si ottengono nuove stime a priori per le autofunzioni. A questo punto si considera lo stesso operatore differenziale ma su un dominio modificato, in cui viene eliminato uno dei punti di curvatura massima. Per tale operatore si ha uno sviluppo asintotico delle autofunzioni (anche dette soluzioni WKB). Si utilizzano poi strumenti di calcolo pseudo-differenziale per studiare l'operatore nel nuovo dominio, ne si localizza la fase per renderlo limitato ed ottenere così una parametrice (anch'essa limitata) avente un simbolo esplicito. Se ne deducono stime di tipo ellittico che possono essere portate all'operatore senza la fase localizzata aggiungendo dei termini di errore. Grazie queste stime si riesce ad approssimare lo splitting (controllando sempre l'errore) che volevamo calcolare (quello dell'operatore sul dominio con due punti di curvatura massima) tramite le autofunzioni dell'operatore sul dominio con un solo punto di curvatura massima, e per queste autofunzioni abbiamo lo sviluppo asintotico (WKB). Considerando l'ordine principale di questi sviluppi si riesce a calcolare esplicitamente il termine dominante dello splitting, ottenendone così l'asintotica nel limite semiclassico.

Semiclassical analysis of systems of Schrödinger equations

The scalar Schrödinger equation models the probability density distribution for a particle to be found in a point x given a certain potential V(x) forming a well with respect to a fixed energy level E_0. Formally two real inversion points a,b exist such that V(a)=V(b)=E_0, V(x)<0 in (a,b) and V(x)>0 for xb. Following the work made by D.Yafaev and performing a WKB approximation we obtain solutions defined on specific intervals. The aim of the first part of the thesis is to find a condition on E, which belongs to a neighbourhood of E_0, such that it is an eigenvalue of the Schrödinger operator, obtaining in this way global and linear dependent solutions in L2. In quantum mechanics this condition is known as Bohr-Sommerfeld quantization. In the second part we define a Schrödinger operator referred to two potential wells and we study the quantization conditions on E in order to have a global solution in L2xL2 with respect to the mutual position of the potentials. In particular their wells can be disjoint,can have an intersection, can be included one into the other and can have a single point intersection. For these cases we refer to the works of A.Martinez, S. Fujiié, T. Watanabe, S. Ashida.

La metrica di Agmon ed il decadimento esponenziale delle soluzioni di equazioni alle derivate parziali

The aim of this master thesis is to study the exponential decay of solutions of elliptic partial equations. This work is based on the results obtained by Agmon. To this purpose, first, we define the Agmon metric, that plays an important role in the study of exponential decay, because it is related to the rate of decay. Under some assumptions on the growth of the function and on the positivity of the quadratic form associated to the operator, a first result of exponential decay is presented. This result is then applied to show the exponential decay of eigenfunctions with eigenvalues whose real part lies below the bottom of the essential spectrum. Finally, three examples are given: the harmonic oscillator, the hydrogen atom and a Schrödinger operator with purely discrete spectrum.

The Wiener criterion for the Laplacian and the heat operator

La tesi presenta il criterio di regolarità di Wiener dell’ambito classico dell’operatore di Laplace ed in seguito alcune nozioni di teoria del potenziale e la dimostrazione del criterio nel caso dell’operatore del calore; in questa seconda sezione viene dedicata particolare attenzione alle formule di media e ad una diseguaglianza forte di Harnack, che risultano fondamentali nella trattazione dell’argomento centrale.

Laplace operator on finite graphs and a network diffusion model for the progression of the Alzheimer disease

Nella tesi viene descritto il Network Diffusion Model, ovvero il modello di A. Ray, A. Kuceyeski, M. Weiner inerente i meccanismi di progressione della demenza senile. In tale modello si approssima l'encefalo sano con una rete cerebrale (ovvero un grafo pesato), si identifica un generale fattore di malattia e se ne analizza la propagazione che avviene secondo meccanismi analoghi a quelli di un'infezione da prioni. La progressione del fattore di malattia e le conseguenze macroscopiche di tale processo(tra cui principalmente l'atrofia corticale) vengono, poi, descritte mediante approccio matematico. I risultati teoretici vengono confrontati con quanto osservato sperimentalmente in pazienti affetti da demenza senile. Nella tesi, inoltre, si fornisce una panoramica sui recenti studi inerenti i processi neurodegenerativi e si costruisce il contesto matematico di riferimento del modello preso in esame. Si presenta una panoramica sui grafi finiti, si introduce l'operatore di Laplace sui grafi e si forniscono stime dall'alto e dal basso per gli autovalori. Al fine di costruire una cornice matematica completa si analizza la relazione tra caso discreto e continuo: viene descritto l'operatore di Laplace-Beltrami sulle varietà riemanniane compatte e vengono fornite stime dall'alto per gli autovalori dell'operatore di Laplace-Beltrami associato a tali varietà a partire dalle stime dall'alto per gli autovalori del laplaciano sui grafi finiti.