Le matrici e la loro algebra

In questa tesi ci si propone lo studio dell'anello delle matrici quadrate di ordine n, su un campo, per arrivare a dimostrare che ha solo ideali banali pur non essendo un campo. Allo scopo si introducono le operazioni elementari e il procedimento di traduzione di tali operazioni con opportune moltiplicazioni per matrici dette elementari. Si considera inoltre il gruppo generale lineare arrivando a dimostrare che un particolare sottoinsieme delle matrici elementari è un generatore di tale gruppo.

Formula integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla

La tesi consiste nella ricerca di un candidato ideale per la soluzione del problema di Dirichlet. Vengono affrontati gli argomenti in maniera graduale, partendo dalle funzioni armoniche e le loro relative proprietà, passando per le identità e le formule di rappresentazione di Green, per finire nell'analisi del problema sopra citato, mediante i risultati precedentemente ottenuti, per concludere trovando la formula integrale di Poisson come soluzione ma anche come formula generale per sviluppi in vari ambiti.

Algebra esterna e grassmanniane

Nella tesi viene fornita una costruzione dell'algebra esterna di un K-spazio vettoriale, alcune conseguenze principali come la derivazione in maniera traspente del determinante di e alcune sue proprietà e l'introduzione del concetto di Grassmanniana.

Il polinomio strutturale di un'algebra monounaria

Questa tesi descrive alcune proprietà delle algebre monounarie finite e si propone di trovare un metodo per classificarle. Poiché infatti il numero di algebre di ordine n aumenta notevolmente con la crescita di quest’ultimo, si cerca un modo per suddividerle in classi d’isomorfismo. In particolare, dal momento che anche il numero di queste classi cresce esponenzialmente all’aumentare di n, utilizziamo una classificazione meno fine dell’isomorfismo basata sul polinomio strutturale. Grazie a questo strumento infatti è possibile risalire a famiglie di grafi orientati associati ad algebre monounarie, a due a due non isomorfi, ricavando perciò alcune specifiche caratteristiche di quest’ultime. Infine, calcolando l’ordine di gruppi particolari, detti automorfi, si può ottenere l’effettivo numero di algebre aventi un dato polinomio strutturale.

Formula integrale di Poisson

Il tema centrale di questa tesi è lo studio del problema di Dirichlet per il Laplaciano in R^2 usando le serie di Fourier. Il problema di Dirichlet per il Laplaciano consiste nel determinare una funzione f armonica e regolare in un dominio limitato D quando sono noti i valori che f assume sul suo bordo. Ammette una sola soluzione, ma non esistono criteri generali per ricavarla. In questa tesi si mostra come la formula integrale di Poisson, sotto determinate condizioni, risolva il problema di Dirichlet in R^2 e in R^n.