Zeta and L-functions of elliptic curves

In questa tesi si studiano alcune proprietà fondamentali delle funzioni Zeta e L associate ad una curva ellittica. In particolare, si dimostra la razionalità della funzione Zeta e l'ipotesi di Riemann per due famiglie specifiche di curve ellittiche. Si studia poi il problema dell'esistenza di un prolungamento analitico al piano complesso della funzione L di una curva ellittica con moltiplicazione complessa, attraverso l'analisi diretta di due casi particolari.

Elementary properties of Modular curves and Modular forms

Lo scopo di questa tesi è introdurre in breve le prime proprietà delle curve modulari e delle forme modulari, per poi mostrarne alcune applicazioni archetipiche. Per farlo, dopo aver richiamato alcune nozioni utili nel primo capitolo, sviluppiamo, nel secondo capitolo, la teoria di base delle curve modulari compatte come superfici di Riemann, calcolandone il genere nel caso dei sottogruppi principali di congruenza. Dunque, nel terzo capitolo, dopo un estesa trattazione dell'esempio delle forme modulari rispetto al gruppo modulare, viene calcolata la dimensione degli spazi delle forme intere e delle forme cuspidali rispetto a un sottogruppo di indice finito del gruppo modulare. Questo capitolo si conclude con tre esempi di applicazione della teoria esposta, tra i quali spiccano la dimostrazione del Grande Teorema di Picard e del Teorema dei quattro quadrati di Jacobi.

Automatic classification of stellar orbits in axisymmetric potentials

Within the classification of orbits in axisymmetric stellar systems, we present a new algorithm able to automatically classify the orbits according to their nature. The algorithm involves the application of the correlation integral method to the surface of section of the orbit; fitting the cumulative distribution function built with the consequents in the surface of section of the orbit, we can obtain the value of its logarithmic slope m which is directly related to the orbit’s nature: for slopes m ≈ 1 we expect the orbit to be regular, for slopes m ≈ 2 we expect it to be chaotic. With this method we have a fast and reliable way to classify orbits and, furthermore, we provide an analytical expression of the probability that an orbit is regular or chaotic given the logarithmic slope m of its correlation integral. Although this method works statistically well, the underlying algorithm can fail in some cases, misclassifying individual orbits under some peculiar circumstances. The performance of the algorithm benefits from a rich sampling of the traces of the SoS, which can be obtained with long numerical integration of orbits. Finally we note that the algorithm does not differentiate between the subtypes of regular orbits: resonantly trapped and untrapped orbits. Such distinction would be a useful feature, which we leave for future work. Since the result of the analysis is a probability linked to a Gaussian distribution, for the very definition of distribution, some orbits even if they have a certain nature are classified as belonging to the opposite class and create the probabilistic tails of the distribution. So while the method produces fair statistical results, it lacks in absolute classification precision.