Teoria spettrale in spazi di Hilbert

In questa tesi ci si occuperà di presentare alcuni aspetti salienti della teoria spettrale per gli operatori limitati negli spazi di Hilbert. Nel primo capitolo verranno presentate alcune nozioni fondamentali di analisi funzionale, necessarie per lo studio degli operatori. Il secondo capitolo si occupa invece di analizzare la teoria spettrale per operatori compatti. In particolare, verrà presentato il Teorema Spettrale per Operatori Normali Compatti e il Teorema dell'Alternativa di Fredholm. In seguito verrà applicata tale teoria alla risolubilità del problema di Dirichlet. Nel terzo capitolo verrà esteso quanto ottenuto per gli operatori compatti ad operatori limitati autoaggiunti e per gli operatori normali limitati, passando attraverso le famiglie spettrali.

La congettura di Collatz

Presentazione dei risultati più importanti e famosi che riguardano la congettura di Collatz. Analisi empiriche e nuovi risultati riguardanti la congettura e le sue generalizzazioni.

Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Implementazione di un sistema per la classificazione di banchi di pesce da dati di acustica

La tesi è finalizzata ad una preliminare fase di sperimentazione di un algoritmo che, a partire da dati di acustica, sia in grado di classificare le specie di pesce presenti in cale mono e plurispecifiche. I dati sono stati acquisiti nella fascia costiera della Sicilia meridionale, durante alcune campagne di ricerca effettuate tra il 2002 e il 2011, dall’IAMC – CNR di Capo Granitola. Sono stati registrati i valori delle variabili ambientali e biotiche tramite metodologia acustica e della composizione dei banchi di pesci catturati tramite cale sperimentali: acciughe, sardine, suri, altre specie pelagiche e pesci demersali. La metodologia proposta per la classificazione dei segnali acustici nasce dalla fusione di logica fuzzy e teorema di Bayes, per dar luogo ad un approccio modellistico consistente in un compilatore naïve Bayes operante in ambiente fuzzy. Nella fattispecie si è proceduto alla fase di training del classificatore, mediante un learning sample di percentuali delle categorie ittiche sopra menzionate, e ai dati di alcune delle osservazioni acustiche, biotiche e abiotiche, rilevate dall’echosurvey sugli stessi banchi. La validazione del classificatore è stata effettuata sul test set, ossia sui dati che non erano stati scelti per la fase di training. Per ciascuna cala, sono stati infine tracciati dei grafici di dispersione/correlazione dei gruppi ittici e le percentuali simulate. Come misura di corrispondenza dei dati sono stati considerati i valori di regressione R2 tra le percentuali reali e quelle calcolate dal classificatore fuzzy naïve Bayes. Questi, risultando molto alti (0,9134-0,99667), validavano il risultato del classificatore che discriminava con accuratezza le ecotracce provenienti dai banchi. L’applicabilità del classificatore va comunque testata e verificata oltre i limiti imposti da un lavoro di tesi; in particolare la fase di test va riferita a specie diverse, a condizioni ambientali al contorno differenti da quelle riscontrate e all’utilizzo di learning sample meno estesi.

A mathematical introduction to Kerr black holes

Lo scopo della tesi è descrivere i buchi neri di Kerr. Dopo aver introdotto tutti gli strumenti matematici necessari quali tensori, vettori di Killing e geodetiche, enunceremo la metrica di Kerr, il teorema no-hair e il frame-dragging. In seguito, a partire dalla metrica di Kerr, calcoleremo e descriveremo le ergosfere, gli orizzonti degli eventi e il moto dei fotoni nel piano equatoriale.

Dipendenza dai dati per equazioni differenziali ordinarie

Problema di Cauchy, teorema di dipendenza continua dai dati iniziali, teorema di dipendenza regolare dai dati e dai parametri.

Statistica degli eventi rari nei sistemi dinamici

La teoria dei sistemi dinamici studia l'evoluzione nel tempo dei sistemi fisici e di altra natura. Nonostante la difficoltà di assegnare con esattezza una condizione iniziale (fatto che determina un non-controllo della dinamica del sistema), gli strumenti della teoria ergodica e dello studio dell'evoluzione delle densità di probabilità iniziali dei punti del sistema (operatore di Perron-Frobenius), ci permettono di calcolare la probabilità che un certo evento E (che noi definiamo come evento raro) accada, in particolare la probabilità che il primo tempo in cui E si verifica sia n. Abbiamo studiato i casi in cui l'evento E sia definito da una successione di variabili aleatorie (prima nel caso i.i.d, poi nel caso di catene di Markov) e da una piccola regione dello spazio delle fasi da cui i punti del sistema possono fuoriuscire (cioè un buco). Dagli studi matematici sui sistemi aperti condotti da Keller e Liverani, si ricava una formula esplicita del tasso di fuga nella taglia del buco. Abbiamo quindi applicato questo metodo al caso in cui l'evento E sia definito dai punti dello spazio in cui certe osservabili assumono valore maggiore o uguale a un dato numero reale a, per ricavare l'andamento asintotico in n della probabilità che E non si sia verificato al tempo n, al primo ordine, per a che tende all'infinito.

Indagine sperimentale sulla risposta vibratoria di provini sottoposti ad eccitazione non-gaussiana

Nuova frontiera per la procedura di test tailoring è la sintesi di profili vibratori il più reali possibili, nei quali venga tenuto conto della possibile presenza di eventi transitori e della non scontata ripetibilità delle vibrazioni nel tempo. Negli ultimi anni si è rivolto un crescente interesse nel "controllo del Kurtosis", finalizzato alla realizzazione di profili vibratori aventi distribuzione di probabilità non-Gaussiana. Durante l’indagine sperimentale oggetto di questa trattazione si sono portati a rottura per fatica alcuni componenti sottoposti, in generale, a tre differenti tipi di sollecitazione: stazionaria Gaussiana, stazionaria non-Gaussiana e non stazionaria non-Gaussiana. Il componente testato è costituito da un provino cilindrico montato a sbalzo e dotato di una massa concentrata all’estremità libera e di una gola vicina all’incastro, nella quale avviene la rottura per fatica. Durante l’indagine sperimentale si è monitorata la risposta in termini di accelerazione all’estremità libera del provino e di spostamento relativo a monte e a valle della gola, essendo quest’ultimo ritenuto proporzionale alle tensioni che portano a rottura il componente. Per ogni prova sono stati confrontati il Kurtosis e altri parametri statistici dell’eccitazione e della risposta. I risultati ottenuti mostrano che solo le sollecitazioni non stazionarie non-Gaussiane forniscono una risposta con distribuzione di probabilità non-Gaussiana. Per gli altri profili vale invece il Teorema del Limite Centrale. Tale per cui i picchi presenti nell'eccitazione non vengono trasmessi alla risposta. Sono stati inoltre monitorati i tempi di rottura di ogni componente. L’indagine sperimentale è stata effettuata con l'obiettivo di indagare sulle caratteristiche che deve possedere l’eccitazione affinchè sia significativa per le strategie alla base del "controllo del Kurtosis".

Dinamica dei fluidi

Questo elaborato si propone di dare una panoramica generale delle basi della Dinamica dei Fluidi e della sua importanza nel contesto astrofisico; è strutturato in modo da fornire le nozioni fondamentali necessarie in tali campi e le essenziali informazioni sul formalismo correntemente utilizzato, per poi concludere con l'analisi del fenomeno dell'instabilità di Jeans.

Una teoria degli insiemi non convenzionale: NFU

Una teoria degli insiemi alternativa alla più nota e diffusa teoria di Zermelo-Fraenkel con l'Assioma di Scelta, ZFC, è quella proposta da W. V. O. Quine nel 1937, poi riveduta e corretta da R. Jensen nel 1969 e rinominata NFU (New foundations with Urelementen). Anche questa teoria è basata sui concetti primitivi di insieme e appartenenza, tuttavia differisce notevolmente da quella usuale perché si ammettono solo formule stratificate, cioè formule in cui è rispettata una gerarchizzazione elemento-insieme che considera priva di significato certe scritture. L'unico inconveniente di NFU è dovuto alle conseguenze della stratificazione. I pregi invece sono notevoli: ad esempio un uso molto naturale delle relazioni come l'inclusione, o la possibilità di considerare insiemi anche collezioni di oggetti troppo "numerose" (come l'insieme universale) senza il rischio di cadere in contraddizione. NFU inoltre risulta essere più potente di ZFC, in quanto, grazie al Teorema di Solovay, è possibile ritrovare in essa un modello con cardinali inaccessibili di ZFC ed è ammessa la costruzione di altri modelli con cardinali inaccessibili della teoria classica.

Symplectic reduction with an application to Calogero-Moser systems

Lo scopo del presente lavoro è di illustrare alcuni temi di geometria simplettica, i cui risultati possono essere applicati con successo al problema dell’integrazione dei sistemi dinamici. Nella prima parte si formalizza il teorema di Noether generalizzato, introducendo il concetto dell’applicazione momento, e si dà una descrizione dettagliata del processo di riduzione simplettica, che consiste nello sfruttare le simmetrie di un sistema fisico, ovvero l’invarianza sotto l’azione di un gruppo dato, al fine di eliminarne i gradi di libertà ridondanti. Nella seconda parte, in quanto risultato notevole reso possibile dalla teoria suesposta, si fornisce una panoramica dei sistemi di tipo Calogero-Moser: sistemi totalmente integrabili che possono essere introdotti e risolti usando la tecnica della riduzione simplettica.

Trasformata e antitrasformata di Fourier per funzioni sommabili e applicazioni

In questa tesi viene trattata la trasformata di Fourier per funzioni sommabili, con particolare riguardo per il cosiddetto teorema di inversione, che permette il calcolo di sofisticati integrali reali. Viene inoltre fornito un capitolo di premesse di analisi complessa, utili al calcolo esplicito di trasformate di Fourier.

Sulla dinamica del corpo rigido: alcuni teoremi fondamentali e l'ellissoide di inerzia

Scopo di questo elaborato è la trattazione del momento di inerzia di un sistema meccanico rispetto ad una retta, con particolare attenzione alla struttura geometrica associata a questa nozione, ovvero all’ellissoide di inerzia. Si parte dalla definizione delle grandezze meccaniche fondamentali, passando per le equazioni cardinali della dinamica, arrivando a dimostrare il teorema di König. Viene poi studiato il momento di inerzia ed evidenziato il suo ruolo importante per la determinazione del momento angolare e dell’energia cinetica: in particolare è emersa la centralità dell’ellissoide d’inerzia. Si conclude con la dimostrazione del teorema di Huyghens e alcuni esempi espliciti di calcolo dell’ellissoide di inerzia.

Spettri di operatori compatti e applicazioni

Scopo della tesi è presentare alcuni aspetti della teoria spettrale per operatori compatti definiti su spazi di Hilbert separabili. Il primo capitolo è dedicato al Teorema di esistenza di una base numerabile di autovettori, per operatori compatti autoaggiunti. Nel secondo capitolo sono presentate alcune applicazioni dirette al Laplaciano. Viene dimostrato il teorema di immersione di Sobolev, e come conseguenza dell'immersione compatta, si prova che l'inverso del Laplaciano su aperti limitati è un operatore compatto autoaggiunto. Conseguentemente viene determinata la base dei suoi autovettori, che in dimensione uno è la classica serie di Fourier. Nel terzo capitolo vengono determinate le espressioni analitiche delle basi di autovettori sul quadrato e il cerchio unitario.

Formule di media per le funzioni armoniche

In questo lavoro studiamo le funzioni armoniche e le loro proprietà: le formule di media, il principio del massimo e del minimo (forte e debole), la disuguaglianza di Harnack e il teorema di Louiville. Successivamente scriviamo la prima e la seconda identità di Green, che permettono di ottenere esplicitamente la soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace, tramite il calcolo delle soluzioni radiali del Laplaciano. Introduciamo poi la funzione di Green, da cui si ottiene una formula di rappresentazione per le funzioni armoniche. Se il dominio di riferimento è una palla, la funzione di Green può essere determinata esplicitamente, e ciò conduce alla rappresentazione integrale di Poisson per le funzioni armoniche in una palla.