Il gruppo dei punti razionali sulle curve ellittiche

Il primo capitolo espone nozioni generali sulle varietà e sulle curve algebriche, sulle mappe fra di esse e su alcune proprietà geometriche importanti per caratterizzare le curve ellittiche. Il secondo capitolo propone un'introduzione allo studio geometrico e algebrico di tali curve. Il terzo e il quarto capitolo affrontano lo studio dei punti a coordinate razionali, per curve definite prima su campi locali e poi su campi globali: l'insieme di tali punti è un gruppo. Il risultato fondamentale, contenuto nel teorema di Mordell-Weil, è che tale gruppo è finitamente generato. Tutto il quarto capitolo propone i risultati necessari per la dimostrazione di tale affermazione.

La nozione di morfismo étale

Il teorema della funzione implicita, valido nel caso di varietà differenziabili, non risulta vero se si prendono in analisi varietà algebriche affini con la topologia di Zariski. Dopo aver introdotto le nozioni di morfismo piatto e di morfismo non ramificato, si arriva ai morfismi étale, definiti proprio come quei morfismi che sono piatti e non ramificati; nella seconda parte si considerano i morfismi di varietà non singolari dimostrando che la classe dei morfismi étale coincide esattamente con quei morfismi che inducono isomorfismi sugli spazi tangenti. Si approfondisce poi la nozione di morfismo étale da un punto di vista algebrico e infine la nozione di intorno étale di un punto, che si basa su quella di morfismo étale.

Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Analisi spazio-temporale degli effetti di stress di origine antropica sull’ecosistema intertidale di spiagge sabbiose nell’alto Adriatico

Il presente lavoro di tesi si inserisce all’interno del progetto Europeo Theseus (Innovative technologies for European coasts in a changing climate), volto a fornire una metodologia integrata per la pianificazione sostenibile di strategie di difesa per la gestione dell’erosione costiera e delle inondazioni che tengano in conto non solo gli aspetti tecnici ma anche quelli sociali, economici e ambientali/ecologici. L'area oggetto di studio di questo elaborato di tesi è la zona costiera della Regione Emilia Romagna, costituita unicamente da spiagge sabbiose. In particolare si è focalizzata l’attenzione sulla zona intertidale, in quanto, essendo l’ambiente di transizione tra l’ambiente marino e quello terrestre può fornire indicazioni su fenomeni erosivi di una spiaggia e cambiamenti del livello del mare, unitamente alla risposta agli interventi antropici. Gli obiettivi della tesi sono sostanzialmente tre: un primo obiettivo è confrontare ecosistemi di spiagge dove sono presenti strutture di difesa costiera rispetto a spiagge che ne erano invece prive. Il secondo obiettivo è valutare l’impatto provocato sugli ecosistemi di spiaggia dall’attività stagionale del “bulldozing” e in ultimo proporre un sistema esperto di nuova concezione in grado di prevedere statisticamente la risposta delle comunità bentoniche a diversi tipi di interventi antropici. A tal fine è stato pianificato un disegno di campionamento dove sono stati indagati tre siti differenti per morfologia e impatto antropico: Cesenatico (barriere e pratica bulldozing), Cervia, dissipativa e non soggetta a erosione (assenza di barriere e ma con pratica del bulldozing) e Lido di Dante, tendenzialmente soggetta a erosione (senza barriere e senza pratica del bulldozing). Il campionamento è stato effettuato in 4 tempi (due prima del “bulldozing” e due dopo) nell’arco di 2 anni. In ciascun sito e tempo sono stati campionati 3 transetti perpendicolari alla linea di costa, e per ogni transetto sono stati individuati tre punti relativi ad alta, media e bassa marea. Per ogni variabile considerata sono stati prelevati totale di 216 campioni. Io personalmente ho analizzato i campioni dell’ultima campagna di campionamento, ma ho analizzato l’insieme dei dati. Sono state considerate variabili relative ai popolamenti macrobentonici quali dati di abbondanza, numero di taxa e indice di diversità di Shannon e alcune variabili abiotiche descrittive delle caratteristiche morfologiche dell’area intertidale quali granulometria (mediana, classazione e asimmetria), detrito conchigliare, contenuto di materia organica (TOM), pendenza e lunghezza della zona intertidale, esposizione delle spiagge e indici morfodinamici. L'elaborazione dei dati è stata effettuata mediante tecniche di analisi univariate e multivariate sia sui dati biotici che sulle variabili ambientali, “descrittori dell’habitat”, allo scopo di mettere in luce le interazioni tra le variabili ambientali e le dinamiche dei popolamenti macrobentonici. L’insieme dei risultati delle analisi univariate e multivariate sia dei descrittori ambientali che di quelli biotici, hanno evidenziato, come la risposta delle variabili considerate sia complessa e non lineare. Nonostante non sia stato possibile evidenziare chiari pattern di interazione fra “protezione” e “bulldozing”, sono comunque emerse delle chiare differenze fra i tre siti indagati sia per quanto riguarda le variabili “descrittori dell’habitat” che quelle relative alla struttura dei popolamenti. In risposta a quanto richiesto in contesto water framework directive e in maniera funzionale all’elevate complessità del sistema intertidale è stato proposto un sistema esperto basato su approccio congiunto fuzzy bayesiano (già utilizzato con altre modalità all’interno del progetto Theseus). Con il sistema esperto prodotto, si è deciso di simulare nel sito di Cesenatico due ripascimenti virtuali uno caratterizzato da una gralometria fine e da uno con una granulometria più grossolana rispetto a quella osservata a Cesenatico. Il sistema fuzzy naïve Bayes, nonostante al momento sia ancora in fase di messa a punto, si è dimostrato in grado di gestire l'elevato numero di interazioni ambientali che caratterizzano la risposta della componente biologica macrobentonica nell'habitat intertidale delle spiagge sabbiose.

Studio di topologie d'antenne su substrati magneto-dielettrici

Le più moderne e diffuse applicazioni wireless attuali sono dedicate a sistemi distribuiti in grandi quantità ed il più possibile miniaturizzati. In questa tesi si discute di tecniche di miniaturizzazione delle antenne di questi sistemi. Tradizionalmente tali tecniche si sono basate su substrati ad elevata costante dielettrica che hanno però, come contropartita, un deterioramento delle prestazioni radianti. Un'alternativa molto promettente è offerta da substrati magneto-dielettrici che, pur garantendo analoghe riduzioni degli ingombri, possono offrire migliori opportunità per il comportamento radiante e per l'adattamento dell'antenna al resto del sistema. In questa tesi, partendo dallo stato dell'arte della letteratura scientifica, si è sviluppato un modello che consente di valutare a priori i vantaggi/svantaggi di diverse topologie d'antenne basate su substrati magneto-dielettrici. Il metodo si basa sul teorema di equivalenza. Infine la tesi affronta il problema di sviluppare un metodo per la caratterizzazione dei parametri costitutivi di tali materiali.

Relazione fra comunità macrobentoniche e morfodinamica nelle zone costiere dell’Alto Adriatico

Numerosi studi hanno messo in evidenza che la struttura delle comunità macrobentoniche delle spiagge sabbiose dipende da una serie di forzanti fisiche; queste ultime interagendo tra loro determinano la morfodinamica della spiagge stesse. Lo scopo di questo lavoro consiste nell’analisi dei popolamenti macrobentonici di due siti presenti lungo la costa emiliano - romagnola, che differiscono per caratteristiche morfodinamiche, grado di antropizzazione e modalità gestionali di difesa dall’erosione costiera. I siti oggetto di studio sono Lido Spina e Bellocchio; il primo è soggetto ad interventi di ripascimento periodici, mentre il secondo rappresenta un’opportunità rara, per lo studio degli effetti del retreat, in quanto è in forte erosione da molti anni ma, essendo inserito all’interno di una riserva naturale, non è sottoposto ad alcuna misura di gestione. Sono state analizzate le comunità macrobentoniche e le variabili abiotiche (mediana e classazione del sedimento, ampiezza della zona intertidale, pendenza della spiaggia, contenuto di sostanza organica totale presente nel sedimento e i principali parametri chimico-fisici). I risultati del presente studio hanno evidenziato un’elevata eterogeneità della struttura di comunità all’interno del sito di Bellocchio rispetto a Spina; inoltre i popolamenti presenti a Bellocchio mostrano una netta differenza tra i due livelli mareali. Per quanto riguarda i descrittori abiotici, i due siti differiscono per ampiezza della zona intertidale e pendenza della spiaggia; in particolare Lido Spina presenta una condizione di minore dissipatività, essendo caratterizzata da un profilo più ripido e una granulometria più grossolana rispetto a Bellocchio. Nel complesso le caratteristiche granulometriche (mediana e classazione) e il contenuto di materia organica rappresentano le variabili ambientali maggiormente responsabili delle differenze osservate tra i popolamenti macrobentonici analizzati. Al fine di valutare la resistenza dell’habitat intertidale agli eventi naturali di disturbo (storm surge e flooding), sono state effettuare delle simulazioni considerando lo scenario attuale (SLR=0), mediante un modello ibrido fuzzy naive Bayes. I risultati indicano una maggiore resistenza delle comunità presenti nel sito di Spina, in quanto non si hanno variazioni significative del numero medio di taxa e di individui; viceversa le simulazioni relative a Bellocchio mostrano una diminuzione del numero medio di taxa e aumento del numero medio di individui, sottolineando una maggiore vulnerabilità delle comunità macrobentoniche presenti in questo sito. L’inasprimento dei fenomeni estremi potrebbe quindi avere un effetto negativo sulla diversità della componente macrobentonica, soprattutto per gli ambienti di transizione già interessati da fenomeni erosivi, come nel caso di Bellocchio. La perdita di specie, che svolgono processi ecosistemici particolarmente importanti, come il riciclo di nutrienti, potrebbe favorire l’aumento di abbondanza di specie opportunistiche, l’insediamento di specie alloctone, con la conseguente alterazione, se non scomparsa delle principali funzioni ecologiche svolte da questi ecosistemi costieri.

Previsioni di stati ecosistemici dell'intertidale sabbioso del Nord Adriatico in risposta ad eventi meteorologici estremi

Il presente elaborato di tesi si inserisce nell’ambito del progetto europeo THESEUS (Innovative technologies for safer European coasts in a changing climate) fra i cui principali obiettivi c’è quello di fornire un’adeguata metodologia integrata per la pianificazione di strategie di difesa costiera sostenibili. Le zone costiere sono sempre più soggette agli impatti antropici, legati all’intensificazione dell’urbanizzazione, e agli effetti del global climate change, ed in particolare al conseguente sea level rise. Diventa quindi importante, in un’ottica di preservazione e di gestione, capire come gli ecosistemi costieri e i beni e servizi che essi forniscono risponderanno a questi cambiamenti ambientali. Fra questi, preponderanti sono quelli rappresentati dalle spiagge sabbiose. Al fine di valutare come differenti strategie di gestione possono influenzare il sistema spiaggia, è stata analizzata la riposta del comparto bentonico della zona intertidale di due differenti spiagge lungo la costa emiliano-romagnola. Lido di Spina è fortemente antropizzato e caratterizzato dalla presenza di infrastrutture balneari-turistiche permanenti. E’ soggetto, inoltre, a interventi di ripascimento annuali e di pulizia della spiaggia. Bellocchio, invece, è un sito naturale che presenta una spiaggia caratterizzata dall’arretramento della linea di costa causata dell’erosione, e non è soggetta a interventi di gestione finalizzati alla sua mitigazione. In questo studio è stata utilizzata la componente meiobentonica, generalmente trascurata, come indicatore chiave della vulnerabilità ecologica, mentre la zona intertidale sabbiosa è stata indagata in quanto reputata uno dei primi habitat costieri “recettore” degli eventi di flooding e degli interventi di gestione. Globalmente è stato possibile evidenziare differenze di struttura di comunità fra i due siti indagati, sottolineando come, anche questa componente sia in grado di far emergere i cambiamenti dovuti a differenti approcci di gestione delle coste sabbiose. Nella seconda parte del lavoro, invece, è stato testato un approccio metodologico innovativo, denominato “Fuzzy Bayes Ecological Model” (FBEM), sviluppato nell’ambito del progetto THESEUS. L’applicazione del FBEM in THESEUS è finalizzata alla simulazione delle risposte ecosistemiche ad eventi di flooding costiero ed al fenomeno del sea level rise. In questo elaborato, il modello è stato adottato al fine di descrivere eventuali cambiamenti dei popolamenti meiobentonici. Nello specifico, l’utilizzo del modello è servito per poter confrontare la situazione attuale relativa, quindi, allo scenario di sea level rise pari a zero, con quella ipotizzata dall’IPCC per il 2080 di sea level rise pari a 0,22 m, prendendo in considerazione otto tempi di ritorno di eventi simulati di flooding a intensità crescente. Dalle simulazioni emerge come il driver del danno ecologico sia l’onda frangente il cui effetto risulta, però, mitigato dal sea level rise. I popolamenti meiobentonici sono risultati dei buoni indicatori per la valutazione dei rischi connessi al flooding e al sea level rise, dimostrando così il loro possibile utilizzo come descrittori dei cambiamenti ecologici delle zone costiere. Per questo, lo studio ed il monitoraggio della dinamica e della struttura dei popolamenti meiobentonici può diventare un mezzo fondamentale per la comprensione delle funzionalità ecosistemiche delle spiagge sabbiose. E’ inoltre in grado di produrre alcune delle informazioni necessarie allo sviluppo dei piani di gestione integrata della fascia costiera in un ottica di conservazione di questi habitat costieri e dei servizi e beni da essi forniti.

Il problema di Dirichlet per equazioni lineari ellittiche in forma di divergenza

The purpose of this dissertation is to prove that the Dirichlet problem in a bounded domain is uniquely solvable for elliptic equations in divergence form. The proof can be achieved by Hilbert space methods based on generalized or weak solutions. Existence and uniqueness of a generalized solution for the Dirichlet problem follow from the Fredholm alternative and weak maximum principle.

Sicurezza nelle reti di sensori wireless UWB: generazione di chiavi simmetriche da parametri fisici

Le reti di oggetti intelligenti costituiscono una realtà che si sta affermando nel mondo quotidiano. Dispositivi capaci di comunicare tra loro, oltre che svolgere la propria funzione primaria, possono comporre una nuvola che faccia riferimento al legittimo proprietario. Un aspetto fondamentale di questo scenario riguarda la sicurezza, in particolar modo per garantire una comunicazione protetta. Il soddisfacimento di questo requisito è fondamentale anche per altri punti come l'integrità dell'informazione condivisa e l'autenticazione. Lo strumento più antico e tutt'ora adatto alla riservatezza di una comunicazione è costituito dalla crittografia. Una tecnica crittografica è schematicamente composta da un algoritmo che, a seconda di una chiave e del messaggio in ingresso, restituisce in uscita un messaggio cifrato, il crittogramma. Questo viene poi inviato e al legittimo destinatario che, essendo in possesso della chiave e dell'algoritmo, lo converte nel messaggio originale. L'obiettivo è rendere impossibile ad un utente malevolo - non dotato di chiave - la ricostruzione del messaggio. L'assunzione che l'algoritmo possa essere noto anche a terze parti concentra l'attenzione sul tema della chiave. La chiave deve essere sufficientemente lunga e casuale, ma soprattutto deve essere nota ai due utenti che intendono instaurare la comunicazione. Quest'ultimo problema, noto come distribuzione della chiave, è stato risolto con il sistema RSA a chiave pubblica. Il costo computazionale di questa tecnica, specialmente in un contesto di dispositivi non caratterizzati da grandi potenze di calcolo, suggerisce però la ricerca di strade alternative e meno onerose. Una soluzione promettente ed attualmente oggetto di studio sembra essere costituita dalle proprietà del canale wireless. Un ponte radio è caratterizzato da una funzione di trasferimento che dipende dall'ambiente in cui ci si trova e, per il teorema di reciprocità, risulta essere lo stesso per i due utenti che l'hanno instaurato. Oggetto della tesi è lo studio ed il confronto di alcune delle tecniche possibili per estrarre una chiave segreta da un mezzo condiviso, come quello del canale wireless. Si presenterà il contesto in cui verrà sviluppato l'elaborato. Si affronteranno in particolare due casi di interesse, costituiti dalla attuale tecnologia di propagazione del segnale a banda stretta (impiegata per la maggior parte delle trasmissioni senza fili) per passare a quella relativamente più recente della banda Ultra-larga (UWB). Verranno poi illustrate delle tecniche per ottenere stringhe di bit dai segnali acquisiti, e saranno proposti dei metodi per la loro correzione da eventuali discordanze. Saranno infine riportate le conclusioni sul lavoro svolto e le possibili strade future.

Cube Complexes and Virtual Fibering of 3-Manifolds.

Una 3-varietà si dice virtualmente fibrata se ammette un rivestimento finito che è un fibrato con base una circonferenza e fibra una superficie. In seguito al lavoro di geometrizzazione di Thurston e Perelman, la generica 3-varietà risulta essere iperbolica; un recente risultato di Agol afferma che una tale varietà è sempre virtualmente fibrata. L’ingrediente principale della prova consiste nell’introduzione, dovuta a Wise, dei complessi cubici nello studio delle 3-varietà iperboliche. Questa tesi si concentra sulle proprietà algebriche e geometriche di queste strutture combinatorie e sul ruolo che esse hanno giocato nella dimostrazione del Teorema di Fibrazione Virtuale.

Famiglie Normali per Operatori Sub-ellittici e i Teoremi di Montel e Koebe

Scopo della tesi è di estendere un celebre teorema di Montel, sulle famiglie normali di funzioni olomorfe, all'ambiente sub-ellittico delle famiglie di soluzioni u dell'equazione Lu=0, dove L appartiene ad un'ampia classe di operatori differenziali alle derivate parziali reali del secondo ordine in forma di divergenza, comprendente i sub-Laplaciani sui gruppi di Carnot, i Laplaciani sub-ellittici su arbitrari gruppi di Lie, oltre all'operatore di Laplace-Beltrami su varietà di Riemann. A questo scopo, forniremo una versione sub-ellittica di un altro notevole risultato, dovuto a Koebe, che caratterizza le funzioni armoniche come punti fissi di opportuni operatori integrali di media con nuclei non banali. Sarà fornito anche un adeguato sostituto della formula integrale di Cauchy.

Dinamica delle galassie a spirale e delle galassie ellittiche

Questa tesi è una panoramica di alcuni concetti base su cui si fonda la dinamica delle galassie. Nel primo capitolo vengono messi in evidenza i concetti più generali dal punto di vista morfologico- strutturale attraverso la classificazione di Hubble. Nel secondo capitolo si mette in evidenza come un sistema possa essere definito non collisionale (attraverso la stima del tempo di rilassamento ai due corpi) e le conseguenze che ne derivano come, per esempio, l' anisotropia dello stesso sistema che conferisce alla galassia la sua classica forma “schiacciata”. Vengono poi descritti la collisional Boltzmann equation (CBE) e il teorema del viriale in forma tensoriale . Integrando la CBE nello spazio delle velocità otteniamo tre equazioni note come equazioni di Jeans: queste hanno una struttura del tutto identica a quelle della fluidodinamica ma con alcune eccezioni significative che non permettono di descrivere completamente la dinamica delle galassie attraverso la fluidodinamica. Il terzo capitolo è un excursus generale sulle galassie ellittiche: dalla loro struttura alla loro dinamica. Dall' applicazione del teorema del viriale ad un sistema ellittico si può notare come la forma “schiacciata” delle galassie sia una conseguenza dell' anisotropia del sistema e sia dovuta solo in minima parte alla rotazione. Successivamente viene presentato un modello galattico (quello di Jeans), che ci permette di calcolare una distribuzione di massa del sistema attraverso un' equazione che purtroppo non ha soluzione unica e quindi ci rende impossibile calcolare il rapporto massa- luminosità. Infine viene descritto il fundamental plane che è una relazione empirica tale per cui ad ogni galassia viene associato un determinato valore di raggio effettivo, dispersione di velocità e luminosità. Nel quarto ed ultimo capitolo viene trattata la dinamica delle parti più esterne di una galassia: disco e bracci. La dinamica del disco è descritta attraverso la curva di rotazione che, come vedremo, ha delle caratteristiche abbastanza diverse da una curva di rotazione di tipo kepleriano (quella che ad esempio descrive l' andamento della velocità in funzione della distanza nel nostro sistema solare). Infine viene descritta la dinamica dei bracci e la teoria delle onde di densità di Lin e Shu, due astronomi americani, che riesce a descrivere compiutamente la nascita e l' evoluzione dei bracci a spirale.

Studio dei parametri che determinano la gittata sistolica e la pressione aortica

La stesura di questo elaborato di tesi trova le basi sull’articolo di Stergiopulos et al. “Determinants of stroke volume and systolic and diastolic aortic pressure” pubblicato sulla rivista americana American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology nel 1996. Si cerca di investigare sull’importanza che ricoprono alcuni parametri che descrivono il muscolo cardiaco e l’albero arterioso e sulla loro rispettiva influenza sulla pressione sistolica, pressione diastolica e sul volume di sangue eiettato in un battito, ovvero la gittata sistolica. Si procede con la descrizione in dettaglio della funzionalità cardiaca mediante il modello ad elastanza tempo variabile e il modello windkessel a tre elementi simulando così la contrazione ventricolare e l’albero arterioso sistemico. In dettaglio per quanto riguarda la struttura dell’elaborato è bene specificare che l’analisi teorica affrontata nei primi due capitoli ha l’obiettivo primario di: 1) chiarire i principali e caratteristici meccanismi che si trovano alla base della funzionalità cardiaca e procedere quindi con i richiami relativi alla fisiologia del sistema cardio-circolatorio facendo particolare attenzione al concetto di ciclo cardiaco, ciclo pressione-volume e fattori che determinano la funzionalità cardiaca in dettaglio; 2)illustrare quelli che sono i principali modelli di riferimento presenti in letteratura che descrivono la contrazione del ventricolo sinistro in termini di analisi pressione-volume ventricolari istantanei. Dal terzo capitolo in avanti si prosegue verso quello che è il vivo della trattazione dell’articolo di riferimento, nel capitolo appena citato si fa luce sui dettagli che caratterizzano il modello matematico utilizzato per approssimare al meglio il sistema cuore-sistema arterioso e sull’applicazione della teoria dell’analisi dimensionale mediante l’utilizzo del Teorema di Buckingham al fine di ricavare i parametri di interesse. Nel quarto capitolo si riportano i risultati dello studio con annessa validazione del modello e la sua applicazione rispetto al caso umano. Il quinto capitolo è sede della discussione dei risultati ottenuti cercando di far luce sull’universalità e applicabilità delle formule empiriche ottenute e su eventuali limitazioni e implicazioni riscontrabili. Tale elaborato si chiude con alcune conclusioni in merito allo studio effettuato.

Moto di particelle cariche in campi elettromagnetici intensi

E stata risolta l'equazione d'onda per la radiazione elettromagnetica ed è stata trovata l'espressione (in forma di integrale) per un impulso monocromatico di frequenza angolare fissata e per un impulso di durata finita, imponendo che nello spazione dei vettori d'onda (k_x,k_y) l'impulso sia rappresentato da una funzione Gaussiana nella forma exp[-w_0^2(k_x^2+k_y^2)/4], dove w_0 rappresenta il waist trasverso. Per avere un'espressione analitica dell'impulso monocromatico e dell'impulso di durata finita si sono rese necessarie rispettivamente l'approssimazione parassiale e un'approssimazione di "fattorizzazione". Sono state analizzate, sia analiticamente sia numericamente, i limiti entro i quali queste approssimazioni possono essere considerate accurate. Le soluzioni esatte e le soluzioni approssimate sono state confrontate graficamente. Nel capitolo finale è stato analizzato il moto di una particella carica che interagisce con un pacchetto d'onda unidimensionale, mettendo in luce la fondamentale differenza tra il moto di questa particella nel vuoto e il moto della stessa in un plasma carico. Infatti, in accordo con il teorema di Lawson-Woodward, nel vuoto la particella non può essere accelerata per interazione diretta con il pacchetto d'onda, mentre nel plasma, a seguito del passaggio del pacchetto, la particella può aver acquistato energia.