Termodinamica dei buchi neri e radiazione di Hawking

Questo lavoro di tesi si occupa dello studio dei buchi neri e delle loro proprietà termodinamiche da un punto di vista teorico. Nella prima parte si affronta una analisi teorico-matematica che mostra la soluzione dell’equazione di Einstein in relatività generale per un problema a simmetria sferica. Da questa soluzione si osserva la possibile presenza nell’universo di oggetti ai quali nemmeno alla luce è data la possibilità di fuggire, chiamati buchi neri. Ad ogni buco nero è associato un orizzonte degli eventi che si comporta come una membrana a senso unico: materia e luce possono entrare ma niente può uscire. E` studiata inoltre la possibile formazione di questi oggetti, mostrando che se una stella supera un certo valore critico di massa, durante la fase finale della sua evoluzione avverrà un collasso gravitazionale che nessuna forza conosciuta sarà in grado di fermare, portando alla formazione di un buco nero. Nella seconda parte si studiano le leggi meccaniche dei buchi neri. Queste leggi descrivono l’evoluzione degli stessi attraverso parametri come l’area dell’orizzonte degli eventi, la massa e la gravità di superficie. Si delinea quindi una analogia formale tra queste leggi meccaniche e le quattro leggi della termodinamica, con l’area dell’orizzonte degli eventi che si comporta come l’entropia e la gravità di superficie come la temperatura. Nella terza parte, attraverso l’utilizzo della meccanica quantistica, si mostra che l’analogia non è solo formale. Ad un buco nero è associata l’emissione di uno spettro di radiazione che corrisponde proprio a quello di un corpo nero che ha una temperatura proporzionale alla gravità di superficie. Si osserva inoltre che l’area dell’orizzonte degli eventi può essere interpretata come una misura della informazione contenuta nel buco nero e di conseguenza della sua entropia.

Metodi perturbativi dipendenti dal tempo

Sono rari i problemi risolubili in maniera esatta in meccanica quantistica. Ciò è legato alle difficoltà matemtiche insite nella teoria dei quanti. Inoltre i problemi risolti, pur essendo in alcuni casi delle ottime approssimazioni, sono spesso delle astrazioni delle situazioni reali. Si pensi ad esempio al caso di una particella quantistica di un problema unidimensionale. Questi sistemi sono talmente astratti da violare un principio fondamentale, il principio di indetermi- nazione. Infatti le componenti dell’impulso e della posizione perpendicolari al moto sono nulle e quindi sono note con certezza ad ogni istante di tempo. Per poter ottenere una descrizione dei modelli che tendono alla realtà è necessario ricorrere alle tecniche di approssimazione. In questa tesi sono stati considerati i fenomeni che coinvolgono una interazione variabile nel tempo. In particolare nella prima parte è stata sviluppata la teoria delle rappresentazioni della meccanica quantistica necessaria per la definizione della serie di Dyson. Questa serie oper- atoriale dovrebbe convergere (il problema della convergenza non è banale) verso l’operatore di evoluzione temporale, grazie al quale è possibile conoscere come un sistema evolve nel tempo. Quindi riuscire a determinare la serie di Dyson fino ad un certo ordine costituisce una soluzione approssimata del problema in esame. Supponiamo che sia possibile scomporre l’hamiltoniana di un sistema fisico nella somma di due termini del tipo: H = H0 + V (t), dove V (t) è una piccola perturbazione dipendente dal tempo di un problema risolubile esattamente caratterizzato dall’hamiltoniana H0 . In tal caso sono applicabili i metodi della teoria perturbativa dipendente dal tempo. Sono stati considerati due casi limite, ovvero il caso in cui lo spettro dell’hamiltoniana imperturbata sia discreto e non degenere ed il caso in cui lo spettro sia continuo. La soluzione al primo ordine del caso discreto è stata applicata per poter formu- lare il principio di indeterminazione energia-tempo e per determinare le regole di selezione in approssimazione di dipolo elettrico. Il secondo caso è servito per spiegare il decadimento beta, rimanendo nel campo della teoria quantistica classica (per una trattazione profonda del problema sarebbe necessaria la teoria dei campi).

Le equazioni di London-London e la quantizzazione del flusso magnetico nella superconduttività

Nella prima sezione di questo lavoro verranno esposti i ragionamenti fisici alla base della scrittura delle equazioni di London-London (1935), capaci di descrivere due importanti fenomeni riguardanti i materiali superconduttori quali la conduttività perfetta (resistenza nulla) e il diamagnetismo perfetto (Effetto Meissner). Verrà in essa infine brevemente descritto l'effetto della più generale conservazione del flusso magnetico nei superconduttori secondo il modello classico. Nella seconda sezione verrà esposto il ragionamento alla base della scrittura del Modello Quantistico Macroscopico, proposto da F.London nel 1948 per cercare di unificare la descrizione elettrodinamica classica della superconduttività con la meccanica quantistica, attraverso la scrittura di una funzione d'onda macroscopica capace di descrivere l'intero ensemble di portatori di carica superelettronici nel loro moto di conduzione.Esso permetterà di prevedere il fenomeno della quantizzazione del flusso magnetico intrappolato da una regione superconduttrice molteplicemente connessa.

Logiche proposizionali polivalenti

In questa tesi si intende presentare le logiche proposizionali polivalenti con alcuni esempi: esse sono estensioni dalla logica classica a insiemi (in generale ancora finiti come in questa tesi) di valori di verità maggiori di due. La sintassi è la stessa ma non la semantica, rappresentata però sempre da tavole di verità o interpretazioni. Nel primo capitolo sono presentate le definizioni e gli elementi della logica classica che serviranno per studiare questo nuovo tipo di logiche. Nel secondo capitolo è esposto l'esempio di una logica a quattro valori. Si dimostra la completezza di questo calcolo, in una forma diversa rispetto alla logica classica usando tecniche simili. Non valgono infatti il principio del terzo escluso e la Legge di Lewis. Si analizza la validità delle regole del calcolo della deduzione naturale e la riscrittura delle leggi di De Morgan. Nell'ultimo capitolo si affrontano le logiche a n valori con n>2 e varianti a tre valori (vero, falso e indefinito) con i principali esempi di Lukasiewicz-Tarski, Kleene, Priest e Bochvar. Nelle conclusioni si ricordano alcune applicazioni di questo tipo di logiche facendo riferimento alla meccanica quantistica, all'informatica e all'elettronica.

Nonlinearity as a resource for nonclassicality

Lo scopo di questo lavoro è cercare un'evidenza quantitativa a supporto dell'idea idea che la nonlinearità sia una risorsa per generare nonclassicità. Ci si concentrerà su sistemi unidimensionali bosonici, cercando soprattutto di connettere la nonlinearità di un oscillatore anarmonico, definito dalla forma del suo potenziale, alla nonclassicità del relativo ground state. Tra le numerose misure di nonclassicità esistenti, verranno impiegate il volume della parte negativa della funzione di Wigner e l'entanglement potential, ovvero la misura dell'entanglement prodotto dallo stato dopo il passaggio attraverso un beam splitter bilanciato avente come altro stato in ingresso il vuoto. La nonlinearità di un potenziale verrà invece caratterizzata studiando alcune proprietà del suo ground state, in particolare se ne misurerà la non-Gaussianità e la distanza di Bures rispetto al ground state di un oscillatore armonico di riferimento. Come principale misura di non-Gaussianità verrà utilizzata l'entropia relativa fra lo stato e il corrispettivo stato di riferimento Gaussiano, avente la medesima matrice di covarianza. Il primo caso che considereremo sarà quello di un potenziale armonico con due termini polinomiali aggiuntivi e il ground state ottenuto con la teoria perturbativa. Si analizzeranno poi alcuni potenziali il cui ground state è ottenibile analiticamente: l'oscillatore armonico modificato, il potenziale di Morse e il potenziale di Posch-Teller. Si andrà infine a studiare l'effetto della nonlinearità in un contesto dinamico, considerando l'evoluzione unitaria di uno stato in ingresso in un mezzo che presenta una nonlinearità di tipo Kerr. Nell'insieme, i risultati ottenuti con tutti i potenziali analizzati forniscono una forte evidenza quantitativa a supporto dell'idea iniziale. Anche i risultati del caso dinamico, dove la nonlinearità costituisce una risorsa utile per generare nonclassicità solo se lo stato iniziale è classico, confermano la pittura complessiva. Si sono inoltre studiate in dettaglio le differenze nel comportamento delle due misure di nonclassicità.

Fasi geometriche, fase di Berry ed effetto Aharonov-Bohm

Un sistema sottoposto ad una lenta evoluzione ciclica è descritto da un'Hamiltoniana H(X_1(t),...,X_n(t)) dipendente da un insieme di parametri {X_i} che descrivono una curva chiusa nello spazio di appartenenza. Sotto le opportune ipotesi, il teorema adiabatico ci garantisce che il sistema ritornerà nel suo stato di partenza, e l'equazione di Schrödinger prevede che esso acquisirà una fase decomponibile in due termini, dei quali uno è stato trascurato per lungo tempo. Questo lavoro di tesi va ad indagare principalmente questa fase, detta fase di Berry o, più in generale, fase geometrica, che mostra della caratteristiche uniche e ricche di conseguenze da esplorare: essa risulta indipendente dai dettagli della dinamica del sistema, ed è caratterizzata unicamente dal percorso descritto nello spazio dei parametri, da cui l'attributo geometrico. A partire da essa, e dalle sue generalizzazioni, è stata resa possibile l'interpretazione di nuovi e vecchi effetti, come l'effetto Aharonov-Bohm, che pare mettere sotto una nuova luce i potenziali dell'elettromagnetismo, e affidare loro un ruolo più centrale e fisico all'interno della teoria. Il tutto trova una rigorosa formalizzazione all'interno della teoria dei fibrati e delle connessioni su di essi, che verrà esposta, seppur in superficie, nella parte iniziale.

Dynamical evolution of quantum states: a geometrical approach.

Questo lavoro di tesi si inserisce nel recente filone di ricerca che ha lo scopo di studiare le strutture della Meccanica quantistica facendo impiego della geometria differenziale. In particolare, lo scopo della tesi è analizzare la geometria dello spazio degli stati quantistici puri e misti. Dopo aver riportato i risultati noti relativi a questo argomento, vengono calcolati esplicitamente il tensore metrico e la forma simplettica come parte reale e parte immaginaria del tensore di Fisher per le matrici densità 2×2 e 3×3. Quest’ultimo altro non é che la generalizzazione di uno strumento molto usato in Teoria dell’Informazione: l’Informazione di Fisher. Dal tensore di Fisher si può ottenere un tensore metrico non solo sulle orbite generate dall'azione del gruppo unitario ma anche su percorsi generati da trasformazioni non unitarie. Questo fatto apre la strada allo studio di tutti i percorsi possibili all'interno dello spazio delle matrici densità, che in questa tesi viene esplicitato per le matrici 2×2 e affrontato utilizzando il formalismo degli operatori di Kraus. Proprio grazie a questo formalismo viene introdotto il concetto di semi-gruppo dinamico che riflette la non invertibilità di evoluzioni non unitarie causate dall'interazione tra il sistema sotto esame e l’ambiente. Viene infine presentato uno schema per intraprendere la stessa analisi sulle matrici densità 3×3, e messe in evidenza le differenze con il caso 2×2.

Integrali sui cammini e ordinamento di Weyl

In questa tesi viene affrontato lo studio degli integrali funzionali nella meccanica quantistica, sia come rielaborazione dell'operatore di evoluzione temporale che costruendo direttamente una somma sui cammini. Vengono inoltre messe in luce ambiguit\`a dovute alla discretizzazione dell'azione corrispondenti ai problemi di ordinamento operatoriale della formulazione canonica. Si descrive inoltre come una possibile scelta della discretizzazione dell'integrale funzionale pu\`o essere ottenuta utilizzando l'ordinamento di Weyl dell'opertore Hamiltoniano, sfruttando la relazione tra Hamiltoniana Weyl ordinata e la prescrizione del punto di mezzo da usare nella discretizzazione dell'azione classica. Studieremo in particolare il caso di una particella non relativistica interagente con un potenziale scalare, un potenziale vettore (campo magnetico) ed un potenziale tensore (metrica).

Operatori lineari su spazi di Hilbert

La trattazione che segue fornisce un'introduzione agli operatori lineari. Il primo capitolo contiene dei cenni sugli spazi di Hilbert di dimensione infinita, in modo da poter lavorare con operatori definiti non solo su spazi finito dimensionali, che sono generalmente rappresentati da matrici. Nel secondo capitolo si prosegue con lo studio degli operatori lineari limitati, proponendo come esempio l'operatore di proiezione. Viene definito anche l'importante concetto di operatore aggiunto, generalizzato nel capitolo successivo. Il capitolo finale tratta gli operatori non limitati, che possono essere analizzati con più facilità se soddisfano una proprietà topologica, che è la chiusura. Si affronta anche il concetto di spettro di un operatore, soprattutto nel caso di un operatore autoaggiunto, concludendo con l' esempio di un importante operatore, cioè l'operatore differenziale, fondamentale in meccanica quantistica.

Righe spettrali: formazione, shift, allargamento

L'analisi degli spetti astronomici ci fornisce informazioni cruciali per la comprensione degli oggetti astrofisici che li generano. In questo breve elaborato, si analizzano i processi fisici a livello microscopico che portano alla loro formazione, i meccanismi per i quali le righe subiscono uno shift, e quelli per cui il loro profilo viene modificato. Infine, si approfondiscono alcuni esempi astrofisici di spettri.

Renormalization group flows between non-unitary conformal models

Recentemente sono stati valutati come fisicamente consistenti diversi modelli non-hermitiani sia in meccanica quantistica che in teoria dei campi. La classe dei modelli pseudo-hermitiani, infatti, si adatta ad essere usata per la descrizione di sistemi fisici dal momento che, attraverso un opportuno operatore metrico, risulta possibile ristabilire una struttura hermitiana ed unitaria. I sistemi PT-simmetrici, poi, sono una categoria particolarmente studiata in letteratura. Gli esempi riportati sembrano suggerire che anche le cosiddette teorie conformi non-unitarie appartengano alla categoria dei modelli PT-simmetrici, e possano pertanto adattarsi alla descrizione di fenomeni fisici. In particolare, si tenta qui la costruzione di determinate lagrangiane Ginzburg-Landau per alcuni modelli minimali non-unitari, sulla base delle identificazioni esistenti per quanto riguarda i modelli minimali unitari. Infine, si suggerisce di estendere il dominio del noto teorema c alla classe delle teorie di campo PT-simmetriche, e si propongono alcune linee per una possibile dimostrazione dell'ipotizzato teorema c_{eff}.

Studio sulla bontà dell'approssimazione perturbativa per l'oscillatore anarmonico

Nell'ambito della meccanica quantistica è stato sviluppato uno strumento di calcolo al fine di studiare sistemi per i quali è troppo difficile risolvere il problema di Schrödinger. Esso si basa sull'idea di considerare un sistema semplice, totalmente risolvibile, e perturbarlo fino ad ottenere un'Hamiltoniana simile a quella che si vuole studiare. In questo modo le soluzioni del sistema più complicato sono le soluzioni note del problema semplice corrette da sviluppi in serie della perturbazione. Nonostante il grande successo della Teoria perturbativa, essendo una tecnica di approssimazione, presenta delle limitazioni e non può essere usata in ogni circostanza. In questo lavoro di tesi è stata valutata l'efficacia della Teoria perturbativa ricercando la compatibilità tra le soluzioni trovate col metodo analitico e quelle esatte ottenute numericamente. A tale scopo è stato usato il sistema fisico dell'oscillatore anarmonico, ovvero un oscillatore armonico standard sottoposto ad una perturbazione quartica. Per l'analisi numerica invece è stato utilizzato il programma Wolfram Mathematica. La trattazione seguita ha dimostrato che la Teoria perturbativa funziona molto bene in condizioni di bassa energia e di piccole perturbazioni. Nel momento in cui il livello energetico aumenta e l'intensità della perturbazione diventa significativa, i risultati analitici cominciano a divergere da quelli ottenuti numericamente.

Analisi spettrale di operatori differenziali

L'elaborato è finalizzato a presentare l'analisi degli operatori differenziali agenti in meccanica quantistica e la teoria degli operatori di Sturm-Liouville. Nel primo capitolo vengono analizzati gli operatori differenziali e le relative proprietà. Viene studiata la loro autoaggiunzione su vari domini con diverse condizioni al contorno e vengono tratte delle conclusioni sul loro significato come osservabili. Nel secondo capitolo viene presentato il concetto di spettro e vengono studiate le sue proprietà.Vengono poi analizzati gli spettri degli operatori precedentemente introdotti. Nell'utimo capitolo vengono presentati gli operatori di Sturm-Liouville e alcune proprietà delle equazioni differenziali. Vengono imposte delle specifiche condizioni al contorno che determinano la realizzazione dei sistemi di Sturm-Liouville, di cui vengono studiati due esempi notevoli: le guide d'onda e la conduzione del calore.

Grafene: Proprieta, sintesi e applicazioni

Nel 2004 due Fisici dell’Università di Manchester, nel Regno Unito, hanno isolato per la prima volta un materiale dallo spessore di un singolo atomo: il grafene. Questo materiale, composto da un reticolo di atomi di carbonio disposti a nido d’ape, possiede interessanti proprietà chimiche e fisiche, tra le quali una elevata resistenza chimica e meccanica, un’eccellente trasporto termico ed elettrico ed una elevata trasparenza. Il crescente fermento attorno al grafene ha suscitato un forte interesse a livello europeo, al punto che il 28 gennaio di quest’anno la Comunità Europea ha approvato i due più grandi progetti di ricerca mai finanziati in Europa. Tra questi il Graphene Flagship Project (www.graphene-flagship.eu) che coinvolge oltre 120 gruppi di ricerca da 17 Stati Europei e distribuirà nei prossimi anni 1,000 milioni di euro per lo sviluppo di tecnologie e dispositivi a base grafene. Nel mio elaborato di Tesi ho seguito le ricerche del gruppo grafene dell’Istituto per la Microelettronica e i Microsistemi del Consiglio Nazionale delle Ricerche di Bologna, approfondendo il funzionamento del sistema di sintesi di questo materiale chiamato Chemical Vapour Deposition e le tecniche sperimentali che permettono il trasferimento del grafene su substrati come il silicio, ma anche materiali polimerici flessibili come il PET, per la realizzazione di elettrodi conduttivi, trasparenti per applicazioni nell’elettronica flessibile. Questa esperienza e stata molto importante per la mia formazione e mi ha dato modo di lavorare ad un soggetto di ricerca cosi attuale, importante e promettente come il grafene. Nutro personalmente grande passione e aspettativa per questo materiale e sono convinto che nel prossimo futuro la tecnologia del grafene saprà entrare nella vita quotidiana di tutti noi.

Grafene: Proprieta, sintesi e applicazioni

Nel 2004 due Fisici dell’Università di Manchester, nel Regno Unito, isolarono per la prima volta un materiale dallo spessore di un singolo atomo: il grafene. Questo materiale, composto da un reticolo di atomi di carbonio disposti a nido d’ape, possiede interessanti proprietà chimiche e fisiche, tra le quali una elevata resistenza chimica e meccanica, un eccellente trasporto termico ed elettrico ed un’ elevata trasparenza. Il crescente fermento attorno al grafene ha suscitato un forte interesse a livello europeo, al punto che la Comunità Europea ha approvato due dei più grandi progetti di ricerca mai finanziati in Europa, tra questi il Graphene Flagship Project (www.graphene-flagship.eu) che coinvolge oltre 120 gruppi di ricerca da 17 Stati Europei e distribuirà nei prossimi anni 1,000 milioni di euro per lo sviluppo di tecnologie e dispositivi a base grafene. Con Flagship Grafene l’Europa punta sul grafene, e lo fa in grande. L’obiettivo è dunque ambizioso. Il suddetto materiale è infatti non solo il più sottile che conosciamo, con uno spessore di un atomo di carbonio, ma è anche 100 volte più resistente dell’acciaio e al tempo stesso flessibile. E’ Inoltre trasparente e conduce l’energia elettrica e termica molto meglio del rame. Ergo, il grafene offre le stesse performance dei materiali usati attualmente nei nostri dispositivi, con l’aggiunta però di ulteriori funzionalità.