Un approccio geometrico ai sistemi di equazioni differenziali

Vengono trattati tre diversi tipi di sistemi di equazioni differenziali utilizzando nozioni di tipo geometrico come le funzioni di matrici, le matrici costituenti e i fasci di matrici singolari.

Dipendenza dai dati per equazioni differenziali ordinarie

Problema di Cauchy, teorema di dipendenza continua dai dati iniziali, teorema di dipendenza regolare dai dati e dai parametri.

The Complex Monge-Ampère Equation

In questa trattazione si studia la regolarità delle soluzioni viscose plurisubarmoniche dell’equazione di Monge-Ampère complessa. Si tratta di un’equazione alle derivate parziali del secondo ordine completamente non lineare il cui termine del secondo ordine è il determinante della matrice hessiana complessa di una funzione incognita a valori reali u. Il principale risultato della tesi è un nuovo controesempio di tipo Pogorelov per questa equazione. Si prova cioè l’esistenza di soluzioni viscose plurisubarmoniche e non classiche per un equazione di Monge-Ampère complessa.

Applicazione ai gruppi di Lie della prolungabilità per Equazioni Differenziali Ordinarie

Lo scopo di questa tesi è studiare in dettaglio l'articolo "A Completeness Result for Time-Dependent Vector Fields and Applications" di Stefano Biagi e Andrea Bonfiglioli, dove si ottiene una condizione sufficiente per la completezza di un campo vettoriale (dipendente dal tempo) in RN, che generalizza la ben nota condizione di invarianza a sinistra per i gruppi di Lie.

Risoluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi pluridimensionale.

Nello studio di sistemi dinamici si cerca una trasformazione nello spazio delle fasi, detta trasformazione canonica, che lasci invariato il sistema di Hamilton e che porti a una funzione hamiltoniana che non dipenda più dai parametri lagrangiani, ma solo dai momenti. Si arriva quindi all'equazione di Hamilton-Jacobi che è una particolare equazione differenziale alle derivate parziali con incognita una funzione phi a valori scalari. Nei casi in cui ci siano n parametri lagrangiani si definisce il concetto di varietà lagrangiana come una varietà su cui si annulla la forma simplettica canonica e sotto l'ipotesi che esista una proiezione su R^n i punti di questa varietà si scrivono come (x,grad(phi(x)) e soddisfano l'equazione di Hamilton-Jacobi. Infine si illustra come una funzione phi trovata in questo modo permetta di approssimare l'equazione di Schroedinger.

Problema di Cauchy per l'equazione del calore e l'equazione delle onde

Oggetto della mia tesi è la trasformata di Fourier e la sua applicazione alla risoluzione dell'equazione del calore e dell'equazione delle onde. Nel primo capitolo ricordo la definizione di trasformata di Fourier, alcune sue proprietà e infine la definizione di Spazi di Schwartz. Nel secondo capitolo risolverò l'equazione del calore e nel terzo l'equazione delle onde.

Analisi distribuzioni degli elementi delle matrici di un controllo h-infinito

Lo studio di tesi che segue analizza un problema di controllo ottimo che ho sviluppato con la collaborazione dell'Ing. Stefano Varisco e della Dott.ssa Francesca Mincigrucci, presso la Ferrari Spa di Maranello. Si è trattato quindi di analizzare i dati di un controllo H-infinito; per eseguire ciò ho utilizzato i programmi di simulazione numerica Matlab e Simulink. Nel primo capitolo è presente la teoria dei sistemi di equazioni differenziali in forma di stato e ho analizzato le loro proprietà. Nel secondo capitolo, invece, ho introdotto la teoria del controllo automatico e in particolare il controllo ottimo. Nel terzo capitolo ho analizzato nello specifico il controllo che ho utilizzato per affrontare il problema richiesto che è il controllo H-infinito. Infine, nel quarto e ultimo capitolo ho specificato il modello che ho utilizzato e ho riportato l'implementazione numerica dell'algoritmo di controllo, e l'analisi dei dati di tale controllo.

Meccanismi di produzione di energia in astrofisica

Prima di fornire una formulazione esaustiva dell'onda d'urto, è d'uopo definire il gas come oggetto fisico e le sue principali caratteristiche. Quanto si farà nei paragrafi seguenti quindi, sarà tentare di formalizzare il sistema gassoso dal punto di vista fisico e matematico. Sarà necessario introdurre un modello del sistema (par. 1.1) che ci permetta di lavorare a livello statistico sull'insieme di particelle che lo compongono per caratterizzare le funzioni termodinamiche classiche come medie temporali. Tramite queste considerazioni si stabilirà quali sono le quantità che si conservano nel moto di un fluido e si vedrà che tali leggi di conservazione formano un sistema di 5 equazioni differenziali parziali in 6 incognite. Tramite la linearizzazione di questo sistema si individueranno delle soluzioni chiamate onde sonore che danno un'indicazione sul modo in cui si propagano delle perturbazioni all'interno di un fluido; in particolar modo saranno utili per la determinazione del numero di Mach che rende possibile la distinzione tra due regimi: subsonico e supersonico (par. 1.2). Sarà possibile, a questo punto, indagare il fenomeno dell'onda d'urto (par. 2.1) e, nel dettaglio, due casi particolarmente utili in contesto astrofisico quali: l'onda d'urto per un gas politropico (par. 2.2), un'onda d'urto sferica che avanza verso il suo centro (2.2). Lo scopo di questa trattazione è indagare, o se non altro tentare, quanto avviene in un'esplosione di Supernova (par. 3). Relativamente a questo fenomeno, ne viene data una classificazione sommaria (par. 3.1), mentre particolare attenzione sarà rivolta alle Supernovae di tipo Ia (par. 3.2) che grazie alla loro luminosità standard costituiscono un punto di riferimento nell'Universo visibile.

Equazioni stocastiche backward nel mercato delle emissioni

In questa tesi viene esposto il modello EU ETS (European Union Emission Trading Scheme) per la riduzione delle emissoni di gas serra, il quale viene formalizzato matematicamente da un sistema di FBSDE (Forward Backward Stochastic Differential Equation). Da questo sistema si ricava un'equazione differenziale non lineare con condizione al tempo finale non continua che viene studiata attraverso la teoria delle soluzioni viscosità. Inoltre il modello viene implementato numericamente per ottenere alcune simulazioni dei processi coinvolti.

Studio e applicazione di tecniche di riduzione di dimensionalita a modelli geometrici di percezione visiva

La tesi affronta il tema della neuromatematica della visione, in particolare l’integrazione di modelli geometrici di percezione visiva con tecniche di riduzione di dimensionalità. Dall’inizio del secolo scorso, la corrente ideologica della Gestalt iniziò a definire delle regole secondo le quali stimoli visivi distinti tra loro possono essere percepiti come un’unica unità percettiva, come ad esempio i principi di prossimità, somiglianza o buona continuazione. Nel tentativo di quantificare ciò che gli psicologi avevano definito in maniera qualitativa, Field, Hayes e Hess hanno descritto, attraverso esperimenti psicofisiologici, dei campi di associazione per stimoli orientati, che definiscono quali caratteristiche due segmenti dovrebbero avere per poter essere associati allo stesso gruppo percettivo. Grazie alle moderne tecniche di neuroimaging che consentono una mappatura funzionale dettagliata della corteccia visiva, è possibile giustificare su basi neurofisiologiche questi fenomeni percettivi. Ad esempio è stato osservato come neuroni sensibili ad una determinata orientazione siano preferenzialmente connessi con neuroni aventi selettività in posizione e orientazione coerenti con le regole di prossimità e buona continuazione. Partendo dal modello di campi di associazione nello spazio R^2xS^1 introdotto da Citti e Sarti, che introduce una giustificazione del completamento percettivo sulla base della funzionalità della corteccia visiva primaria (V1), è stato possibile modellare la connettività cellulare risolvendo un sistema di equazioni differenziali stocastiche. In questo modo si sono ottenute delle densità di probabilità che sono state interpretate come probabilità di connessione tra cellule semplici in V1. A queste densità di probabilità è possibile collegare direttamente il concetto di affinità tra stimoli visivi, e proprio sulla costruzione di determinate matrici di affinità si sono basati diversi metodi di riduzione di dimensionalità. La fenomenologia del grouping visivo descritta poco sopra è, di fatto, il risultato di un procedimento di riduzione di dimensionalità. I risultati ottenuti da questa analisi e gli esempi applicativi sviluppati si sono rivelati utili per comprendere più nel dettaglio la possibilità di poter riprodurre, attraverso l’analisi spettrale di matrici di affinità calcolate utilizzando i modelli geometrici di Citti-Sarti, il fenomeno percettivo di grouping nello spazio R^2xS^1.