Funzioni speciali e applicazioni

In questa tesi viene presentato uno studio dell'equazione ipergeometrica, dell'equazione di Legendre e delle proprietà delle loro soluzioni. Infine vengono presentate alcune tra le possibili applicazioni di tali equazioni. 

Soluzioni classiche e viscose dell'equazione di curvatura di Gauss-Levi

Nella presente tesi ci siamo occupati dell'equazione di curvatura di Gauss-Levi, prima introducendo le nozioni necessarie alla sua definizione, poi cercandone soluzioni viscose. A tale scopo abbiamo introdotto in generale la nozione di soluzione viscosa per operatori ellittici degeneri, dimostrandone l'esistenza grazie al Principio del Confronto e al Metodo di Perron. Abbiamo infine riportato alcuni risultati che collegano le soluzioni viscose dell'equazione di curvatura, a quelle classiche.

Equazione di Smoluchowski a coefficienti variabili e applicazioni

In questo lavoro viene presentato un modello matematico per l'aggregazione e la diffusione della beta-amiloide nel cervello umano affetto dalla malattia di Alzheimer, con la particolarità di considerare coefficienti di diffusione variabili e non costanti. Il modello è basato sull'equazione di Smoluchowski discreta per l'aggregazione, modificata in modo opportuno per considerare anche il fenomeno di diffusione.

Risoluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi pluridimensionale.

Nello studio di sistemi dinamici si cerca una trasformazione nello spazio delle fasi, detta trasformazione canonica, che lasci invariato il sistema di Hamilton e che porti a una funzione hamiltoniana che non dipenda più dai parametri lagrangiani, ma solo dai momenti. Si arriva quindi all'equazione di Hamilton-Jacobi che è una particolare equazione differenziale alle derivate parziali con incognita una funzione phi a valori scalari. Nei casi in cui ci siano n parametri lagrangiani si definisce il concetto di varietà lagrangiana come una varietà su cui si annulla la forma simplettica canonica e sotto l'ipotesi che esista una proiezione su R^n i punti di questa varietà si scrivono come (x,grad(phi(x)) e soddisfano l'equazione di Hamilton-Jacobi. Infine si illustra come una funzione phi trovata in questo modo permetta di approssimare l'equazione di Schroedinger.

Stime Integrali su Gruppi di Tipo H e Principio Forte di Continuazione Unica

Lo scopo di questa tesi è dimostrare il Principio Forte di Continuazione Unica per opportune soluzioni di un'equazione di tipo Schrödinger Du=Vu, ove D è il sub-Laplaciano canonico di un gruppo di tipo H e V è un potenziale opportuno. Nel primo capitolo abbiamo esposto risultati già noti in letteratura sui gruppi di tipo H: partendo dalla definizione di tali gruppi, abbiamo fornito un'utile caratterizzazione in termini "elementari" che permette di esplicitare la soluzione fondamentale dei relativi sub-Laplaciani canonici. Nel secondo capitolo abbiamo mostrato una formula di rappresentazione per funzioni lisce sui gruppi di tipo H, abbiamo dimostrato una forma forte del Principio di Indeterminazione di Heisenberg (sempre nel caso di gruppi di tipo H) e abbiamo fornito una formula per la variazione prima dell'integrale di Dirichlet associato a Du=Vu. Nel terzo capitolo, infine, abbiamo analizzato le proprietà di crescita di funzioni di frequenza, utili a dimostrare le stime integrali che implicano in modo piuttosto immediato il Principio Forte di Continuazione Unica, principale oggetto del nostro studio.

Quantum groups and vertex models

Nella tesi vengono presentate alcune relazioni fra gruppi quantici e modelli reticolari. In particolare si associa un modello vertex a una rappresentazione di un'algebra inviluppante quantizzata affine e si mostra che, specializzando il parametro quantistico ad una radice dell'unità, si manifestano speciali simmetrie.

Dispersive wave solutions of the klein-gordon equation in cosmology

L'equazione di Klein-Gordon descrive una ampia varietà di fenomeni fisici come la propagazione delle onde in Meccanica dei Continui ed il comportamento delle particelle spinless in Meccanica Quantistica Relativistica. Recentemente, la forma dissipativa di questa equazione si è rivelata essere una legge di evoluzione fondamentale in alcuni modelli cosmologici, in particolare nell'ambito dei cosiddetti modelli di k-inflazione in presenza di campi tachionici. L'obiettivo di questo lavoro consiste nell'analizzare gli effetti del parametro dissipativo sulla dispersione nelle soluzioni dell'equazione d'onda. Saranno inoltre studiati alcuni tipici problemi al contorno di particolare interesse cosmologico per mezzo di grafici corrispondenti alle soluzioni fondamentali (Funzioni di Green).

Equazioni di stato della materia in astrofisica

Una stella non è un sistema in "vero" equilibrio termodinamico: perde costantemente energia, non ha una composizione chimica costante nel tempo e non ha nemmeno una temperatura uniforme. Ma, in realtà, i processi atomici e sub-atomici avvengono in tempi così brevi, rispetto ai tempi caratteristici dell'evoluzione stellare, da potersi considerare sempre in equilibrio. Le reazioni termonucleari, invece, avvengono su tempi scala molto lunghi, confrontabili persino con i tempi di evoluzione stellare. Inoltre il gradiente di temperatura è dell'ordine di 1e-4 K/cm e il libero cammino medio di un fotone è circa di 1 cm, il che ci permette di assumere che ogni strato della stella sia uno strato adiabatico a temperatura uniforme. Di conseguenza lo stato della materia negli interni stellari è in una condizione di ``quasi'' equilibrio termodinamico, cosa che ci permette di descrivere la materia attraverso le leggi della Meccanica Statistica. In particolare lo stato dei fotoni è descritto dalla Statistica di Bose-Einstein, la quale conduce alla Legge di Planck; lo stato del gas di ioni ed elettroni non degeneri è descritto dalla Statistica di Maxwell-Boltzmann; e, nel caso di degenerazione, lo stato degli elettroni è descritto dalla Statistica di Fermi-Dirac. Nella forma più generale, l'equazione di stato dipende dalla somma dei contributi appena citati (radiazione, gas e degenerazione). Vedremo prima questi contributi singolarmente, e dopo li confronteremo tra loro, ottenendo delle relazioni che permettono di determinare quale legge descrive lo stato fisico di un plasma stellare, semplicemente conoscendone temperatura e densità. Rappresentando queste condizioni su un piano $\log \rho \-- \log T$ possiamo descrivere lo stato del nucleo stellare come un punto, e vedere in che stato è la materia al suo interno, a seconda della zona del piano in cui ricade. È anche possibile seguire tutta l'evoluzione della stella tracciando una linea che mostra come cambia lo stato della materia nucleare nelle diverse fasi evolutive. Infine vedremo come leggi quantistiche che operano su scala atomica e sub-atomica siano in grado di influenzare l'evoluzione di sistemi enormi come quelli stellari: infatti la degenerazione elettronica conduce ad una massa limite per oggetti completamente degeneri (in particolare per le nane bianche) detta Massa di Chandrasekhar.

Un'interpretazione del modello classico di Retinex sulla base della funzionalita del LGN

In questa tesi consideriamo il problema della percezione di immagini, e in particolare la sensibilità al contrasto del nostro sistema visivo. Viene studiato il modello classico di Retinex, che descrive l'immagine percepita come soluzione di un'equazione di Poisson. Questo modello viene reinterpretato utilizzando strumenti di geometria differenziale e derivate covarianti. La controparte neurofisiologica del modello è la descrizione della funzionalità del LGN, e della connettività che le lega. Questa viene modellata come un nucleo soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace, con strumenti di teoria delle distribuzioni. L'attività dello strato di cellule è quindi soluzione dell'equazione di Laplace, ovvero la stessa equazione che descrive il Retinex. Questo prova che le cellule sono responsabili della percezione a meno di illuminazione.

Il teorema di Koebe per le funzioni armoniche

Il punto centrale della tesi è stato dimostrare il Teorema di Koebe per le funzioni armoniche. È stato necessario partire da alcuni risultati di integrazione in Rn per ricavare identità e formule di rappresentazione per funzioni di classe C2, introdurre le funzioni armoniche e farne quindi una analisi accurata. Tali funzioni sono state caratterizzate tramite le formule di media e messe in relazione con le funzioni olomorfe, per le quali vale una formula simile di rappresentazione.