De uma análise de um problema de combinatória aos quadrados Mágicos

Os quadrados mágicos, de um modo geral, são abordados como uma poderosa ferramenta pedagógica capaz de despertar e aprimorar o raciocínio lógico. São inúmeros os projectos que objectivam a realização de actividades lúdicas capazes de aprimorar capacidades humanas como o raciocínio lógico. Segundo [Leo05], na Alemanha, os quadrados mágicos chegam a ser referência nos manuais das escolas primárias. Contrariamente à maioria dos trabalhos em quadrados mágicos, a grande preocupação presente neste não foi propriamente explorar a potencialidade dos quadrados mágicos como utensílio dogmático no desenvolvimento de raciocínios. Neste trabalho a nossa atenção incidiu na resolução de um problema de combinatória proposto por Henry Dudeney, mais concretamente o “Enigma do Monge”. Foi desenvolvida uma estratégia própria para solucionar o respectivo enigma. Foram ainda analisadas outras questões inerentes ao mesmo problema. Verificámos ainda que as relações de simetria desempenham um papel preponderante, no sentido em que o seu conhecimento facilitou a resolução do problema. Contudo, e contrariamente ao que prevíamos, verificou-se que este problema estava fortemente relacionado com os quadrados mágicos. Mais, existem propriedades verificadas no enigma que são determinantes na construção de quadrados mágicos de ordem 3.

Alunos com altas habilidades: Valor preditivo dos critérios de identificação

A identificação dos alunos sobredotados e talentosos implica a ponderação e a adopção de critérios e procedimentos de avaliação que permitam caracterizar com validade os alunos sinalizados. Nesse sentido, a necessidade de contemplar várias fontes de informação pressupõe uma certa complexidade no processo de identificação, sendo que o recurso a uma identificação multi-referencial permite o alargamento do número de alunos que poderá beneficiar de medidas educativas. O principal objectivo desta comunicação é analisar e reflectir sobre os critérios utilizados para a sinalização e a avaliação de alunos com altas habilidades. Procuramos comparar os desempenhos ao nível do raciocínio cognitivo (BPR-5/6 e BPR-7/9) e académico (classificações escolares) de um grupo de alunos identificado com altas habilidades, quando frequentavam o 2º ciclo (5º e 6º ano) [conjugando critérios de avaliação ao nível da criatividade (TPCT), da cognição (BPR-5/6),da inteligência geral (TIG-1) e do rendimento académico (notas escolares)], com os seus desempenhos em anos lectivos posteriores, quando frequentam o 3º ciclo (8º e 9ºano). Além disso, consideramos nesta análise a percepção dos Directores de Turma ao nível da sinalização dos alunos (BISAST-NP e IDT). Genericamente, os resultados sugerem que nem todos os alunos identificados apresentam um elevado rendimento académico nos anos escolares posteriores e que os professores revelam alguma dificuldade na sinalização de alunos com altas habilidades, sendo os resultados dessa sinalização discrepantes face aos resultados nas provas psicológicas.

Como resolver problemas de matemática

Jorge Nuno Silva

A aprendizagem da geometria com recurso aos materiais manipuláveis no 7º ano de escolaridade

O presente estudo tem por objectivo compreender como é que os alunos se apropriam dos conceitos da Geometria do sétimo ano de escolaridade quando usam materiais manipuláveis. Com este propósito formularam-se as seguintes questões: (1) Quais os processos matemáticos utilizados pelos alunos ao realizarem tarefas recorrendo aos materiais manipuláveis? (2) Como é que os materiais manipuláveis promovem o desenvolvimento dos conhecimentos geométricos? (3) Qual o contributo dado pelos materiais manipuláveis no desenvolvimento de determinadas competências matemáticas nos alunos? (4) Qual é o desempenho matemático dos alunos ao trabalharem, cooperativamente, em tarefas com recurso a materiais manipuláveis? Tendo em vista os objectivos do estudo, analisou-se o trabalho de uma turma do sétimo ano de escolaridade em torno da realização de dez tarefas que compreendiam o uso de diferentes materiais manipuláveis e, dentro da turma, estudaram-se dois grupos em particular. A investigação segue uma metodologia qualitativa de natureza interpretativa. Os dados foram recolhidos pela investigadora através de registos escritos feitos a partir da observação directa realizada nas aulas, de registos escritos e audiovisuais do trabalho dos alunos, e de um questionário aplicado aos mesmos no final da experiência. A análise dos dados e a disposição das conclusões foram estabelecidas conforme o papel dos materiais manipuláveis no aperfeiçoamento de processos matemáticos, na aprendizagem de conhecimentos geométricos, no desenvolvimento de competências matemáticas e no desempenho matemático dos alunos. Das conclusões que emergem do estudo destacam-se: - A realização das tarefas por parte dos alunos, com recurso aos materiais manipuláveis, parece ter contribuído para o aperfeiçoamento de alguns processos matemáticos, o que parece evidenciar que desenvolveram a aptidão na sua apropriação e aplicabilidade. O facto de poderem tocar, mover ou manipular estes materiais, enfatizam a forma como aprendem Matemática valorizando os processos utilizados nas suas experiências de construção da aprendizagem. As tarefas cujo enunciado apelou directamente à investigação e à descoberta foram aquelas que desencadearam a utilização de um maior número de processos matemáticos. - Os vários conceitos geométricos foram apreendidos de forma significativa pelos alunos, pois a aprendizagem foi feita a partir da sua própria experiência. A utilização de materiais manipuláveis facilitou as interacções entre os alunos, originando mais momentos de partilha e discussão dos seus raciocínios e processos. - Os alunos trabalharam ao nível do desenvolvimento de competências principalmente, competência de pensamento matemático, pois contactaram e dominaram modos matemáticos de pensamento; competência de raciocínio matemático, que implica estar apto a raciocinar matematicamente; competência em instrumentos e acessórios, que implica estar apto a fazer uso e estabelecer relações com instrumentos e acessórios matemáticos; competência de comunicação que envolve estar apto a comunicar em, com e sobre a matemática e competência de cooperação. - Os dados parecem sugerir que houve uma evolução no desempenho dos alunos a vários níveis, nomeadamente: no trabalho cooperativo, no envolvimento da tarefa e nas interacções estabelecidas.

Relatório de estágio de educação física realizado na Escola Secundária Jaime Moniz

O presente relatório diz respeito ao estágio pedagógico realizado na escola secundária Jaime Moniz, no ano letivo 2011/2012, que corresponde à última etapa de formação do mestrado em ensino da educação física nos ensinos básico e secundário da universidade da Madeira. De acordo com as linhas programáticas do referido estágio, desenvolvemos várias atividades de caráter curricular (gestão do processo ensino-aprendizagem, assistências às aulas, caraterização de turma e estudo caso), de complemento curricular (atividades de intervenção no comunidade escolar e ação de extensão curricular) e de natureza científicopedagógica (ação individual e coletiva). Nesta ótica, este relatório final tem uma dupla função: relatar todas as atividades desenvolvidas, experiências vivenciadas e obstáculos ultrapassados durante o estágio, justificando cientificamente as opções tomadas e suas intencionalidades; e analisar/refletir sobre as transformações resultantes do estágio pedagógico, focando as capacidades desenvolvidas, as competências adquiridas, os contributos para o crescimento integral e desenvolvimento pessoal dos nossos alunos e de nós próprios. Numa lógica de integração e devidamente articuladas, todas as atividades do estágio pedagógico são relevantes. Mas, a prática letiva é, provavelmente, a parte mais importante do estágio pedagógico, essencialmente por dois aspetos: o professor estagiário é o sujeito e os alunos o objeto das transformações resultantes da prática letiva. Este dialeto constitui o cerne inegável da praxis do estágio pedagógico. É de tal forma importante que permite não só ao professor estagiário “aprender fazendo” e construir o seu próprio conhecimento, a partir de uma intervenção em contexto real com os desafios, problemas, decisões e soluções que daí advêm, mas também porque os alunos, enquanto futuros membros ativos numa sociedade, devem ser entendidos como seres humanos que necessitam de ser preparados para o futuro e integrados numa realidade social dinâmica, imprevisível, instável e até por vezes, cruel. Nesta linha de raciocínio duas reflexões impõem-se e são explanadas neste relatório. Sendo o professor estagiário o principal visado, o que é o estágio pedagógico em educação física e o que se pretende com ele? O que é a educação física e o que se pretende dela, uma vez que o aluno é o seu destinatário?

A aprendizagem da geometria: critérios de paralelismo e perpendicularidade entre planos, e entre retas e planos

O estudo aqui apresentado teve como objetivo compreender como é que os alunos aprendem Geometria. Para melhor estudar este problema, o mesmo foi dissecado em três questões: (a) Qual o papel dos materiais manipuláveis na estruturação do pensamento geométrico dos alunos? (b) Como comunicam as ideias geométricas? (c) Como é que os modelos concretos facilitam a passagem do concreto para o abstrato? Analisou-se o trabalho de uma turma do oitavo ano de escolaridade em torno da realização de duas tarefas que compreendiam a dedução dos critérios de paralelismo e perpendicularidade entre planos, e entre retas e planos, e a resolução de problemas realistas com base nesses critérios. A investigação realizada foi de natureza qualitativa e os dados foram recolhidos pela investigadora através de registos audiovisuais, com câmara e vídeo, do trabalho dos alunos. A análise dos dados fez-se com base nas questões acima apresentadas. Das conclusões que advêm do estudo destaca-se o papel essencial dos materiais manipuláveis, e dos modelos concretos, na construção e concetualização do conhecimento geométrico dos alunos. De referir ainda a importância das atividades de natureza exploratória e investigativa, as quais incidiram sobre problemas abertos, onde as descobertas feitas foram mais convincentes e surpreendentes e a explicação lógica das mesmas permitiram matematizar a realidade.

Aplicações da trigonometria do 3º Ciclo na astronomia

Este relatório foi escrito no âmbito da disciplina de Prática de Ensino Supervisionado, unidade curricular pertencente ao Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e Secundário, durante o ano letivo de 2012/2013. Neste relatório, de forma resumida, descrevo todo o trabalho desenvolvido por mim e pelo grupo de estágio aquando da nossa formação numa escola básica e secundária da Região Autónoma da Madeira. Apresento também um enquadramento teórico que, de forma breve, corrobora as minhas ideias sobre o ensino da Matemática e o conhecimento da Ciência. Acredito que esta disciplina pode ser ensinada e aprendida com recurso a estratégias que englobam outras Ciências. O propósito está em, não só aprender Matemática, mas também desenvolver o raciocínio, pensamento crítico e interesse pelas Ciências de um modo geral nos alunos. Desta forma, neste relatório poder-se-á encontrar três métodos de ensino-aprendizagem (visitas de estudo, atividades investigativas e resolução de problemas) que utilizei nas aulas de Matemática, com o intuito de os alunos aprenderem Trigonometria com a Astronomia. O gosto e interesse pela Matemática e pelas Ciências desvanecem a cada dia que passa em grande parte dos alunos e caso os professores não encontrem estratégias para inverter esta tendência, corremos o sério risco de estar a criar gerações cientificamente iliteradas. Assim, neste relatório procurei verificar como é que a Astronomia poderá contribuir para a aprendizagem da Matemática e como é que, no ensino desta disciplina, a Astronomia poderá contribuir para uma melhor compreensão do mundo por parte dos alunos.

Aprender geometria no 7º ano de escolaridade: diferenciação de estratégias na sala de aula

O trabalho aqui apresentado visa dar a conhecer aos leitores como os alunos aprendem Geometria a nível do 7.º ano de escolaridade (3.º Ciclo do Ensino Básico). O que me motivou à escolha deste tema foi compreender o que sentem os alunos quando se deparam com situações problemáticas que envolvem conhecimentos geométricos e como são capazes de as resolver. Por esta razão predispus-me a realizar uma investigação cujo propósito foi compreender como os alunos aprendem Geometria quando frequentam o 7.º ano de escolaridade. Para poder efetuar o estudo, desenvolver o problema proposto e orientar o trabalho de investigação, considerei três questões fundamentais: 1. Como é que a utilização de materiais manipuláveis contribui para a aprendizagem de conceitos e propriedades geométricas? 2. Como é que o uso de software Geométrico contribui para a construção do pensamento geométrico dos alunos? 3. Como é que a utilização de materiais manipuláveis e de software Geométrico contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e da comunicação matemática? O estudo foi desenvolvido, ao longo dos segundo e terceiro períodos, do corrente ano letivo, numa turma de 7.º ano de escolaridade de uma escola básica dos 2.º e 3.º ciclos do Concelho de Câmara de Lobos, Ilha da Madeira. Os dados recolhidos foram resultado da aplicação de atividades que envolvem materiais manipuláveis e o programa de Geometria Dinâmica: GeoGebra. Neste trabalho investigativo, utilizei o método qualitativo onde a recolha de dados foi baseada na observação direta dos alunos em contexto sala de aula (com recurso aos meios audiovisuais) e na entrega de resoluções das atividades propostas (em formato de papel e formato digital). A análise dos dados foi realizada de acordo com as questões previamente formuladas. As conclusões refletem o papel essencial do professor como principal mediador de todo o processo de ensino e aprendizagem do aluno, assim como, a importância da diversificação de estratégias na sala de aula de Matemática.

A avaliação da resolução de problemas

Esta investigação teve como objetivo, compreender como é que a avaliação da resolução de problemas contribui para melhorar a aprendizagem da resolução de problemas. A dificuldade na resolução de problemas é de facto um fenómeno mundial com uma extensão considerável em termos cronológicos. Tendo-se escrito muito acerca deste assunto, a verdade é que continua a colocar muitos pontos de interrogação, no que concerne aos métodos e estratégias para ultrapassar este problema. Combinar a avaliação com a resolução de problemas nem sempre é fácil. A resolução de problemas é muito importante para que se cinja a uma visão simplista, temos que perceber que esta se reveste de uma oportunidade para alargar e diversificar os instrumentos de avaliação. Para além disso, permite que os alunos com dificuldades se envolvam ativamente com os seus colegas, numa busca cooperativa pela solução do problema, beneficiando assim ambas as partes. No sentido de verificar o acima referido, os alunos foram colocados em grupos e foi-lhes proposto uma ficha de trabalho de problemas. Os problemas propostos foram os mais diversificados possíveis, no sentido de apelar aos vários tipos de raciocínio e estratégias. Para este estudo foi escolhida uma turma do 5º ano com alunos com bons resultados em matemática e outros com dificuldades. No que concerne à metodologia de investigação, optou-se pela qualitativa e descritiva, com uma pequena nuance quantitativa para consubstanciar o estudo.

Criatividade e stress docente no 2º e 3º Ciclo do Ensino Básico

A criatividade desempenha um papel importante e de elevado potencial na sociedade atual e refere-se usualmente à capacidade de realizar produções novas e originais adaptadas às limitações de uma situação ou problema. O stress é também de crucial importância. De acordo com a literatura, o stress representa um fenómeno significativo pela responsabilidade na sua afetação quer o nível do comportamento quer o nível do desenvolvimento dos profissionais e pessoas em geral, sendo que neste estudo foca-se o stress na prática docente. Nesta linha de raciocínio, a presente investigação vai ao encontro de tentar perceber e estudar estes dois construtos, a criatividade e o stress, num contexto específico: a Educação e, mais propriamente, junto de docentes. Como tal, procurou-se compreender como ambos os conceitos se relacionam. Esta investigação tem como apoio dois instrumentos: a Escala de Personalidade Criativa – EPC (Jesus, et al, 2011; Garcês, 2013) e o Questionário de Stress nos Professores — QSP (Gomes et al., 2006; Gomes, 2007). Participaram 84 indivíduos, 72.6% do sexo feminino e 27.4% do sexo masculino. Os resultados apontam para a não existência de uma relação entre a criatividade e o stress docente, assim como uma não relação significativa entre as variáveis demográficas recolhidas e a criatividade. Contudo encontrou-se significância entre o género, a classe etária, o grupo disciplinar, o tempo de serviço e os hobbies com o stress. Conclui-se com a discussão e reflexão sobre os resultados obtidos como também as limitações inerentes ao estudo e sugestões futuras.

Explorando as funções trigonométricas com o software geogebra e calculadora gráfica numa turma de 11º Ano

O presente relatório nasce a determinada altura do nosso percurso académico, na sequência de um trabalho efetuado no âmbito da Prática do Ensino Supervisionado do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Secundário da Universidade da Madeira, no ano letivo 2011/2012, e tem como objetivo analisar o papel das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) na aprendizagem da Matemática. As estratégias usadas no ensino foram apoiadas na aprendizagem pela descoberta e inspiradas nas práticas utilizadas do Modelo Pedagógico da Escola Moderna (MEM). Esta pedagogia tem como finalidade desenvolver nos alunos o prazer do saber e a sua autonomia nas atividades de investigação e procura também contribuir para a sua formação como cidadãos. Procura-se adotar as metodologias utilizadas no MEM e no Projeto Construindo o Êxito em Matemática (CEM) Programa de Formação Contínua de Professores de Matemática aos alunos de uma turma do 8.º Ano e do 11.º Ano e analisa-se as diferentes posturas dos mesmos face às diferentes oportunidades de aprendizagem propostas. Este estudo foi aplicado nas diversas unidades lecionadas ao longo do estágio, partindo das seguintes questões orientadoras: Qual a importância da utilização das TIC no ambiente real de sala de aula?; Como é que a utilização da calculadora científica e de software de geometria dinâmica contribuem para o desenvolvimento do raciocínio e da comunicação matemática?. Neste trabalho investigativo, utilizei o método qualitativo onde a recolha de dados foi baseada na observação direta dos alunos em contexto de sala de aula, assim, como nos registos efetuados ao longo das aulas no diário de bordo. Conclui-se que o processo de ensino-aprendizagem é construído constantemente, e para tal construção, é essencial a organização da escola como um todo, onde todos os sujeitos são parte integrante do processo de ensino-aprendizagem.

Atividades investigativas: utopia ou realidade na aprendizagem significativa da matemática?

A matemática, infelizmente e de uma forma errada, ainda é encarada por muitos como uma ciência que é acessível apenas para alguns “iluminados”. Segundo a frase célebre de Paulo Freire, “Não há saber mais ou saber menos há saberes diferentes” e é este tipo de filosofia que é necessário incutir nas nossas escolas e na sociedade. A meu ver, as atividades investigativas vão ao encontro do pensamento de Paulo Freire, uma vez que, neste tipo de atividades, deve ser dado enfoque aos diferentes percursos e saberes. A matemática deveria ser encarada como uma disciplina que educa para a vida – educação matemática. Neste sentido, ela deveria ser trabalhada em diferentes contextos para que os alunos alarguem o seu campo de visão e utilizem a matemática de uma forma crítica e em prol do seu bem-estar. O presente estudo visou compreender de que forma as atividades investigativas contribuem para a aprendizagem significativa da matemática e qual o seu contributo na formação de alunos autónomos e com competências para pensar e agir. A investigação incidiu sobre a prática matemática dos alunos quando realizavam atividades investigativas sobre a unidade temática das semelhanças, nomeadamente, sobre figuras semelhantes, razão de semelhança e critérios de semelhança de triângulos, onde foi utilizada uma metodologia qualitativa de natureza descritiva através da observação participante. O estudo foi efetuado numa turma do sétimo ano e teve por base três propostas de trabalho, sendo que a primeira foi mais de carácter introdutório. Nestas atividades, foram utilizados materiais manipuláveis e o Microsoft Excel no sentido de motivar os alunos e facilitar a compreensão dos conteúdos trabalhados. Os materiais utilizados despertaram um enorme interesse nos alunos, os quais começaram logo a explorá-los, manuseando-os livremente sem qualquer objetivo pré-definido, isto é, antes de se inteirarem do propósito da atividade. As atividades investigativas aliadas aos materiais manipuláveis são uma maisvalia na aprendizagem dos alunos uma vez que o conhecimento é construído de uma forma natural através de um processo espontâneo e dinâmico, consequentemente, significativo. Com a realização de atividades investigativas, são proporcionados aos alunos momentos de exploração e de investigação aleatórios, culminando numa aprendizagem de improviso, no sentido em que esta não obedece a regras pré-definidas e estimula e desenvolve o raciocínio dos alunos.

Relatório de estágio para obtenção do grau de mestre em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1º Ciclo do Ensino Básico

A ação educativa figurada neste relatório estabelece a sua centralidade na prática desenvolvida em contextos de Educação Pré-Escolar e de Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico, em duas escolas públicas da Região Autónoma da Madeira. Neste relatório, a dimensão teórica certifica um conjunto de questões científicas de exímia importância para a intervenção pedagógica efetuada, fundamentada numa perspetiva sócio humanística, que permite descortinar a escola como um lugar propício à criação de relações sociais por meio de aprendizagens mais ativas, autónomas e participativas. No âmbito da natureza metodológica, as práticas educativas confinaram na investigaçãoação o seu percurso de intervenção, com recurso a instrumentos e técnicas de recolha de dados, suscetíveis de traduzirem aquilo que na prática foi nitidamente impossível de assegurar apenas através da observação não intencional. Foi neste contexto metodológico que surgiram os princípios pedagógicos que sustentaram a prática nas valências de EPE e de 1.º CEB. Os estágios desenvolvidos requereram um enquadramento socioeducativo quer do meio, quer das salas e das crianças, traçando os seus interesses e necessidades como elementos fundamentais de intervenção. Assim, o estágio na EPE pretendeu a estimulação da criatividade e da imaginação por meio da literatura infantil, a descoberta do corpo e a transmissão de sentimentos. Por sua vez, a prática desenvolvida em contexto de 1.º CEB agregou nas principais áreas curriculares o seu ponto de partida para descobertas mais livres, exploratórias e autónomas centradas no campo da literacia, do raciocínio lógicomatemático e da descoberta científica.

On the iteration of Katsuno and Mendelzon update

In this dissertation we present a model for iteration of Katsuno and Mendelzon’s Update, inspired in the developments for iteration in AGM belief revision. We adapt Darwiche and Pearls’ postulates of iterated belief revision to update (as well as the independence postulate proposed in [BM06, JT07]) and show two families of such operators, based in natural [Bou96] and lexicographic revision [Nay94a, NPP03]. In all cases, we provide a possible worlds semantics of the models.