Compositional analysis of bivariate discrete probabilities

A joint distribution of two discrete random variables with finite support can be displayed as a two way table of probabilities adding to one. Assume that this table has n rows and m columns and all probabilities are non-null. This kind of table can be seen as an element in the simplex of n · m parts. In this context, the marginals are identified as compositional amalgams, conditionals (rows or columns) as subcompositions. Also, simplicial perturbation appears as Bayes theorem. However, the Euclidean elements of the Aitchison geometry of the simplex can also be translated into the table of probabilities: subspaces, orthogonal projections, distances. Two important questions are addressed: a) given a table of probabilities, which is the nearest independent table to the initial one? b) which is the largest orthogonal projection of a row onto a column? or, equivalently, which is the information in a row explained by a column, thus explaining the interaction? To answer these questions three orthogonal decompositions are presented: (1) by columns and a row-wise geometric marginal, (2) by rows and a columnwise geometric marginal, (3) by independent two-way tables and fully dependent tables representing row-column interaction. An important result is that the nearest independent table is the product of the two (row and column)-wise geometric marginal tables. A corollary is that, in an independent table, the geometric marginals conform with the traditional (arithmetic) marginals. These decompositions can be compared with standard log-linear models. Key words: balance, compositional data, simplex, Aitchison geometry, composition, orthonormal basis, arithmetic and geometric marginals, amalgam, dependence measure, contingency table

Spatial Analysis of Cell Composition Data

A version of Matheron’s discrete Gaussian model is applied to cell composition data. The examples are for map patterns of felsic metavolcanics in two different areas. Q-Q plots of the model for cell values representing proportion of 10 km x 10 km cell area underlain by this rock type are approximately linear, and the line of best fit can be used to estimate the parameters of the model. It is also shown that felsic metavolcanics in the Abitibi area of the Canadian Shield can be modeled as a fractal

On the use of principal components in contemporany population genetics: a case study

In human Population Genetics, routine applications of principal component techniques are often required. Population biologists make widespread use of certain discrete classifications of human samples into haplotypes, the monophyletic units of phylogenetic trees constructed from several single nucleotide bimorphisms hierarchically ordered. Compositional frequencies of the haplotypes are recorded within the different samples. Principal component techniques are then required as a dimension-reducing strategy to bring the dimension of the problem to a manageable level, say two, to allow for graphical analysis. Population biologists at large are not aware of the special features of compositional data and normally make use of the crude covariance of compositional relative frequencies to construct principal components. In this short note we present our experience with using traditional linear principal components or compositional principal components based on logratios, with reference to a specific dataset

Error and complexity of random walk Monte Carlo radiosity

The author studies the error and complexity of the discrete random walk Monte Carlo technique for radiosity, using both the shooting and gathering methods. The author shows that the shooting method exhibits a lower complexity than the gathering one, and under some constraints, it has a linear complexity. This is an improvement over a previous result that pointed to an O(n log n) complexity. The author gives and compares three unbiased estimators for each method, and obtains closed forms and bounds for their variances. The author also bounds the expected value of the mean square error (MSE). Some of the results obtained are also shown

Hilbert space on probability density functions with Aitchison geometry

Compositional data analysis motivated the introduction of a complete Euclidean structure in the simplex of D parts. This was based on the early work of J. Aitchison (1986) and completed recently when Aitchinson distance in the simplex was associated with an inner product and orthonormal bases were identified (Aitchison and others, 2002; Egozcue and others, 2003). A partition of the support of a random variable generates a composition by assigning the probability of each interval to a part of the composition. One can imagine that the partition can be refined and the probability density would represent a kind of continuous composition of probabilities in a simplex of infinitely many parts. This intuitive idea would lead to a Hilbert-space of probability densities by generalizing the Aitchison geometry for compositions in the simplex into the set probability densities

When zero doesn't mean it and other geomathematical mischief

There is almost not a case in exploration geology, where the studied data doesn’t includes below detection limits and/or zero values, and since most of the geological data responds to lognormal distributions, these “zero data” represent a mathematical challenge for the interpretation. We need to start by recognizing that there are zero values in geology. For example the amount of quartz in a foyaite (nepheline syenite) is zero, since quartz cannot co-exists with nepheline. Another common essential zero is a North azimuth, however we can always change that zero for the value of 360°. These are known as “Essential zeros”, but what can we do with “Rounded zeros” that are the result of below the detection limit of the equipment? Amalgamation, e.g. adding Na2O and K2O, as total alkalis is a solution, but sometimes we need to differentiate between a sodic and a potassic alteration. Pre-classification into groups requires a good knowledge of the distribution of the data and the geochemical characteristics of the groups which is not always available. Considering the zero values equal to the limit of detection of the used equipment will generate spurious distributions, especially in ternary diagrams. Same situation will occur if we replace the zero values by a small amount using non-parametric or parametric techniques (imputation). The method that we are proposing takes into consideration the well known relationships between some elements. For example, in copper porphyry deposits, there is always a good direct correlation between the copper values and the molybdenum ones, but while copper will always be above the limit of detection, many of the molybdenum values will be “rounded zeros”. So, we will take the lower quartile of the real molybdenum values and establish a regression equation with copper, and then we will estimate the “rounded” zero values of molybdenum by their corresponding copper values. The method could be applied to any type of data, provided we establish first their correlation dependency. One of the main advantages of this method is that we do not obtain a fixed value for the “rounded zeros”, but one that depends on the value of the other variable. Key words: compositional data analysis, treatment of zeros, essential zeros, rounded zeros, correlation dependency

La investigació sobre l'èxit i el fracàs escolar des la la perspectiva dels factors de risc. Implicacions per a la recerca i la pràctica educatives

La situació problemàtica de la qual partim en aquesta tesi és la constatació de l'existència d'unes dinàmiques escolars negatives -expressades amb males notes reiterades- difícils de modificar, que determinats infants inicien i desenvolupen al llarg de la seva escolarització i que els condueix a una situació de fracàs escolar. Les males notes són el senyal que alerta pares i educadors de la presència de problemes escolars en els alumnes i constitueixen la causa explícita que motiva la cerca de solucions. Sovint es busquen solucions fora de l'escola, la qual cosa suggereix que, malgrat els esforços realitzats, l'escola i el sistema educatiu han tingut dificultats per a ajudar els infants a millorar globalment els seus resultats escolars. D'una banda, l'escola troba dificultats per a identificar el mes aviat possible quins infants seran mes susceptibles de desenvolupar unes dinàmiques escolars negatives que els puguin conduir a una situació de fracàs escolar. D'altra banda, també hi ha dificultats per trobar i aplicar estratègies preventives d'intervenció educativa a l'aula, que resultin adequades per a prevenir el desenvolupament de dinàmiques escolars negatives en alguns infants. Partint de la situació problemàtica descrita, la finalitat de la tesi es obtenir informació teòrica , empírica sobre algunes variables que puguin resultar rellevants per a articular, des de l'aula escolar, intervencions educatives destinades a prevenir el desenvolupament de les dinàmiques escolars negatives. Des de la perspectiva de la prevenció, la rellevància de les variables hauria d'establir-se en funció de la seva utilitat per a: A) Identificar des de l'aula escolar situacions de més perill -de més risc- de desenvolupar aquestes dinàmiques negatives i, consegüentment, arribar a la situació de fracàs escolar . Això implica, per tant, que les variables han de permetre la identificació abans que la situació de fracàs escolar es produeixi . B) Intervenir educativament des de l'escola; per tant, cal que siguin variables sobre les quals l'escola pugui incidir. La modificabilitat de les variables ha de permetre que es puguin emprendre accions educatives, des de la mateixa aula escolar. Variables que resultin suficientment importants de cara a disminuir el perill o evitar el desenvolupament de dinàmiques negatives. Es a dir, que la seva modificació contribueixi a evitar que els infants arribin a la situació de fracàs escolar. Per assolir aquesta finalitat es realitzen un segut de passes en funció de les quals s'ha estructurat la tesi en dues parts: Un marc teòric i un estudi de casos. EI Marc teòric té dos objectius: 1. Definir la situació problemàtica. En el capítol primer del marc teòric de la tesi, s'exposen les dimensions d'aquesta situació problemàtica. La revisió bibliogràfica entorn del tema del fracàs escolar ens ajuda a emmarcar la qüestió de les dinàmiques escolars en el fenomen complex del fracàs i l'èxit escolar, i del rendiment. Aquestes aportacions teòriques juntament amb les aportacions de la recerca educativa en relació a l'estabilitat del rendiment al llarg dels cursos són la base per a definir la situació problemàtica. 2. Delimitar, des d'un punt de vista teòric, algunes variables rellevants per a la prevenció del desenvolupament de dinàmiques escolars negatives, conduents a la situació de fracàs escolar. La primera passa per a dur a terme aquesta delimitació teòrica, que es presenta al segon capítol, ha estat revisar les aportacions de les investigacions sobre variables que incideixen en el rendiment escolar, les quals s'han analitzat en funció de la seva rellevància per a la prevenció. Aquesta revisió ha permès constatar un seguit de problemes de caire terminològic, metodològic i sobre la repercussió d'aquesta recerca en la practica educativa que afecten directament la utilitat de les aportacions d'aquestes investigacions de cara a identificar variables rellevants per a la prevenció. De l'anàlisi dels resultats d'aquestes recerques es desprèn que: a) Hi ha moltes variables associades al rendiment escolar, algunes difícilment modificables mitjançant la intervenció educativa escolar. b) EI fet que una variable estigui associada al rendiment no implica que sigui rellevant per a la prevenció c) S'obté poca informació sobre variables que contribueixin a disminuir la probabilitat de fracàs escolar. En base a aquests resultats es constata que cal buscar una perspectiva d'anàlisi de les variables mes adequades a l'enfocament preventiu, perspectiva que ha d'orientar-se a l'estudi del risc de fracàs escolar. La segona passa que es duu a terme per arribar a una delimitació teòrica de les variables rellevants es l'estudi del concepte de risc i d'altres conceptes relacionats: signe de risc, marcador de risc, factor de risc, factor protector, població en risc, infant en situació de risc, així com la revisió d'estudis i recerques que s'han plantejat en aquesta línia. Aquest treball ha permès: a) Clarificar aquests conceptes i aplicar-los en l'àmbit educatiu, en referència al problema del fracàs escolar, estructurant un marc teòric en funció del qual plantejar una anàlisi de les variables associades al rendiment escolar. b) Concretar un model per a l'anàlisi, des de l'aula escolar, de les variables que incideixen en el risc de fracàs escolar. Aquest model, que es situa en la perspectiva de l'aula escolar i que pren en consideració el paper actiu que els estudiants tenen respecte al seu aprenentatge, consta de tres components: unes variables, les seves relacions i la funció que exerceixen en relació al risc de fracàs escolar. La conclusió a la qual s'arriba es que, des d'un punt de vista teòric, una variable serà rellevant per a articular intervencions educatives preventives des de l'escola si constitueix o bé un factor de risc, o be un factor protector o compensador del risc. La delimitació empírica de variables rellevants per a la prevenció del fracàs escolar -que constitueix l'objectiu de la segona part de la tesi- es duu a terme mitjançant un estudi de casos que es deriva del plantejament teòric elaborat. L'objectiu d'aquest estudi es identificar variables que han pogut constituir factors protectors en joves que es troben en situació de risc per circumstàncies sociofamiliars. Se seleccionen tres noies i dos nois que, malgrat trobar-se en situació de risc, han assolit un cert nivell d'èxit escolar. Basant-nos en el model s'ha recollit informació sobre característiques actitudinals dels estudiants, del seu procés d'autoaprenentatge i de l'ambient d'aprenentatge. S'utilitza un disseny qualitatiu d'estudi de casos, utilitzant entrevistes amb profunditat per a recollir informació, la qual s'analitza mitjançant tècniques d'anàlisi de continguts. L'estudi de cada un dels cinc casos i la seva posterior comparació ha permès identificar algunes variables que poden haver constituït factors protectors del risc de fracàs escolar. Entre elles podem citar 1. La consciència de la pròpia situació complexa i desfavorable que han viscut o estan vivint. 2. Tenir un projecte vital a mig o llarg termini, en el qual els estudis són concebuts com a una via per assolir-lo. 3. Ser autoresponsables dels aprenentatges. 4. Haver identificat models a seguir en altres persones. Del treball realitzat tant des d'una perspectiva teòrica com empírica i les conclusions a les quals s'ha arribat se'n desprenen implicacions per a la practica educativa, per a la recerca i per a la formació professional dels educadors i educadores socials. Pel que fa a les implicacions per a la practica educativa, es proposa el model com a base per a la identificació de situacions de risc i per al disseny d'intervencions educatives amb l'objectiu de prevenir el fracàs escolar. En aquest sentit, i en funció dels resultats obtinguts a l'estudi de casos, es proposen unes línies d'intervenció preventiva en casos de risc similars als que han estat objecte d'estudi, línies que poden prendre en consideració tant els/les mestres com els educadors/es. Pel que fa a les implicacions per a la investigació educativa, es deriven quatre línies de recerca: investigació sobre factors de risc, investigació sobre factors protectors, investigació sobre el potencial preventiu d'intervencions educatives dissenyades en base a factors de risc i factors protectors, l'investigació sobre com potenciar des de diferents àmbits (escola i vida quotidiana) els fadors protectors. Quant a les implicacions per a la formació professional dels educadors/es socials, els resultats de l'estudi de casos com a possibles aspectes a treballar per part dels educadors/es impliquen un treball en el qual aquests professionals han d'haver rebut formació sobre: 1. La relació educativa com a recurs per a la intervenció educativa professional. 2. La necessitat d'un treball coordinat interdisciplinari com a estratègia de treball professional. 3. EI coneixement de programes coherents i estratègies d'intervenció sobre factors protectors. 4. L'elaboració de programes educatius, de manera que els educadors/es puguin adaptar les intervencions a les necessitats educatives dels subjectes. 5. La intervenció educativa en famílies.