The Dirichlet distribution with respect to the Aitchison measure on the simplex - a first approach

The algebraic-geometric structure of the simplex, known as Aitchison geometry, is used to look at the Dirichlet family of distributions from a new perspective. A classical Dirichlet density function is expressed with respect to the Lebesgue measure on real space. We propose here to change this measure by the Aitchison measure on the simplex, and study some properties and characteristic measures of the resulting density

Hilbert space on probability density functions with Aitchison geometry

Compositional data analysis motivated the introduction of a complete Euclidean structure in the simplex of D parts. This was based on the early work of J. Aitchison (1986) and completed recently when Aitchinson distance in the simplex was associated with an inner product and orthonormal bases were identified (Aitchison and others, 2002; Egozcue and others, 2003). A partition of the support of a random variable generates a composition by assigning the probability of each interval to a part of the composition. One can imagine that the partition can be refined and the probability density would represent a kind of continuous composition of probabilities in a simplex of infinitely many parts. This intuitive idea would lead to a Hilbert-space of probability densities by generalizing the Aitchison geometry for compositions in the simplex into the set probability densities

Application of modal interval analysis to the simulation of the behaviour of dynamic systems with uncertain parameters

Els models matemàtics quantitatius són simplificacions de la realitat i per tant el comportament obtingut per simulació d'aquests models difereix dels reals. L'ús de models quantitatius complexes no és una solució perquè en la majoria dels casos hi ha alguna incertesa en el sistema real que no pot ser representada amb aquests models. Una forma de representar aquesta incertesa és mitjançant models qualitatius o semiqualitatius. Un model d'aquest tipus de fet representa un conjunt de models. La simulació del comportament de models quantitatius genera una trajectòria en el temps per a cada variable de sortida. Aquest no pot ser el resultat de la simulació d'un conjunt de models. Una forma de representar el comportament en aquest cas és mitjançant envolupants. L'envolupant exacta és complete, és a dir, inclou tots els possibles comportaments del model, i correcta, és a dir, tots els punts dins de l'envolupant pertanyen a la sortida de, com a mínim, una instància del model. La generació d'una envolupant així normalment és una tasca molt dura que es pot abordar, per exemple, mitjançant algorismes d'optimització global o comprovació de consistència. Per aquesta raó, en molts casos s'obtenen aproximacions a l'envolupant exacta. Una aproximació completa però no correcta a l'envolupant exacta és una envolupant sobredimensionada, mentre que una envolupant correcta però no completa és subdimensionada. Aquestes propietats s'han estudiat per diferents simuladors per a sistemes incerts.

A new distribution on the simplex containing the Dirichlet family

The Dirichlet family owes its privileged status within simplex distributions to easyness of interpretation and good mathematical properties. In particular, we recall fundamental properties for the analysis of compositional data such as closure under amalgamation and subcomposition. From a probabilistic point of view, it is characterised (uniquely) by a variety of independence relationships which makes it indisputably the reference model for expressing the non trivial idea of substantial independence for compositions. Indeed, its well known inadequacy as a general model for compositional data stems from such an independence structure together with the poorness of its parametrisation. In this paper a new class of distributions (called Flexible Dirichlet) capable of handling various dependence structures and containing the Dirichlet as a special case is presented. The new model exhibits a considerably richer parametrisation which, for example, allows to model the means and (part of) the variance-covariance matrix separately. Moreover, such a model preserves some good mathematical properties of the Dirichlet, i.e. closure under amalgamation and subcomposition with new parameters simply related to the parent composition parameters. Furthermore, the joint and conditional distributions of subcompositions and relative totals can be expressed as simple mixtures of two Flexible Dirichlet distributions. The basis generating the Flexible Dirichlet, though keeping compositional invariance, shows a dependence structure which allows various forms of partitional dependence to be contemplated by the model (e.g. non-neutrality, subcompositional dependence and subcompositional non-invariance), independence cases being identified by suitable parameter configurations. In particular, within this model substantial independence among subsets of components of the composition naturally occurs when the subsets have a Dirichlet distribution

Response of the benthic macroinvertebrate community to a point source in La Tordera stream (Catalonia, NE Spain)

Vam monitoritzar paràmetres físics i químics, macroinvertebrats bentònics, clorofil·la a, productors primaris i matèria orgànica durant un any (2001-2002) per examinar els efectes d'una font puntual sobre la composició taxonòmica, la estructura de la comunitat, l'organització funcional, la utilització de l'habitat i la estoquiometria al riu la Tordera (Catalunya). Aigües avall de la font puntual, concentració de nutrients, cabal i conductivitat eren majors que al tram d'aigües amunt, mentre que oxigen dissolt era menor. La densitat de macroinvertebrats era més elevada al tram d'aigües avall però la biomassa era similar als dos trams. La riquesa taxonòmica al tram de dalt era un 20% més alt que al tram de baix. Els anàlisis d'ordenació separen clarament els dos trams en el primer eix, mentre que els dos trams presentaven una pauta temporal similar en el segon eix. La similaritat entre els dos trams en composició taxonòmica, densitats i biomasses després de les crescudes d'abril i maig de 2002, indiquen que les pertorbacions del cabal poden actuar com a un mecanisme de reinici de la comunitat bentònica i jugar un paper important per a la restauració d'ecosistemes fluvials. Els dos trams presentaven una biomassa de perifiton, plantes vasculars, CPOM i FPOM similars, mentre que clorofil·la a, algues filamentoses, molses i SPOM eren majors al tram d'aigües avall. La densitat relativa de trituradors era menor sota la font puntual mentre que col·lectors i filtradors van ser afavorits. La biomassa relativa de trituradors també era menor sota la font puntual, però la biomassa de col·lectors i depredadors va augmentar. Les relacions entre densitat de grups tròfics i els seus recursos eren rarament significatives. La relació s'explicava millor amb la biomassa de macroinvertebrats. Els dos trams compartien la mateixa relació per raspadors, col·lectors i filtradors però no per trituradors i depredadors. La densitat i la biomassa de macroinvertebrats es trobaven positivament correlacionades amb la quantitat de recursos tròfics i la complexitat d'habitat, mentre que la riquesa taxonòmica es trobava negativament relacionada amb paràmetres hidràulics. La influència dels substrats inorgànics prenia menor rellevància per a la distribució dels macroinvertebrats. Els anàlisis d'ordenació mostren com les variables del microhabitat de major rellevància eren CPOM, clorofil·la a, algues filamentoses i velocitat. La cobertura de sorra només era significativa per al tram d'aigües amunt i les molses, al d'aigües avall. El número de correlacions significatives entre macroinvertebrats i les variables del microhabitat era més elevat per al tram de dalt que per al de baix, bàsicament per diferències en composició taxonòmica. La biomassa de macroinvertebrats va aportar una informació semblant a la obtinguda per la densitat. Perifiton i molses tenien uns continguts de nutrients similars en els dos trams. Els %C i %N d'algues filamentoses també eren similars en els dos trams però el %P sota la font puntual era el doble que al tram de dalt. Les relacions estoquiomètriques en CPOM, FPOM i SPOM eren considerablement menors sota la font puntual. Els continguts elementals i relacions van ser molt variables entre taxons de macroinvertebrats però no van resultar significativament diferents entre els dos trams. Dípters, tricòpters i efemeròpters presentaven una estoquiometria similar, mentre que el C i el N eren inferiors en moluscs i el P en coleòpters. Els depredadors presentaven un contingut en C i N més elevat que la resta de grups tròfics, mentre que el P era major en els filtradors. Els desequilibris elementals entre consumidors i recursos eren menors en el tram d'aigües avall. A la tardor i l'hivern la major font de nutrients va ser la BOM mentre que a la primavera i a l'estiu va ser el perifiton.

Interactions between grain size and composition of sediments: two examples

Two contrasting case studies of sediment and detrital mineral composition are investigated in order to outline interactions between chemical composition and grain size. Modern glacial sediments exhibit a strong dependence of the two parameters due to the preferential enrichment of mafic minerals, especially biotite, in the fine-grained fractions. On the other hand, the composition of detrital heavy minerals (here: rutile) appears to be not systematically related to grain-size, but is strongly controlled by location, i.e. the petrology of the source rocks of detrital grains. This supports the use of rutile as a well-suited tracer mineral for provenance studies. The results further suggest that (i) interpretations derived from whole-rock sediment geochemistry should be flanked by grain-size observations, and (ii) a more sound statistical evaluation of these interactions require the development of new tailor-made statistical tools to deal with such so-called two-way compositions