Hardy-Weinberg Equilibrium and the Ternary Plot

The Hardy-Weinberg law, formulated about 100 years ago, states that under certain assumptions, the three genotypes AA, AB and BB at a bi-allelic locus are expected to occur in the proportions p2, 2pq, and q2 respectively, where p is the allele frequency of A, and q = 1-p. There are many statistical tests being used to check whether empirical marker data obeys the Hardy-Weinberg principle. Among these are the classical xi-square test (with or without continuity correction), the likelihood ratio test, Fisher's Exact test, and exact tests in combination with Monte Carlo and Markov Chain algorithms. Tests for Hardy-Weinberg equilibrium (HWE) are numerical in nature, requiring the computation of a test statistic and a p-value. There is however, ample space for the use of graphics in HWE tests, in particular for the ternary plot. Nowadays, many genetical studies are using genetical markers known as Single Nucleotide Polymorphisms (SNPs). SNP data comes in the form of counts, but from the counts one typically computes genotype frequencies and allele frequencies. These frequencies satisfy the unit-sum constraint, and their analysis therefore falls within the realm of compositional data analysis (Aitchison, 1986). SNPs are usually bi-allelic, which implies that the genotype frequencies can be adequately represented in a ternary plot. Compositions that are in exact HWE describe a parabola in the ternary plot. Compositions for which HWE cannot be rejected in a statistical test are typically “close" to the parabola, whereas compositions that differ significantly from HWE are “far". By rewriting the statistics used to test for HWE in terms of heterozygote frequencies, acceptance regions for HWE can be obtained that can be depicted in the ternary plot. This way, compositions can be tested for HWE purely on the basis of their position in the ternary plot (Graffelman & Morales, 2008). This leads to nice graphical representations where large numbers of SNPs can be tested for HWE in a single graph. Several examples of graphical tests for HWE (implemented in R software), will be shown, using SNP data from different human populations

Optimització del procés productiu d'engreixament porcí. Un enfocament operatiu

Aquest treball de tesis doctoral tracta de la Optimització de la fase d'engreix. L'objectiu és determinar les condicions d'enviament a sacrifici d'un lot d'animals des d'un punt de vista operatiu. En primer lloc es fa una anàlisi de la cadena de producció de carn porcina, resaltant-ne els canvis del sector que han influit en la fase d'engreixament. La conclusió d'aquesta anàlisi és el plantejament d'un model per prendre decisions degut al canvi de paradigma que s'evidencia: els productors de porcs en la fase d'engreix cal que orientin la gestió del paràmetres operatius i els productes finals a les exigències i gustos dels seus clients. Seguidament, es presenta el sistema d'ajut a la decisió basat en un model biològic que explica l'evolució de les variables productives (pes i consum de pinso). A més també prediu les variables associades a característiques de la canal, com són el percentatge de magre, la proporció de peces, el rendiment i el greix intramuscular. El sistema té en compte tres mercats de carn porcina alternatius: 1) basat en pes viu, 2) basat en mèrits de la canal (percentatge de magre) y 3) basat en el valor de les peces nobles resultants de l'especejament de l'animal. L'objetiu del sistema és determinar la millor estratègia d'enviament per a cadascun dels genotips que s'han estudiat (alternatives de producció) depenent del mercat on seran enviats els animals. A més, també ha estat estudiat l'efecte de la variabilitat biològica dels animals dins del lot sobre els valors econòmics. També s'ha considerat l'opció d'enviar els animals en diverses etapes per tal d'homogeneitzar el pes dels animals enviats. Aquest problema ha estat estudiat seguint l'enfocament de programació dinàmica. En els darrers capítols es presenten quatre aplicacions del model que s'han desenvolupat al llarg del treball. En un futur els mercats de carn porcina tindran la tendència a ser més definits, per tant la producció en la fase d'engreixament porcí hauria d'integrar i tenir en compte les demandes i les exigències del consumidor.