Hilbert space on probability density functions with Aitchison geometry

Compositional data analysis motivated the introduction of a complete Euclidean structure in the simplex of D parts. This was based on the early work of J. Aitchison (1986) and completed recently when Aitchinson distance in the simplex was associated with an inner product and orthonormal bases were identified (Aitchison and others, 2002; Egozcue and others, 2003). A partition of the support of a random variable generates a composition by assigning the probability of each interval to a part of the composition. One can imagine that the partition can be refined and the probability density would represent a kind of continuous composition of probabilities in a simplex of infinitely many parts. This intuitive idea would lead to a Hilbert-space of probability densities by generalizing the Aitchison geometry for compositions in the simplex into the set probability densities

Aitchison Geometry for Probability and Likelihood as a new approach to mathematical statistics

The Aitchison vector space structure for the simplex is generalized to a Hilbert space structure A2(P) for distributions and likelihoods on arbitrary spaces. Central notations of statistics, such as Information or Likelihood, can be identified in the algebraical structure of A2(P) and their corresponding notions in compositional data analysis, such as Aitchison distance or centered log ratio transform. In this way very elaborated aspects of mathematical statistics can be understood easily in the light of a simple vector space structure and of compositional data analysis. E.g. combination of statistical information such as Bayesian updating, combination of likelihood and robust M-estimation functions are simple additions/ perturbations in A2(Pprior). Weighting observations corresponds to a weighted addition of the corresponding evidence. Likelihood based statistics for general exponential families turns out to have a particularly easy interpretation in terms of A2(P). Regular exponential families form finite dimensional linear subspaces of A2(P) and they correspond to finite dimensional subspaces formed by their posterior in the dual information space A2(Pprior). The Aitchison norm can identified with mean Fisher information. The closing constant itself is identified with a generalization of the cummulant function and shown to be Kullback Leiblers directed information. Fisher information is the local geometry of the manifold induced by the A2(P) derivative of the Kullback Leibler information and the space A2(P) can therefore be seen as the tangential geometry of statistical inference at the distribution P. The discussion of A2(P) valued random variables, such as estimation functions or likelihoods, give a further interpretation of Fisher information as the expected squared norm of evidence and a scale free understanding of unbiased reasoning

Vertebrates Limb Geometry in the Simplex space

A novel metric comparison of the appendicular skeleton (fore and hind limb) of different vertebrates using the Compositional Data Analysis (CDA) methodological approach it’s presented. 355 specimens belonging in various taxa of Dinosauria (Sauropodomorpha, Theropoda, Ornithischia and Aves) and Mammalia (Prothotheria, Metatheria and Eutheria) were analyzed with CDA. A special focus has been put on Sauropodomorpha dinosaurs and the Aitchinson distance has been used as a measure of disparity in limb elements proportions to infer some aspects of functional morphology

Eigen Faces: Detecció, Classificació/Reconeixement de cares

En aquest projecte es pretén utilitzar mètodes coneguts com ara Viola&Jones (detecció) i EigenFaces (reconeixement) per a detectar i reconèixer cares dintre d’imatges de vídeo. Per a aconseguir aquesta tasca cal partir d’un conjunt de dades d’entrenament per a cada un dels mètodes (base de dades formada per imatges i anotacions manuals). A partir d’aquí, l’aplicació, ha de ser capaç de detectar cares en noves imatges i reconèixer-les (identificar de quina cara es tracta)

Classificació i reconeixement de vídeo

El principal objectiu d’aquest projecte és aconseguir classificar diferents vídeos d’esports segons la seva categoria. Els cercadors de text creen un vocabulari segons el significat de les diferents paraules per tal de poder identificar un document. En aquest projecte es va fer el mateix però mitjançant paraules visuals. Per exemple, es van intentar englobar com a una única paraula les diferents rodes que apareixien en els cotxes de rally. A partir de la freqüència amb què apareixien les paraules dels diferents grups dins d’una imatge vàrem crear histogrames de vocabulari que ens permetien tenir una descripció de la imatge. Per classificar un vídeo es van utilitzar els histogrames que descrivien els seus fotogrames. Com que cada histograma es podia considerar un vector de valors enters vàrem optar per utilitzar una màquina classificadora de vectors: una Support vector machine o SVM

Estudi de mètodes de classificació borrosa i la seva aplicació a l'agrupació de zones geogràfiques en base a diverses característiques incertes

Aquesta memòria està estructurada en sis capítols amb l'objectiu final de fonamentar i desenvolupar les eines matemàtiques necessàries per a la classificació de conjunts de subconjunts borrosos. El nucli teòric del treball el formen els capítols 3, 4 i 5; els dos primers són dos capítols de caire més general, i l'últim és una aplicació dels anteriors a la classificació dels països de la Unió Europea en funció de determinades característiques borroses. En el capítol 1 s'analitzen les diferents connectives borroses posant una especial atenció en aquells aspectes que en altres capítols tindran una aplicació específica. És per aquest motiu que s'estudien les ordenacions de famílies de t-normes, donada la seva importància en la transitivitat de les relacions borroses. La verificació del principi del terç exclòs és necessària per assegurar que un conjunt significatiu de mesures borroses generalitzades, introduïdes en el capítol 3, siguin reflexives. Estudiem per a quines t-normes es verifica aquesta propietat i introduïm un nou conjunt de t-normes que verifiquen aquest principi. En el capítol 2 es fa un recorregut general per les relacions borroses centrant-nos en l'estudi de la clausura transitiva per a qualsevol t-norma, el càlcul de la qual és en molts casos fonamental per portar a terme el procés de classificació. Al final del capítol s'exposa un procediment pràctic per al càlcul d'una relació borrosa amb l'ajuda d'experts i de sèries estadístiques. El capítol 3 és un monogràfic sobre mesures borroses. El primer objectiu és relacionar les mesures (o distàncies) usualment utilitzades en les aplicacions borroses amb les mesures conjuntistes crisp. Es tracta d'un enfocament diferent del tradicional enfocament geomètric. El principal resultat és la introducció d'una família parametritzada de mesures que verifiquen unes propietats de caràcter conjuntista prou satisfactòries. L'estudi de la verificació del principi del terç exclòs té aquí la seva aplicació sobre la reflexivitat d'aquestes mesures, que són estudiades amb una certa profunditat en alguns casos particulars. El capítol 4 és, d'entrada, un repàs dels principals resultats i mètodes borrosos per a la classificació dels elements d'un mateix conjunt de subconjunts borrosos. És aquí on s'apliquen els resultats sobre les ordenacions de les famílies de t-normes i t-conormes estudiades en el capítol 1. S'introdueix un nou mètode de clusterització, canviant la matriu de la relació borrosa cada vegada que s'obté un nou clúster. Aquest mètode permet homogeneïtzar la metodologia del càlcul de la relació borrosa amb el mètode de clusterització. El capítol 5 tracta sobre l'agrupació d'objectes de diferent naturalesa; és a dir, subconjunts borrosos que pertanyen a diferents conjunts. Aquesta teoria ja ha estat desenvolupada en el cas binari; aquí, el que es presenta és la seva generalització al cas n-ari. Més endavant s'estudien certs aspectes de les projeccions de la relació sobre un cert espai i el recíproc, l'estudi de cilindres de relacions predeterminades. Una aplicació sobre l'agrupació de les comarques gironines en funció de certes variables borroses es presenta al final del capítol. L'últim capítol és eminentment pràctic, ja que s'aplica allò estudiat principalment en els capítols 3 i 4 a la classificació dels països de la Unió Europea en funció de determinades característiques borroses. Per tal de fer previsions per a anys venidors s'han utilitzat sèries temporals i xarxes neuronals. S'han emprat diverses mesures i mètodes de clusterització per tal de poder comparar els diversos dendogrames que resulten del procés de clusterització. Finalment, als annexos es poden consultar les sèries estadístiques utilitzades, la seva extrapolació, els càlculs per a la construcció de les matrius de les relacions borroses, les matrius de mesura i les seves clausures.

Texture recognition under varying imaging geometries

La visió és probablement el nostre sentit més dominant a partir del qual derivem la majoria d'informació del món que ens envolta. A través de la visió podem percebre com són les coses, on són i com es mouen. En les imatges que percebem amb el nostre sistema de visió podem extreure'n característiques com el color, la textura i la forma, i gràcies a aquesta informació som capaços de reconèixer objectes fins i tot quan s'observen sota unes condicions totalment diferents. Per exemple, som capaços de distingir un mateix objecte si l'observem des de diferents punts de vista, distància, condicions d'il·luminació, etc. La Visió per Computador intenta emular el sistema de visió humà mitjançant un sistema de captura d'imatges, un ordinador, i un conjunt de programes. L'objectiu desitjat no és altre que desenvolupar un sistema que pugui entendre una imatge d'una manera similar com ho realitzaria una persona. Aquesta tesi es centra en l'anàlisi de la textura per tal de realitzar el reconeixement de superfícies. La motivació principal és resoldre el problema de la classificació de superfícies texturades quan han estat capturades sota diferents condicions, com ara distància de la càmera o direcció de la il·luminació. D'aquesta forma s'aconsegueix reduir els errors de classificació provocats per aquests canvis en les condicions de captura. En aquest treball es presenta detalladament un sistema de reconeixement de textures que ens permet classificar imatges de diferents superfícies capturades en diferents condicions. El sistema proposat es basa en un model 3D de la superfície (que inclou informació de color i forma) obtingut mitjançant la tècnica coneguda com a 4-Source Colour Photometric Stereo (CPS). Aquesta informació és utilitzada posteriorment per un mètode de predicció de textures amb l'objectiu de generar noves imatges 2D de les textures sota unes noves condicions. Aquestes imatges virtuals que es generen seran la base del nostre sistema de reconeixement, ja que seran utilitzades com a models de referència per al nostre classificador de textures. El sistema de reconeixement proposat combina les Matrius de Co-ocurrència per a l'extracció de característiques de textura, amb la utilització del Classificador del veí més proper. Aquest classificador ens permet al mateix temps aproximar la direcció d'il·luminació present en les imatges que s'utilitzen per testejar el sistema de reconeixement. És a dir, serem capaços de predir l'angle d'il·luminació sota el qual han estat capturades les imatges de test. Els resultats obtinguts en els diferents experiments que s'han realitzat demostren la viabilitat del sistema de predicció de textures, així com del sistema de reconeixement.