Dos soluciones ingeniosas al problema de la duplicación del cubo.

Se exponen dos métodos que conducen a dar solución a la petición que el dios Apolo hizo a los atenienses: construir un altar doble de forma cúbica; teniendo en cuenta que sólo se utilizaban dos instrumentos: la regla y el compás.

Radiografía del tetraedro regular.

Debido a que dentro de los programas de Matemáticas de Bachillerato no se incluyen unidades didácticas dedicadas al estudio de la Geometría Elemental, se desarrollan aquí una serie de ideas para la didáctica de las Matemáticas destinada a los alumnos de BUP.

Temas matemáticos de ayer : la circunferencia de Feuerbach o de los nueve puntos.

Se exponen tres casos matemáticos cuyo objetivo es que no desaparezcan estos temas con el paso del tiempo y que se basan en la Geometría Elemental.

El bachiller que llega a la universidad : pequeño chequeo matemático.

Se ejemplifica el panorama de los estudiantes que llegan a su primer curso de universidad, casi todos con una pésima expresión verbal y escrita, con falta de conocimientos básicos, con constantes divagaciones y que son incapaces de concretar en sus respuestas. Se hace, pues, imprescindible una enseñanza más práctica y para lo cual se ha implementado una asignatura piloto de geometría en la universidad de Madrid, tipo laboratorio, para intentar rellenar los huecos de conocimientos básicos que tienen los alumnos de matemáticas.

Aplicación de las calculadoras programables para el estudio de la posición relativa de dos rectas en el espacio afín : introducción de los conceptos de matriz definida positiva y norma.

Fue un trabajo elegido por alumnos para el estudio de la posición relativa de dos rectas con un ordenador de bolsillo. Sabemos que si estamos en un ordenador con pantalla nos puede aparecer al introducir los datos de dos rectas, por ejemplo se cortan según un punto o bien son paralelas, etcétera, lo que es evidentes, es que esto no es posible en una calculadora, pues no hay caracteres alfabéticos. Por ello, primer paso reducir a números cada uno de los casos. El trabajo de las alumnas era más problemático porque iban a desarrollar el tema matemático, de forma que luego realizasen la programación. Para entrar en ella, era preciso realizar el esquema preprogramación, llamado organigrama. En un seminario de COU sería interesante que tras la discusión y resolución de un sistema lineal del mismo número de ecuaciones que de incógnitas, les hiciésemos ver a los alumnos que la resolución directa no es la más idónea para un ordenador. Pero al no tener ordenador podemos sustituirlo por una calculadora programada. La programación directa de dos ecuaciones y dos incógnitas y tres y tres, resulta asequible, pues los determinantes se pueden calcular directamente. Pero de cuatro en adelante dificultad y cuanto mayor sea el número de incógnitas, la dificultad mayor. De ahí, que se haya recurrido a métodos de solución interactivos.

La educación en Roma.

La educación en Roma, como en cualquier sistema educativo, estuvo condicionada por una serie de factores económicos, políticos e ideológicos, experimentando cambios a través de las épocas. Al principio, estuvo dominada por una aristocracia rentista. Así, la educación fue un código de vida nobiliaria en el respeto a la tradición, primero respecto a los gens y después a la familia y en tercer lugar, el respeto a los ritos tradicionales. En el siglo III antes de Cristo la educación sufre un cambio. Tras conquistar Grecia la cultura romana comienza a helenizarse. El ideal que se va imponiendo es el orador. Surgido en la democracia ateniense, dotaba al que se dedicara a estos estudios de amplios conocimientos: matemáticas, geografía, geometría, astronomía, música, arte, lengua, mitología, literatura, derecho e historia. Se trataba de que el orador tuviera recursos para hablar de cualquier tema propuesto, y al mismo tiempo hablar bien. Desde el siglo II antes de Cristo la aristocracia romana dio a sus hijos una educación griega, a través de la enseñanza privada con clases a domicilio de numerosos esclavos griegos, que eran muy cotizados en el mundo y muy rentables. También aparecieron escuelas públicas, pero no estatales, una especie de academias donde los libertos trabajaban por cuenta propia. Poco a poco empiezan a abrirse escuelas en lengua latina, paralelas a las griegas. Escuelas primarias, secundarias y superiores. En las primeras se enseña a leer, a escribir y el cálculo; en las segundas, una cultura general y en las terceras, la técnica de la retórica. Pero hasta la época de Augusto la enseñanza en latín difícilmente puede competir con la griega. Así, al superponerse los dos tipos de enseñanza la educación romana se extiende a las provincias, creándose una red de escuelas a lo largo del Mediterráneo. Finalmente la autoridad se acaba extendiendo a los métodos como a las materias. A fines del siglo II de nuestra era preocupación por los métodos pedagógicos. El griego retrocede ante el avance de la lengua de la romanización. Las escuelas públicas jamás fueron inspeccionadas por el Estado y siempre favorecidas por los emperadores. La cultura pagana del bajo imperio acaba convirtiéndose en una preparación de escribas y funcionarios, ya que la burocracia se ha desarrollado considerablemente.

Introducción geométrica de los números reales.

Hemos postulado que existe un conjunto R, a cuyos elementos llamamos números reales, con unas operaciones internas a las que llamamos suma y producto y con una relación de orden, en las que R constituye un cuerpo conmutativo, totalmente ordenado arquimediano y completo; dentro de los reales tenemos a los números Racionales(Q) e Irracionales enteros, dentro de los racionales tenemos los enteros (Z) y los fraccionarios, los primeros son el subconjunto de números enteros formado por la unión del conjunto N, constituido por los números naturales enteros positivos y negativos y los fraccionarios.

Tratamiento matricial de la optica geométrica : I determinación de los elementos básicos de la teoría.

La teoría matricial de la óptica puede aplicarse para obtener y analizar las imágenes producidas por sistemas ópticos centrados (SOC) desde un punto de vista geométrico, asociado. Una matriz al sistema óptico, que llamamos matriz característica, de 2X2 y cuyos elementos dependen de las características geométricas como de las ópticas de los medios separados por superficies-frontera o superficies de discontinuidad que se consideran ideales delgadas. Así, la matriz caracteriza todo elemento perteneciente al espacio-objeto en un elemento del espacio-imagen, siendo dicha transformación biunívoca al tener en cuenta el principio de retorno de luz. Para obtener la matriz característica tendremos que representar en forma matricial ciertas leyes de la luz (propagación rectilínea y la refracción de la luz) Dichas matrices se llamarán matriz de traslación y matriz de refracción.

Conceptos básicos sobre Topologías Moleculares.

La distribución espacial de los átomos en una molécula está restringida a unos pocos modelos muy simples. El punto de partida para las estructuras moleculares es la teoría sencilla de Lewis del enlace covalente. Su teoría es de distribución de pares de electrones, ya que a partir de esta distribución se puede explicar la geometría de gran número de moléculas covalentes. Reglas que permiten determinar la distribución de los pares de electrones en gran número de moléculas covalentes. Primera regla: nos permite determinar el número total de pares compartidos de una molécula o número total de enlaces; Segunda Regla: nos permite determinar la existencia de enlaces múltiples en las moléculas, dobles y triples. Los enlaces múltiples surgen para subsanar la deficiencia de dos electrones y uno triple la de cuatro electrones para que todos los enlaces de la molécula fuesen simples (nen) De la diferencia de este número y el número de electrones de valencia (nev) obtenemos la deficiencia electrónica, si existe y de ella el número de enlaces múltiples de la molécula. Deficiencia electrónica es igual a nen-nev. Si esta diferencia es igual a 0, todos los enlaces serán sencillos, si es igual a 4 la diferncia podrá ser subsanada por dos enlaces dobles o uno triple, si es igual a 6, podría ser suplida por tres enlaces dobles o por un enlace doble y uno triple; Tercera Regla: permite determinar el esqueleto de la molécula; Cuarta Regla: una vez calculados el número de pares de enlaces y determinado el esqueleto de la molécula esta regla es una simple aplicación de la regla del gas inerte o del octeto; Quinta Regla: si el número de electrones necesarios es menor que el número de electrones de valencia la molécula no cumple la regla del octeto y el exceso de pares debe disponerse en el átomo central; Sexta Regla: permite la selección de la estructura o estructuras más correctas.

Didáctica de los determinantes en el bachillerato.

Se estudia la didáctica de los determinantes en relación con figuras geométricas. Está dirigido al nivel de COU. Se comienza con una introducción a los determinantes a partir de las propiedades elementales, fácilmente observables en las figuras del área de un paralelogramo y del volumen de un paralepípedo, en dos y en tres dimensiones. A continuación, y a partir de estas propiedades, se introduce, de una manera axiomática, la definición de determinante, como una generalización para el caso n- dimensional. Todas las conclusiones se comprueban mediante demostraciones matemáticas.

La enseñanza de las matemáticas.

Se analiza la enseñanza de la materia de matemáticas a nivel de bachillerato en España. Se comienza con la enseñanza en los años cincuenta, cuando se considera que la enseñanza matemática en nuestro país parecía razonablemente sana. La Geometría ocupaba un lugar dominante, y el cálculo infinitesimal estaba bien representado. En definitiva, la información matemática general de nuestros estudiantes era incluso superior a la de muchos otros países de Europa. Pero en la década de los sesenta empieza a vislumbrarse un cambio de rumbo. EI movimiento fue bastante general. Comenzó por USA y Francia. A algunos países con una fuerte tradición de didáctica matemática, como Rusia y Hungría, nunca llegó tan radicalmente. A España llegó con algún retraso. La nueva matemática se denominó Matemática Moderna o Nueva Matemática. Algunas de sus ideas directrices fueron: que los niños entiendan desde el principio todo lo que están haciendo, por lo cual se eliminaron tablas y memorizaciones. Las consecuencias, plasmadas legalmente en nuestros programas, han sido rotundas. A nuestros niños se les enseña las operaciones con conjuntos casi antes de que sepan hablar, lo cual ha fracasado estrepitosamente. En la mayor parte de los países donde el sistema se ha implantado, el movimiento devuelta comenzó prácticamente de inmediato. En España aún se están haciendo los últimos esfuerzos por ponerlo en práctica. Ante esta problemática se plantea que hacer. Se señala que el mal ya está hecho y sus consecuencias las seguiremos sufriendo por algún tiempo, y que la corrección de rumbo de los organismos oficiales no suele ser un proceso rápido. Pero se considera que se puede tratar de catalizar la superación de esta etapa, lo que se va realizando ya con éxito en otros países. Y mientras llega la corrección oficial se sugiere que los profesores se informen suficientemente para saber lo que convendría subrayar y soslayar en nuestros programas y textos. Que piensen que la abstracción anticipada y el rigor prematuro, aparte de ser inútiles y perjudiciales, conducirán necesariamente al hastío.

El teorema de Euler a partir de la teoría de grafos.

Se estudia la teoría de grafos en relación con el teorema de Euler. La teoría de grafos se refiere a la teoría de conjuntos relativa a las relaciones binarias de un conjunto numerable consigo mismo. Esta teoría posee un vasto campo de aplicaciones en Física, Economía, Teoría de la Información, Programación Lineal, Transportas, Psicología, e incluso en ciertos dominios del arte. Se pretende realizar un trabajo que sirva como seminario optativo para los alumnos de COU, que presente a los alumnos un teorema clásico de geometría mediante la teoría de grafos, un aspecto bastante olvidado en los programas. Se utilizan los métodos y el lenguaje de la teoría de grafos para demostrar el teorema de Euler, que liga caras, vértices y aristas de un poliedro regular. Para todo ello en primer lugar se sistematizan una serie de conceptos previos, se analizan las propiedades de distintos tipos de grafos, y por último, se realizan demostraciones.

Producto escalar y vectorial : plano y espacio euclídeos. El grupo equiforme en el plano.

Se presenta un estudio del plano y del espacio vectorial haciendo referencia a propiedades de tipo lineal, basadas en la estructura misma del espacio vectorial. Se estudian los problemas de incidencia o alineación de puntos y de intersecciones de rectas y planos y de paralelismo, y el único grupo de transformaciones, el de traslaciones. Se introducen las operaciones de suma de vectores, producto de vectores por números, y el producto escalar, que permite resolver los problemas de tipo métrico.

Didáctica matemática : definiciones geométricas incompletas.

Se presentan algunas definiciones como materia de trabajo en clase tomadas de los textos de Geometría de don Pedro Puig Adam. Se estudia el interés que manifiestan los alumnos cuando se les plantean ejercicios de reconstrucción de deducciones, igualdades incompletas, etc. Y en este caso, se aplica a una colección de definiciones donde se omiten ciertos vocablos para que se pueda establecer una conexión lógica para completarlas.

Programación lineal en la Enseñanza Media.

En diversos países se han realizado diferentes estudios y una reestructuración de los programas de ciencias del bachillerato para adaptarlos a la realidad existente experimentos, entre los problemas de investigación operativa y como más simples los de programación lineal, hay ejercicios lo suficientemente sencillos que pueden ser incluidos entre las cuestiones prácticas que se simultanean con el estudio de la geometría analítica de la línea recta La mayor parte de las decisiones diarias sobre cuestiones de carácter práctico se relacionan con variables o parámetros ligados por acotaciones o desigualdades: nuestro nivel de vida requiere unos ingresos no inferiores a una cifra. Esta cifra limita la cuantía de nuestro presupuesto familiar, dentro del que está la manutención, etcétera. Es cierto que gran parte de estos temas se resuelven con una estrategia dictada por la intuición, que si no cumple las condiciones óptimas satisface las exigencias vitales las ciencias sociales y la industria presentan frecuentemente problemas sobre variables ligadas de modos muy diversos. Con ello, lo único que se pretende es demostrar a los alumnos de bachillerato ejemplos cotidianos que se pueden resolver fácilmente.