Lagrangian-informed mixed integer programming reformulations

La programmation linéaire en nombres entiers est une approche robuste qui permet de résoudre rapidement de grandes instances de problèmes d'optimisation discrète. Toutefois, les problèmes gagnent constamment en complexité et imposent parfois de fortes limites sur le temps de calcul. Il devient alors nécessaire de développer des méthodes spécialisées afin de résoudre approximativement ces problèmes, tout en calculant des bornes sur leurs valeurs optimales afin de prouver la qualité des solutions obtenues. Nous proposons d'explorer une approche de reformulation en nombres entiers guidée par la relaxation lagrangienne. Après l'identification d'une forte relaxation lagrangienne, un processus systématique permet d'obtenir une seconde formulation en nombres entiers. Cette reformulation, plus compacte que celle de Dantzig et Wolfe, comporte exactement les mêmes solutions entières que la formulation initiale, mais en améliore la borne linéaire: elle devient égale à la borne lagrangienne. L'approche de reformulation permet d'unifier et de généraliser des formulations et des méthodes de borne connues. De plus, elle offre une manière simple d'obtenir des reformulations de moins grandes tailles en contrepartie de bornes plus faibles. Ces reformulations demeurent de grandes tailles. C'est pourquoi nous décrivons aussi des méthodes spécialisées pour en résoudre les relaxations linéaires. Finalement, nous appliquons l'approche de reformulation à deux problèmes de localisation. Cela nous mène à de nouvelles formulations pour ces problèmes; certaines sont de très grandes tailles, mais nos méthodes de résolution spécialisées les rendent pratiques.

Some Applications of Markov Additive Processes as Models in Insurance and Financial Mathematics

Cette thèse est principalement constituée de trois articles traitant des processus markoviens additifs, des processus de Lévy et d'applications en finance et en assurance. Le premier chapitre est une introduction aux processus markoviens additifs (PMA), et une présentation du problème de ruine et de notions fondamentales des mathématiques financières. Le deuxième chapitre est essentiellement l'article "Lévy Systems and the Time Value of Ruin for Markov Additive Processes" écrit en collaboration avec Manuel Morales et publié dans la revue European Actuarial Journal. Cet article étudie le problème de ruine pour un processus de risque markovien additif. Une identification de systèmes de Lévy est obtenue et utilisée pour donner une expression de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée lorsque le PMA est un processus de Lévy avec changement de régimes. Celle-ci est une généralisation des résultats existant dans la littérature pour les processus de risque de Lévy et les processus de risque markoviens additifs avec sauts "phase-type". Le troisième chapitre contient l'article "On a Generalization of the Expected Discounted Penalty Function to Include Deficits at and Beyond Ruin" qui est soumis pour publication. Cet article présente une extension de l'espérance de la fonction de pénalité actualisée pour un processus subordinateur de risque perturbé par un mouvement brownien. Cette extension contient une série de fonctions escomptée éspérée des minima successives dus aux sauts du processus de risque après la ruine. Celle-ci a des applications importantes en gestion de risque et est utilisée pour déterminer la valeur espérée du capital d'injection actualisé. Finallement, le quatrième chapitre contient l'article "The Minimal entropy martingale measure (MEMM) for a Markov-modulated exponential Lévy model" écrit en collaboration avec Romuald Hervé Momeya et publié dans la revue Asia-Pacific Financial Market. Cet article présente de nouveaux résultats en lien avec le problème de l'incomplétude dans un marché financier où le processus de prix de l'actif risqué est décrit par un modèle exponentiel markovien additif. Ces résultats consistent à charactériser la mesure martingale satisfaisant le critère de l'entropie. Cette mesure est utilisée pour calculer le prix d'une option, ainsi que des portefeuilles de couverture dans un modèle exponentiel de Lévy avec changement de régimes.

Evaluation of mitochondrial function in a model of developmental programming of hypertension associated with transient neonatal oxygen exposure

UNE EXPOSITION NÉONATALE À L’OXYGÈNE MÈNE À DES MODIFICATIONS DE LA FONCTION MITOCHONDRIALE CHEZ LE RAT ADULTE Introduction: L’exposition à l’oxygène (O2) des ratons nouveau-nés a des conséquences à l’âge adulte dont une hypertension artérielle (HTA), une dysfonction vasculaire, une néphropénie et des indices de stress oxydant. En considérant que les reins sont encore en développement actif lors des premiers jours après la naissance chez les rats, jouent un rôle clé dans le développement de l’hypertension et qu’une dysfonction mitochondriale est associé à une augmentation du stress oxydant, nous postulons que les conditions délétères néonatales peuvent avoir un impact significatif au niveau rénal sur la modulation de l’expression de protéines clés du fonctionnement mitochondrial et une production mitochondriale excessive d’espèces réactives de l’ O2. Méthodes: Des ratons Sprague-Dawley sont exposés à 80% d’O2 (H) ou 21% O2 (Ctrl) du 3e au 10e jr de vie. En considérant que plusieurs organes des rats sont encore en développement actif à la naissance, ces rongeurs sont un modèle reconnu pour étudier les complications d’une hyperoxie néonatale, comme celles liées à une naissance prématurée chez l’homme. À 4 et à 16 semaines, les reins sont prélevés et les mitochondries sont extraites suivant une méthode d’extraction standard, avec un tampon contenant du sucrose 0.32 M et différentes centrifugations. L’expression des protéines mitochondriales a été mesurée par Western blot, tandis que la production d’ H202 et les activités des enzymes clés du cycle de Krebs ont été évaluées par spectrophotométrie. Les résultats sont exprimés par la moyenne ± SD. Résultats: Les rats mâles H de 16 semaines (n=6) présentent une activité de citrate synthase (considéré standard interne de l’expression protéique et de l’abondance mitochondriales) augmentée (12.4 ± 8.4 vs 4.1 ± 0.5 μmole/mL/min), une diminution de l’activité d’aconitase (enzyme sensible au redox mitochondrial) (0.11 ± 0.05 vs 0.20 ± 0.04 μmoles/min/mg mitochondrie), ainsi qu’une augmentation dans la production de H202 (7.0 ± 1.3 vs 5.4 ± 0.8 ρmoles/mg protéines mitochondriales) comparativement au groupe Ctrl (n=6 mâles et 4 femelles). Le groupe H (vs Ctrl) présente également une diminution dans l’expression de peroxiredoxin-3 (Prx3) (H 0.61±0.06 vs. Ctrl 0.78±0.02 unité relative, -23%; p<0.05), une protéine impliquée dans l’élimination d’ H202, de l’expression du cytochrome C oxidase (Complexe IV) (H 1.02±0.04 vs. Ctrl 1.20±0.02 unité relative, -15%; p<0.05), une protéine de la chaine de respiration mitochondriale, tandis que l’expression de la protéine de découplage (uncoupling protein)-2 (UCP2), impliquée dans la dispersion du gradient proton, est significativement augmentée (H 1.05±0.02 vs. Ctrl 0.90±0.03 unité relative, +17%; p<0.05). Les femelles H (n=6) (vs Ctrl, n=6) de 16 semaines démontrent une augmentation significative de l’activité de l’aconitase (0.33±0.03 vs 0.17±0.02 μmoles/min/mg mitochondrie), de l’expression de l’ATP synthase sous unité β (H 0.73±0.02 vs. Ctrl 0.59±0.02 unité relative, +25%; p<0.05) et de l’expression de MnSOD (H 0.89±0.02 vs. Ctrl 0.74±0.03 unité relative, +20%; p<0.05) (superoxide dismutase mitochondriale, important antioxidant), tandis que l’expression de Prx3 est significativement réduite (H 1.1±0.07 vs. Ctrl 0.85±0.01 unité relative, -24%; p<0.05). À 4 semaines, les mâles H (vs Ctrl) présentent une augmentation significative de l’expression de Prx3 (H 0.72±0.03 vs. Ctrl 0.56±0.04 unité relative, +31%; p<0.05) et les femelles présentent une augmentation significative de l’expression d’UCP2 (H 1.22±0.05 vs. Ctrl 1.03±0.04 unité relative, +18%; p<0.05) et de l’expression de MnSOD (H 1.36±0.01 vs. 1.19±0.06 unité relative, +14%; p<0.05). Conclusions: Une exposition néonatale à l’O2 chez le rat adulte mène à des indices de dysfonction mitochondriale dans les reins adultes, associée à une augmentation dans la production d’espèces réactives de l’oxygène, suggérant que ces modifications mitochondriales pourraient jouer un rôle dans l’hypertension artérielle et d’un stress oxydant, et par conséquent, être un facteur possible dans la progression vers des maladies cardiovasculaires. Mots-clés: Mitochondries, Reins, Hypertension, Oxygène, Stress Oxydant, Programmation

Problèmes de commande optimale stochastique généralisés

Cette thèse est divisée en deux grands chapitres, dont le premier porte sur des problèmes de commande optimale en dimension un et le deuxième sur des problèmes en dimension deux ou plus. Notons bien que, dans cette thèse, nous avons supposé que le facteur temps n'intervient pas. Dans le premier chapitre, nous calculons, au début, l'équation de programmation dynamique pour la valeur minimale F de l'espérance mathématique de la fonction de coût considérée. Ensuite, nous utilisons le théorème de Whittle qui est applicable seulement si une condition entre le bruit blanc v et les termes b et q associés à la commande est satisfaite. Sinon, nous procédons autrement. En effet, un changement de variable transforme notre équation en une équation de Riccati en G= F', mais sans conditions initiales. Dans certains cas, à partir de la symétrie des paramètres infinitésimaux et de q, nous pouvons en déduire le point x' où G(x')=0. Si ce n'est pas le cas, nous nous limitons à des bonnes approximations. Cette même démarche est toujours possible si nous sommes dans des situations particulières, par exemple, lorsque nous avons une seule barrière. Dans le deuxième chapitre, nous traitons les problèmes en dimension deux ou plus. Puisque la condition de Whittle est difficile à satisfaire dans ce cas, nous essayons de généraliser les résultats du premier chapitre. Nous utilisons alors dans quelques exemples la méthode des similitudes, qui permet de transformer le problème en dimension un. Ensuite, nous proposons une nouvelle méthode de résolution. Cette dernière linéarise l'équation de programmation dynamique qui est une équation aux dérivées partielles non linéaire. Il reste à la fin à trouver les conditions initiales pour la nouvelle fonction et aussi à vérifier que les n expressions obtenues pour F sont équivalentes.

La programmation informatique dans la recherche et la formation en mathématiques au niveau universitaire

Une étude récente auprès de 302 mathématiciens canadiens révèle un écart intriguant : tandis que 43% des sondés utilisent la programmation informatique dans leur recherche, seulement 18% indiquent qu'ils emploient cette technologie dans leur enseignement (Buteau et coll., 2014). La première donnée reflète le potentiel énorme qu'a la programmation pour faire et apprendre des mathématiques. La deuxième donnée a inspiré ce mémoire : pourquoi existe-t-il un tel écart ? Pour répondre à cette question, nous avons mené une étude exploratoire qui cherche à mieux comprendre la place de la programmation dans la recherche et la formation en mathématiques au niveau universitaire. Des entrevues semi-dirigées ont été conduites avec 14 mathématiciens travaillant dans des domaines variés et à différentes universités à travers le pays. Notre analyse qualitative nous permet de décrire les façons dont ces mathématiciens construisent des programmes informatiques afin d'accomplir plusieurs tâches (p.e., simuler des phénomènes réels, faire des mathématiques « expérimentales », développer de nouveaux outils puissants). Elle nous permet également d'identifier des moments où les mathématiciens exposent leurs étudiants à certains éléments de ces pratiques en recherche. Nous notons toutefois que les étudiants sont rarement invités à concevoir et à écrire leurs propres programmes. Enfin, nos participants évoquent plusieurs contraintes institutionnelles : le curriculum, la culture départementale, les ressources humaines, les traditions en mathématiques, etc. Quelques-unes de ces contraintes, qui semblent limiter l'expérience mathématique des étudiants de premier cycle, pourraient être revues.

Embracing the Crisis in the Foundations of Mathematics

The crisis in the foundations of mathematics is a conceptual crisis. I suggest that we embrace the crisis and adopt a pluralist position towards foundations. There are many foundations in mathematics. However, ‘many foundations’ (for one building) is an oxymoron. Therefore, we shift vocabulary to say that mathematics, as one discipline, is composed of many different theories. This entails that there are no absolute mathematical truths, only truths within a theory. There is no unified, consistent ontology, only ontology within a theory.