Commande optimale et jeux différentiels linéaires quadratiques

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Problèmes de premier passage et de commande optimale pour des chaînes de Markov à temps discret.

Nous considérons des processus de diffusion, définis par des équations différentielles stochastiques, et puis nous nous intéressons à des problèmes de premier passage pour les chaînes de Markov en temps discret correspon- dant à ces processus de diffusion. Comme il est connu dans la littérature, ces chaînes convergent en loi vers la solution des équations différentielles stochas- tiques considérées. Notre contribution consiste à trouver des formules expli- cites pour la probabilité de premier passage et la durée de la partie pour ces chaînes de Markov à temps discret. Nous montrons aussi que les résultats ob- tenus convergent selon la métrique euclidienne (i.e topologie euclidienne) vers les quantités correspondantes pour les processus de diffusion. En dernier lieu, nous étudions un problème de commande optimale pour des chaînes de Markov en temps discret. L’objectif est de trouver la valeur qui mi- nimise l’espérance mathématique d’une certaine fonction de coût. Contraire- ment au cas continu, il n’existe pas de formule explicite pour cette valeur op- timale dans le cas discret. Ainsi, nous avons étudié dans cette thèse quelques cas particuliers pour lesquels nous avons trouvé cette valeur optimale.

Problèmes de commande optimale stochastique généralisés

Cette thèse est divisée en deux grands chapitres, dont le premier porte sur des problèmes de commande optimale en dimension un et le deuxième sur des problèmes en dimension deux ou plus. Notons bien que, dans cette thèse, nous avons supposé que le facteur temps n'intervient pas. Dans le premier chapitre, nous calculons, au début, l'équation de programmation dynamique pour la valeur minimale F de l'espérance mathématique de la fonction de coût considérée. Ensuite, nous utilisons le théorème de Whittle qui est applicable seulement si une condition entre le bruit blanc v et les termes b et q associés à la commande est satisfaite. Sinon, nous procédons autrement. En effet, un changement de variable transforme notre équation en une équation de Riccati en G= F', mais sans conditions initiales. Dans certains cas, à partir de la symétrie des paramètres infinitésimaux et de q, nous pouvons en déduire le point x' où G(x')=0. Si ce n'est pas le cas, nous nous limitons à des bonnes approximations. Cette même démarche est toujours possible si nous sommes dans des situations particulières, par exemple, lorsque nous avons une seule barrière. Dans le deuxième chapitre, nous traitons les problèmes en dimension deux ou plus. Puisque la condition de Whittle est difficile à satisfaire dans ce cas, nous essayons de généraliser les résultats du premier chapitre. Nous utilisons alors dans quelques exemples la méthode des similitudes, qui permet de transformer le problème en dimension un. Ensuite, nous proposons une nouvelle méthode de résolution. Cette dernière linéarise l'équation de programmation dynamique qui est une équation aux dérivées partielles non linéaire. Il reste à la fin à trouver les conditions initiales pour la nouvelle fonction et aussi à vérifier que les n expressions obtenues pour F sont équivalentes.

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Développement et validation de méthodes visant une utilisation optimale d'antennes réceptrices en imagerie par résonance magnétique

Différentes méthodes ayant pour objectif une utilisation optimale d'antennes radio-fréquences spécialisées en imagerie par résonance magnétique sont développées et validées. Dans un premier temps, il est démontré qu'une méthode alternative de combinaison des signaux provenant des différents canaux de réception d'un réseau d'antennes mène à une réduction significative du biais causé par la présence de bruit dans des images de diffusion, en comparaison avec la méthode de la somme-des-carrés généralement utilisée. Cette réduction du biais engendré par le bruit permet une amélioration de l'exactitude de l'estimation de différents paramètres de diffusion et de diffusion tensorielle. De plus, il est démontré que cette méthode peut être utilisée conjointement avec une acquisition régulière sans accélération, mais également en présence d'imagerie parallèle. Dans une seconde perspective, les bénéfices engendrés par l'utilisation d'une antenne d'imagerie intravasculaire sont étudiés. Suite à une étude sur fantôme, il est démontré que l'imagerie par résonance magnétique intravasculaire offre le potentiel d'améliorer significativement l'exactitude géométrique lors de mesures morphologiques vasculaires, en comparaison avec les résultats obtenus avec des antennes de surface classiques. Il est illustré qu'une exactitude géométrique comparable à celle obtenue grâce à une sonde ultrasonique intravasculaire peut être atteinte. De plus, plusieurs protocoles basés sur une acquisition de type balanced steady-state free-precession sont comparés dans le but de mettre en évidence différentes relations entre les paramètres utilisés et l'exactitude géométrique obtenue. En particulier, des dépendances entre la taille du vaisseau, le rapport signal-sur-bruit à la paroi vasculaire, la résolution spatiale et l'exactitude géométrique atteinte sont mises en évidence. Dans une même optique, il est illustré que l'utilisation d'une antenne intravasculaire permet une amélioration notable de la visualisation de la lumière d'une endoprothèse vasculaire. Lorsque utilisée conjointement avec une séquence de type balanced steady-state free-precession utilisant un angle de basculement spécialement sélectionné, l'imagerie par résonance magnétique intravasculaire permet d'éliminer complètement les limitations normalement engendrées par l'effet de blindage radio-fréquence de l'endoprothèse.

Recherche sur les effets de l'analgésie périopératoire optimale (RAPO) sur la douleur et la fonction après chirurgie de la main

Essai cinique randomisé