Superintégrabilité avec séparation de variables en coordonnées polaires et intégrales du mouvement d’ordre supérieur à deux

Dans cette thèse, nous proposons de nouveaux résultats de systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires. Dans un premier temps, nous présentons une classification complète de tous les systèmes superintégrables séparables en coordonnées polaires qui admettent une intégrale du mouvement d'ordre trois. Des potentiels s'exprimant en terme de la sixième transcendante de Painlevé et de la fonction elliptique de Weierstrass sont présentés. Ensuite, nous introduisons une famille infinie de systèmes classiques et quantiques intégrables et exactement résolubles en coordonnées polaires. Cette famille s'exprime en terme d'un paramètre k. Le spectre d'énergie et les fonctions d'onde des systèmes quantiques sont présentés. Une conjecture postulant la superintégrabilité de ces systèmes est formulée et est vérifiée pour k=1,2,3,4. L'ordre des intégrales du mouvement proposées est 2k où k ∈ ℕ. La structure algébrique de la famille de systèmes quantiques est formulée en terme d'une algèbre cachée où le nombre de générateurs dépend du paramètre k. Une généralisation quasi-exactement résoluble et intégrable de la famille de potentiels est proposée. Finalement, les trajectoires classiques de la famille de systèmes sont calculées pour tous les cas rationnels k ∈ ℚ. Celles-ci s'expriment en terme des polynômes de Chebyshev. Les courbes associées aux trajectoires sont présentées pour les premiers cas k=1, 2, 3, 4, 1/2, 1/3 et 3/2 et les trajectoires bornées sont fermées et périodiques dans l'espace des phases. Ainsi, les résultats obtenus viennent renforcer la possible véracité de la conjecture.

Positionnement optimal de l'activité physique pour profiter de l'effet anorexigène

La balance énergétique (dépense énergétique et ingestion calorique) est au centre du contrôle de la masse corporelle. L’activité physique peut par ailleurs réduire l’appétit et l’ingestion calorique, un phénomène qu’on appelle aussi l’effet anorexigène de l’activité physique. Cependant, l’hormone orexigénique, liée à une diminution de l’appétit, diminue pendant l’exercice pour remonter rapidement après l’effort. Le but de ce mémoire était de déterminer si l’ingestion calorique est réduite quand l’exercice précède immédiatement le repas comparativement à une condition où il y a une pause entre l’exercice et le repas. Pour ce faire, douze garçons non obèses (15-20 ans) ont pris part à l’étude. Chaque participant était évalué individuellement pour les deux tâches suivantes, et ce, dans un ordre aléatoire : 1) Ex = 30 minutes d’exercice (70% VO2max) suivi immédiatement par un buffet à volonté à midi; 2) Expause = 30 minutes d’exercice (70% VO2max) suivi d’une pause de 135 minutes et d’un buffet à volonté à midi. Les visites étaient précédées par un déjeuner standard et complétées avec une collation à volonté durant l’après-midi et un souper type buffet à volonté pour souper. Alors que les résultats ont révélé que la faim était similaire en tout temps, l’ingestion calorique au diner était plus basse pour la condition Ex que pour la condition Expause (5 072 vs 5 718 kJ; p < 0,05). Aucune différence significative n’a été notée pour la collation de l’après-midi et le souper. Chose intéressante, l’ingestion calorique des lipides était plus basse au diner avec une ingestion de 1 604 kJ pour la condition Ex versus 2 085 kJ pour la condition Expause (p < 0,05). Cette étude est la première à investiguer l’effet du positionnement optimal de l’activité physique pour réduire l’ingestion calorique et elle révèle qu’être actif physiquement juste avant le repas joue un rôle sur la diminution de l’ingestion calorique indépendamment des sensations d’appétit. L’absence d’une compensation durant le reste de la journée suggère de plus qu’une balance énergétique négative, incluant une réduction de la consommation de lipides, peut être plus facilement atteinte en positionnant l’activité physique juste avant un repas.

Le problème de Coulomb-Dunkl dans le plan

Ce mémoire, composé d'un article en collaboration avec Monsieur Luc Vinet et Vincent X. Genest, est la suite du travail effectué sur les systèmes quantiques super-intégrables définis par des Hamiltoniens de type Dunkl. Plus particulièrement, ce mémoire vise l'analyse du problème de Coulomb-Dunkl dans le plan qui est une généralisation du système quantique de l'atome d'hydrogène impliquant des opérateurs de réflexion sur les variables x et y. Le modèle est défini par un potentiel en 1/r. Nous avons tout d'abord remarqué que l'Hamiltonien est séparable en coordonnées polaires et que les fonctions d'onde s'écrivent en termes de produits de polynômes de Laguerre généralisés et des harmoniques de Dunkl sur le cercle. L'algèbre générée par les opérateurs de symétrie nous a également permis de confirmer le caractère maximalement super-intégrable du problème de Coulomb-Dunkl. Nous avons aussi pu écrire explicitement les représentations de cette même algèbre. Nous avons finalement trouvé le spectre de l'énergie de manière algébrique.