Géométrie nodale et valeurs propres de l’opérateur de Laplace et du p-laplacien

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.

Population Ethics, Social Choice Theory, and Two problems in the Measurement of Economic Poverty

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L'Inventaire des risques et des besoins liés aux facteurs criminogènes (IRBC) : évaluation des propriétés métriques de l'instrument

L’Inventaire des risques et des besoins liés aux facteurs criminogènes (IRBC) est un instrument utilisé depuis le début des années 1990 pour évaluer les risques de récidive des jeunes contrevenants québécois. Il est le produit d’une collaboration du Québec avec l’Ontario, survenue dans le cadre de travaux de recherche effectués sur les instruments d’évaluation du risque de récidive des jeunes contrevenants. L’IRBC est donc le seul instrument précisément conçu pour évaluer les risques de récidive des jeunes contrevenants québécois et il n’a jamais fait l’objet d’une démarche visant à tester sa validité prédictive. Le but de ce projet de mémoire est de tester la validité prédictive de l’IRBC. Des analyses de courbes ROC et des analyses de survie ont été utilisées pour tester les propriétés métriques de l’instrument. Ces analyses suggèrent que, dans l’ensemble, l’IRBC arrive à prédire la récidive de façon acceptable. Quatre des huit grands domaines associés à la récidive, communément appelé BIG FOUR, seraient des prédicteurs modérés de la récidive lorsque testés avec les données issues de l’IRBC. Il s’agit des domaines Antécédents, Pairs, Personnalité-Comportements, et Attitudes-Tendances. Des aspects en lien avec la fidélité de l’instrument témoignent toutefois d’irrégularités dans le processus d’évaluation, ce qui interroge le niveau de rigueur maintenu au jour le jour par les professionnels. Des aspects en lien avec la fidélité de l’IRBC demeureraient à investiguer.

Patient-specific anisotropic model of human trunk based on MR data

There are many ways to generate geometrical models for numerical simulation, and most of them start with a segmentation step to extract the boundaries of the regions of interest. This paper presents an algorithm to generate a patient-specific three-dimensional geometric model, based on a tetrahedral mesh, without an initial extraction of contours from the volumetric data. Using the information directly available in the data, such as gray levels, we built a metric to drive a mesh adaptation process. The metric is used to specify the size and orientation of the tetrahedral elements everywhere in the mesh. Our method, which produces anisotropic meshes, gives good results with synthetic and real MRI data. The resulting model quality has been evaluated qualitatively and quantitatively by comparing it with an analytical solution and with a segmentation made by an expert. Results show that our method gives, in 90% of the cases, as good or better meshes as a similar isotropic method, based on the accuracy of the volume reconstruction for a given mesh size. Moreover, a comparison of the Hausdorff distances between adapted meshes of both methods and ground-truth volumes shows that our method decreases reconstruction errors faster. Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Ltd.