O problema do desenvolvimento em série

O desenvolvimento em série de potências de certa variável, real ou complexa, aparece, de um modo muito geral, nos planos de estudos das disciplinas de Análise Matemática, presentes em cursos de licenciatura muito diversos. Por uma razão verdadeiramente estranha, há em torno deste tema uma real e histórica má vontade da generalidade dos alunos, que acaba por saldar-se numa passagem por sobre o tema que poucas raízes costuma deixar. Por estas razões, aborda-se neste texto o problema do desenvolvimento de uma função em série de potências de certa variável, esteja ela definida num qualquer domínio real ou complexo. Tomam-se aqui por conhecidos os conceitos de continuidade e de diferenciabilidade de uma função num ponto do seu domínio, e também num subconjunto aberto desse mesmo domínio.