Sharp weighted bounds for fractional integral operators

The relationship between the operator norms of fractional integral operators acting on weighted Lebesgue spaces and the constant of the weights is investigated. Sharp bounds are obtained for both the fractional integral operators and the associated fractional maximal functions. As an application improved Sobolev inequalities are obtained. Some of the techniques used include a sharp off-diagonal version of the extrapolation theorem of Rubio de Francia and characterizations of two-weight norm inequalities.

Homotopy Batalin-Vilkovisky algebras

This paper provides an explicit cofibrant resolution of the operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras. Thus it defines the notion of homotopy Batalin-Vilkovisky algebras with the required homotopy properties. To define this resolution we extend the theory of Koszul duality to operads and properads that are defined by quadratic and linear relations. The operad encoding Batalin-Vilkovisky algebras is shown to be Koszul in this sense. This allows us to prove a Poincaré-Birkhoff-Witt Theorem for such an operad and to give an explicit small quasi-free resolution for it. This particular resolution enables us to describe the deformation theory and homotopy theory of BV-algebras and of homotopy BV-algebras. We show that any topological conformal field theory carries a homotopy BV-algebra structure which lifts the BV-algebra structure on homology. The same result is proved for the singular chain complex of the double loop space of a topological space endowed with an action of the circle. We also prove the cyclic Deligne conjecture with this cofibrant resolution of the operad BV. We develop the general obstruction theory for algebras over the Koszul resolution of a properad and apply it to extend a conjecture of Lian-Zuckerman, showing that certain vertex algebras have an explicit homotopy BV-algebra structure.

Els primers llums del Delta

Treball de recerca realitzat per un alumne d'ensenyament secundari i guardonat amb un Premi CIRIT per fomentar l'esperit científic del Jovent l'any 2009. El treball és un estudi de l’evolució, tan tècnica com estètica dels fars paral•lela als avenços tecnològics i prenent com a protagonistes els singulars fars de ferro que es varen construir durant la segona meitat del segle XIX i varen funcionar durant un llarguíssim període en el delta de l’Ebre. L’estructura de ferro, ancorada directament sobre les sorres del delta va donar un caràcter especial a aquestes construccions que, d’altra banda, constituïen una tipologia única a Catalunya i a Espanya. Aquests fars van rebre el nom del lloc on foren ubicats estratègicament. De sud a nord: far de la Banya, far de Buda i far del Fangar. Els van projectar conjuntament, es van encendre per primera vegada el mateix dia, van ser l’habitatge dels seus faroners, van anar evolucionant tècnicament tots tres però el final de cadascun d’ells va ser molt diferent. La història dels fars de ferro ha anat lligada al paisatge i la vida d’aquestes singulars terres del Delta i després de més d’un segle de servei foren substituïts per altres que estèticament i tècnicament res tenen a veure amb els seus antecessors.

Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problems

The work in this paper concerns the study of conventional and refined heat balance integral methods for a number of phase change problems. These include standard test problems, both with one and two phase changes, which have exact solutions to enable us to test the accuracy of the approximate solutions. We also consider situations where no analytical solution is available and compare these to numerical solutions. It is popular to use a quadratic profile as an approximation of the temperature, but we show that a cubic profile, seldom considered in the literature, is far more accurate in most circumstances. In addition, the refined integral method can give greater improvement still and we develop a variation on this method which turns out to be optimal in some cases. We assess which integral method is better for various problems, showing that it is largely dependent on the specified boundary conditions.

A numerical solver for a nonlinear Fokker-Planck equation representation of neuronal network dynamics

To describe the collective behavior of large ensembles of neurons in neuronal network, a kinetic theory description was developed in [13, 12], where a macroscopic representation of the network dynamics was directly derived from the microscopic dynamics of individual neurons, which are modeled by conductance-based, linear, integrate-and-fire point neurons. A diffusion approximation then led to a nonlinear Fokker-Planck equation for the probability density function of neuronal membrane potentials and synaptic conductances. In this work, we propose a deterministic numerical scheme for a Fokker-Planck model of an excitatory-only network. Our numerical solver allows us to obtain the time evolution of probability distribution functions, and thus, the evolution of all possible macroscopic quantities that are given by suitable moments of the probability density function. We show that this deterministic scheme is capable of capturing the bistability of stationary states observed in Monte Carlo simulations. Moreover, the transient behavior of the firing rates computed from the Fokker-Planck equation is analyzed in this bistable situation, where a bifurcation scenario, of asynchronous convergence towards stationary states, periodic synchronous solutions or damped oscillatory convergence towards stationary states, can be uncovered by increasing the strength of the excitatory coupling. Finally, the computation of moments of the probability distribution allows us to validate the applicability of a moment closure assumption used in [13] to further simplify the kinetic theory.

Generic Nekhoroshev theory without small divisors

In this article, we present a new approach of Nekhoroshev theory for a generic unperturbed Hamiltonian which completely avoids small divisors problems. The proof is an extension of a method introduced by P. Lochak which combines averaging along periodic orbits with simultaneous Diophantine approximation and uses geometric arguments designed by the second author to handle generic integrable Hamiltonians. This method allows to deal with generic non-analytic Hamiltonians and to obtain new results of generic stability around linearly stable tori.

The eta invariant and equivariant index of transversally elliptic operators

We prove a formula for the multiplicities of the index of an equivariant transversally elliptic operator on a G-manifold. The formula is a sum of integrals over blowups of the strata of the group action and also involves eta invariants of associated elliptic operators. Among the applications, we obtain an index formula for basic Dirac operators on Riemannian foliations, a problem that was open for many years.

Stabilized Petrov-Galerkin methods for the convection-diffusion-reaction and the Helmholtz equations

We present two new stabilized high-resolution numerical methods for the convection–diffusion–reaction (CDR) and the Helmholtz equations respectively. The work embarks upon a priori analysis of some consistency recovery procedures for some stabilization methods belonging to the Petrov–Galerkin framework. It was found that the use of some standard practices (e.g. M-Matrices theory) for the design of essentially non-oscillatory numerical methods is not feasible when consistency recovery methods are employed. Hence, with respect to convective stabilization, such recovery methods are not preferred. Next, we present the design of a high-resolution Petrov–Galerkin (HRPG) method for the 1D CDR problem. The problem is studied from a fresh point of view, including practical implications on the formulation of the maximum principle, M-Matrices theory, monotonicity and total variation diminishing (TVD) finite volume schemes. The current method is next in line to earlier methods that may be viewed as an upwinding plus a discontinuity-capturing operator. Finally, some remarks are made on the extension of the HRPG method to multidimensions. Next, we present a new numerical scheme for the Helmholtz equation resulting in quasi-exact solutions. The focus is on the approximation of the solution to the Helmholtz equation in the interior of the domain using compact stencils. Piecewise linear/bilinear polynomial interpolation are considered on a structured mesh/grid. The only a priori requirement is to provide a mesh/grid resolution of at least eight elements per wavelength. No stabilization parameters are involved in the definition of the scheme. The scheme consists of taking the average of the equation stencils obtained by the standard Galerkin finite element method and the classical finite difference method. Dispersion analysis in 1D and 2D illustrate the quasi-exact properties of this scheme. Finally, some remarks are made on the extension of the scheme to unstructured meshes by designing a method within the Petrov–Galerkin framework.

Un aspecte semàntic dels termes generals : la rigidesa

L'objectiu de la recerca és determinar quina és la noció de rigidesa més adient per als termes generals. Els termes generals són els que, per oposició als termes singulars, es poden aplicar a més d'un individu o exemplar, com per exemple 'tigre', 'aigua', 'bolígraf'. Des de Kripke es considera que alguns termes singulars, com els noms propis, són rígids. Un terme singular és rígid quan designa el mateix individu o objecte en tot món possible. Així 'Sòcrates' és un terme rígid perquè designa el mateix individu, Sòcrates, en tota circumstància contrafàctica. Kripke va proposar que alguns termes generals, com els termes de gènere natural, tals com 'aigua', 'calor' o 'tigre' també són rígids, però no va donar cap formulació precisa de la rigidesa per a termes generals. Des de llavors s'han proposat bàsicament dues concepcions de la rigidesa per a aquests termes: la que els considera designadors rígids i la que els considera aplicadors rígids. L'anàlisi de les dues concepcions pretén determinar quina és la millor comprensió de la rigidesa per a aquests termes, resultant la concepció dels aplicadors rígids indesitjable fonamentalment pels seus compromisos metafísics i allunyats de la semàntica.

Sistema didàctic per millorar l'aprenetatge de la representació del espai arquitectònic amb ajuts "on line"

El projecte ha tingut com a finalitat cobrir un buit en la formació dels estudiants pel que respecta a les seves limitacions en l’aprenentatge de les diferents estratègies i metodologies de treball. Aquest buit ens ha fet pensar en l’elaboració d’un sistema didàctic que possibiliti una comunicació fluida amb l’alumne i que pugui anar més enllà de l’àmbit específic de les aules. Es per això que la nostra proposta té com a referent un aprofitament més racional del temps de treball de l’estudiant. Per tal d’arribar a aquesta finalitat ens hem plantejat un grup d’objectius concrets ordenats segons els dos nivells d’assoliment següents: Nivell 1: - Definir un material didàctic que pugui transmetre de la manera més objectiva possible les eines necessàries per tal que l’alumne resolgui un conjunt de problemes concrets. - Proporcionar a l’estudiant un procediment didàctic basat en un grup de tasques amb un material de suport on ha de posar a prova l’aplicabilitat dels conceptes donats a les classes teòriques. - Partir d’un sistema que permeti a l’alumne tenir una referència constant de recolzament teòric fora de les aules quan està resolent les pràctiques assignades en el curs. - Definir unes característiques funcionals del material utilitzat en l’activitat pràctica de tal manera que sigui un instrument efectiu per al control del propi estudiant sobre el seu procés d’avaluació. Nivell 2: - Fer servir una metodologia d’activitats pràctiques on es puguin accentuar les capacitats de resposta creativa individual de l’estudiant. - Plantejar l’intercanvi d’experiències i propostes d’estratègies per a la resolució dels temes pràctics mitjançant sessions de seminaris prèvies a les pràctiques. - Promoure unes relacions transversals amb altres àrees de coneixement de tal manera que l’alumne pugui vincular la seva resposta a les activitats pràctiques proposades per altres assignatures, amb els coneixements adquirits a la nostra assignatura.

The eta invariant and equivariant index of transversally elliptic operators

We prove a formula for the multiplicities of the index of an equivariant transversally elliptic operator on a G-manifold. The formula is a sum of integrals over blowups of the strata of the group action and also involves eta invariants of associated elliptic operators. Among the applications, we obtain an index formula for basic Dirac operators on Riemannian foliations, a problem that was open for many years.

Index theory for basic Dirac operators on Riemannian foliations

In this paper we prove a formula for the analytic index of a basic Dirac-type operator on a Riemannian foliation, solving a problem that has been open for many years. We also consider more general indices given by twisting the basic Dirac operator by a representation of the orthogonal group. The formula is a sum of integrals over blowups of the strata of the foliation and also involves eta invariants of associated elliptic operators. As a special case, a Gauss-Bonnet formula for the basic Euler characteristic is obtained using two independent proofs.

Estrategies per la inversió tridimensional de dades magnetotel.lúriques:

Projecte de recerca elaborat a partir d’una estada a la Dublin Institute for Advanced Studies, Irlanda, entre setembre i desembre del 2009.En els últims anys s’ha realitzat un important avanç en la modelització tridimensional en magnetotel•lúrica (MT) gracies a l'augment d’algorismes d’inversió tridimensional disponibles. Aquests codis utilitzen diferents formulacions del problema (diferències finites, elements finits o equacions integrals), diverses orientacions del sistema de coordenades i, o bé en el conveni de signe, més o menys, en la dependència temporal. Tanmateix, les impedàncies resultants per a tots els valors d'aquests codis han de ser les mateixes una vegada que es converteixen a un conveni de signe comú i al mateix sistema de coordenades. Per comparar els resultats dels diferents codis hem dissenyat models diferents de resistivitats amb estructures tridimensional incrustades en un subsòl homogeni. Un requisit fonamental d’aquests models és que generin impedàncies amb valors importants en els elements de la diagonal, que no són menyspreables. A diferència dels casos del modelització de dades magnetotel.lúriques unidimensionals i bidimensionals, pel al cas tridimensional aquests elements de les diagonals del tensor d'impedància porten informació sobre l'estructura de la resistivitat. Un dels models de terreny s'utilitza per comparar els diferents algoritmes que és la base per posterior inversió dels diferents codis. Aquesta comparació va ser seguida de la inversió per recuperar el conjunt de dades d'una estructura coneguda.

Calderón-Zygmund kernels and rectifiability in the plane

Vegeu el resum a l'inici del document del fitxer adjunt.

Estudi dels arbres i conjunts remarcables del municipi de Sitges

Aquest estudi s’ha realitzat amb l’objectiu d’aprofundir en el coneixement dels arbres i conjunts remarcables del municipi de Sitges, a la comarca del Garraf. S’ha fet un inventari dels arbres i conjunts estudiats, tot diferenciant els situats en la zona urbana (urbans) i els que es troben fora d’aquest àmbit (no urbans), i s’ha analitzat el seu estat de conservació i importància socioambiental. També se n’ha elaborat una base cartogràfica amb la seva localització. S’ha donat continuïtat a la metodologia aplicada en treballs anteriors sobre arbres monumentals, notables i singulars, amb algunes variants. S’han inventariat trenta-nou arbres i conjunts remarcables (pertanyents a vint-i-cinc espècies), dels quals trenta són urbans i nou són no urbans. Tots ells, excepte un exemplar considerat notable, s’han qualificat com a singulars. A banda, s’han inventariat tres conjunts remarcables sense contenir cap exemplar remarcable, els quals s’han treballat a part. Durant el treball de camp, realitzat a la tardor i al hivern de 2011 a Sitges, s’han pres dades de trenta-cinc variables sobre els arbres inventariats, les quals s’han sintetitzat en sis paràmetres qualitatius indicatius de l’estat de conservació i importància socioambiental dels arbres i conjunts inventariats. Aquesta simplificació ha permès fer un estudi comparatiu dels arbres, extreure conclusions i elaborar propostes de millora per a vetllar per a la seva conservació. El present estudi posa de manifest la necessitat de declarar els arbres inventariats d’interès local o comarcal d’acord amb les figures legislatives de protecció de l’administració competent, posant èmfasi en la incorporació a l’existent Catàleg d’Arbres Singulars de Sitges dels arbres no urbans inventariats i d’altres urbans que no hi són presents.