Some variational problems from image processing

"Vegeu el resum a l'inici del document del fitxer adjunt."

The analysis of approximate quickselect and related problems

Approximate Quickselect, a simple modification of the well known Quickselect algorithm for selection, can be used to efficiently find an element with rank k in a given range [i..j], out of n given elements. We study basic cost measures of Approximate Quickselect by computing exact and asymptotic results for the expected number of passes, comparisons and data moves during the execution of this algorithm. The key element appearing in the analysis of Approximate Quickselect is a trivariate recurrence that we solve in full generality. The general solution of the recurrence proves to be very useful, as it allows us to tackle several related problems, besides the analysis that originally motivated us. In particular, we have been able to carry out a precise analysis of the expected number of moves of the ith element when selecting the jth smallest element with standard Quickselect, where we are able to give both exact and asymptotic results. Moreover, we can apply our general results to obtain exact and asymptotic results for several parameters in binary search trees, namely the expected number of common ancestors of the nodes with rank i and j, the expected size of the subtree rooted at the least common ancestor of the nodes with rank i and j, and the expected distance between the nodes of ranks i and j.

Optimal exponent heat balance and refined integral methods applied to Stefan problems

When using a polynomial approximating function the most contentious aspect of the Heat Balance Integral Method is the choice of power of the highest order term. In this paper we employ a method recently developed for thermal problems, where the exponent is determined during the solution process, to analyse Stefan problems. This is achieved by minimising an error function. The solution requires no knowledge of an exact solution and generally produces significantly better results than all previous HBI models. The method is illustrated by first applying it to standard thermal problems. A Stefan problem with an analytical solution is then discussed and results compared to the approximate solution. An ablation problem is also analysed and results compared against a numerical solution. In both examples the agreement is excellent. A Stefan problem where the boundary temperature increases exponentially is analysed. This highlights the difficulties that can be encountered with a time dependent boundary condition. Finally, melting with a time-dependent flux is briefly analysed without applying analytical or numerical results to assess the accuracy.

Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problems

The work in this paper concerns the study of conventional and refined heat balance integral methods for a number of phase change problems. These include standard test problems, both with one and two phase changes, which have exact solutions to enable us to test the accuracy of the approximate solutions. We also consider situations where no analytical solution is available and compare these to numerical solutions. It is popular to use a quadratic profile as an approximation of the temperature, but we show that a cubic profile, seldom considered in the literature, is far more accurate in most circumstances. In addition, the refined integral method can give greater improvement still and we develop a variation on this method which turns out to be optimal in some cases. We assess which integral method is better for various problems, showing that it is largely dependent on the specified boundary conditions.

Underwater Gigamosaicing

El procés de fusió de dues o més imatges de la mateixa escena en una d'única i més gran és conegut com a Image Mosaicing. Un cop finalitzat el procés de construcció d'un mosaic, els límits entre les imatges són habitualment visibles, degut a imprecisions en els registres fotomètric i geomètric. L'Image Blending és l'etapa del procediment de mosaicing a la que aquests artefactes són minimitzats o suprimits. Existeixen diverses metodologies a la literatura que tracten aquests problemes, però la majoria es troben orientades a la creació de panorames terrestres, imatges artístiques d'alta resolució o altres aplicacions a les quals el posicionament de la càmera o l'adquisició de les imatges no són etapes rellevants. El treball amb imatges subaquàtiques presenta desafiaments importants, degut a la presència d'scattering (reflexions de partícules en suspensió) i atenuació de la llum i a condicions físiques extremes a milers de metres de profunditat, amb control limitat dels sistemes d'adquisició i la utilització de tecnologia d'alt cost. Imatges amb il·luminació artificial similar, sense llum global com la oferta pel sol, han de ser unides sense mostrar una unió perceptible. Les imatges adquirides a gran profunditat presenten una qualitat altament depenent de la profunditat, i la seva degradació amb aquest factor és molt rellevant. El principal objectiu del treball és presentar dels principals problemes de la imatge subaquàtica, seleccionar les estratègies més adequades i tractar tota la seqüència adquisició-procesament-visualització del procés. Els resultats obtinguts demostren que la solució desenvolupada, basada en una Estratègia de Selecció de Límit Òptim, Fusió en el Domini del Gradient a les regions comunes i Emfatització Adaptativa d'Imatges amb baix nivell de detall permet obtenir uns resultats amb una alta qualitat. També s'ha proposat una estratègia, amb possibilitat d'implementació paral·lela, que permet processar mosaics de kilòmetres d'extensió amb resolució de centímetres per píxel.

Sistema didàctic per millorar l'aprenetatge de la representació del espai arquitectònic amb ajuts "on line"

El projecte ha tingut com a finalitat cobrir un buit en la formació dels estudiants pel que respecta a les seves limitacions en l’aprenentatge de les diferents estratègies i metodologies de treball. Aquest buit ens ha fet pensar en l’elaboració d’un sistema didàctic que possibiliti una comunicació fluida amb l’alumne i que pugui anar més enllà de l’àmbit específic de les aules. Es per això que la nostra proposta té com a referent un aprofitament més racional del temps de treball de l’estudiant. Per tal d’arribar a aquesta finalitat ens hem plantejat un grup d’objectius concrets ordenats segons els dos nivells d’assoliment següents: Nivell 1: - Definir un material didàctic que pugui transmetre de la manera més objectiva possible les eines necessàries per tal que l’alumne resolgui un conjunt de problemes concrets. - Proporcionar a l’estudiant un procediment didàctic basat en un grup de tasques amb un material de suport on ha de posar a prova l’aplicabilitat dels conceptes donats a les classes teòriques. - Partir d’un sistema que permeti a l’alumne tenir una referència constant de recolzament teòric fora de les aules quan està resolent les pràctiques assignades en el curs. - Definir unes característiques funcionals del material utilitzat en l’activitat pràctica de tal manera que sigui un instrument efectiu per al control del propi estudiant sobre el seu procés d’avaluació. Nivell 2: - Fer servir una metodologia d’activitats pràctiques on es puguin accentuar les capacitats de resposta creativa individual de l’estudiant. - Plantejar l’intercanvi d’experiències i propostes d’estratègies per a la resolució dels temes pràctics mitjançant sessions de seminaris prèvies a les pràctiques. - Promoure unes relacions transversals amb altres àrees de coneixement de tal manera que l’alumne pugui vincular la seva resposta a les activitats pràctiques proposades per altres assignatures, amb els coneixements adquirits a la nostra assignatura.

Desenvolupament de problemes virtuals i interactius per a l’aprenentatge de la Microbiologia

La finalitat del projecte ha estat desenvolupar un espai virtual teòric-pràctic per a l’aprenentatge de la Microbiologia. Aquest espai virtual, basat en l'aprenentatge a través de problemes, s’ha anomenat “Microbiologia Interactiva” i proposa a l’alumne les següents àrees temàtiques: Introducció a les tècniques de la Microbiologia; Estructura i funció de la cèl.lula microbiana; Creixement i control microbià; Microbiologia molecular; Fisiologia i metabolisme microbians; Virologia; Ecologia Microbiana; Diversitat microbiana. Per a cada temàtica s’han definit unes competències a assolir a través de la resolució de problemes teòrics o pràctics. En aquest darrer cas, se li proposa a l’alumne que entri en el laboratori virtual per a la resolució dels casos pràctics plantejats. A més, per a la resolució dels problemes, l’alumne disposa d’un seguit de recursos per a cada temàtica. Finalment, també s’inclouen activitats de relació i d’ampliació per tal d’estimular la discussió, l’esperit crìtic, el treball en grup i la recerca bibliogràfica. A més, per tal de facilitar el seu ús, el web disposa també d'un tutorial. El web “Microbiologia Interactiva” es va introduir de forma pilat en l’ensenyament de l'assignatura de Microbiologia de la Llicenciatura de Biologia i de la de Microbiologia I de la llicenciatura de Biotecnologia de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) durant el curs 2007-08. Al llarg d'aquest curs es va valorar la seva utilitat i acceptació per part dels alumnes mitjançant enquestes. Els bons resultats obtinguts van aconsellar que aquesta eina fora ja utilitzada en totes les assignatures generals de Microbiologia de les llicenciatures de Biologia, Biotecnologia, Bioquímica, Química, Enginyeria Química, Ciències Ambientals i Ciència i Tecnologia dels Aliments de la UAB. Actualment el web s’està també utilitzant amb molt bons resultats a les assignatures de Microbiologia dels nous graus que ofereix la Facultat de Biociències de la UAB. Així doncs, en aquest projecte s’han assolit amb escreix els objectius previstos. Es pot consultar el web desenvolupat a l’adreça http://microbiologia.uab.cat//Microbiologia_Interactiva_Web/.

A parameter-free approach for solving combinatorial optimization problems through biased randomization of efficient heuristics

This paper discusses the use of probabilistic or randomized algorithms for solving combinatorial optimization problems. Our approach employs non-uniform probability distributions to add a biased random behavior to classical heuristics so a large set of alternative good solutions can be quickly obtained in a natural way and without complex conguration processes. This procedure is especially useful in problems where properties such as non-smoothness or non-convexity lead to a highly irregular solution space, for which the traditional optimization methods, both of exact and approximate nature, may fail to reach their full potential. The results obtained are promising enough to suggest that randomizing classical heuristics is a powerful method that can be successfully applied in a variety of cases.

On the stability of the optimal value and the optimal set in optimization problems

The paper develops a stability theory for the optimal value and the optimal set mapping of optimization problems posed in a Banach space. The problems considered in this paper have an arbitrary number of inequality constraints involving lower semicontinuous (not necessarily convex) functions and one closed abstract constraint set. The considered perturbations lead to problems of the same type as the nominal one (with the same space of variables and the same number of constraints), where the abstract constraint set can also be perturbed. The spaces of functions involved in the problems (objective and constraints) are equipped with the metric of the uniform convergence on the bounded sets, meanwhile in the space of closed sets we consider, coherently, the Attouch-Wets topology. The paper examines, in a unified way, the lower and upper semicontinuity of the optimal value function, and the closedness, lower and upper semicontinuity (in the sense of Berge) of the optimal set mapping. This paper can be seen as a second part of the stability theory presented in [17], where we studied the stability of the feasible set mapping (completed here with the analysis of the Lipschitz-like property).

On slicewise monotone parameterized problems and optimal proof systems for TAUT

"Vegeu el resum a l'inici del document del fitxer adjunt"

Application of the combined integral method to Stefan problems

In this paper we present a new, accurate form of the heat balance integral method, termed the Combined Integral Method (or CIM). The application of this method to Stefan problems is discussed. For simple test cases the results are compared with exact and asymptotic limits. In particular, it is shown that the CIM is more accurate than the second order, large Stefan number, perturbation solution for a wide range of Stefan numbers. In the initial examples it is shown that the CIM reduces the standard problem, consisting of a PDE defined over a domain specified by an ODE, to the solution of one or two algebraic equations. The latter examples, where the boundary temperature varies with time, reduce to a set of three first order ODEs.

Improving the accuracy of heat balance integral methods applied to thermal problems with time dependent boundary conditions

In this paper the two main drawbacks of the heat balance integral methods are examined. Firstly we investigate the choice of approximating function. For a standard polynomial form it is shown that combining the Heat Balance and Refined Integral methods to determine the power of the highest order term will either lead to the same, or more often, greatly improved accuracy on standard methods. Secondly we examine thermal problems with a time-dependent boundary condition. In doing so we develop a logarithmic approximating function. This new function allows us to model moving peaks in the temperature profile, a feature that previous heat balance methods cannot capture. If the boundary temperature varies so that at some time t & 0 it equals the far-field temperature, then standard methods predict that the temperature is everywhere at this constant value. The new method predicts the correct behaviour. It is also shown that this function provides even more accurate results, when coupled with the new CIM, than the polynomial profile. Analysis primarily focuses on a specified constant boundary temperature and is then extended to constant flux, Newton cooling and time dependent boundary conditions.

An axiomatic justification of mediation in bankruptcy problems.

This paper provides a natural way of reaching an agreement between two prominent proposals in a bankruptcy problem. Particularly, using the fact that such problems can be faced from two different points of views, awards and losses, we justify the average of any pair of dual bankruptcy rules through the definition a double recursive process. Finally, by considering three posible sets of equity principles that a particular society may agree on, we retrieve the average of old and well known bankruptcy rules, the Constrained Equal Awards and the Constrained Equal Losses rules, Piniles’ rule and its dual rule, and the Constrained Egalitarian rule and its dual rule. Keywords: Bankruptcy problems, Midpoint, Bounds, Duality, Recursivity. JEL classification: C71, D63, D71.

A way to play bankruptcy problems.

The commitment among agents has always been a difficult task, especially when they have to decide how to distribute the available amount of a scarce resource among all. On the one hand, there are a multiplicity of possible ways for assigning the available amount; and, on the other hand, each agent is going to propose that distribution which provides her the highest possible award. In this paper, with the purpose of making this agreement easier, firstly we use two different sets of basic properties, called Commonly Accepted Equity Principles, to delimit what agents can propose as reasonable allocations. Secondly, we extend the results obtained by Chun (1989) and Herrero (2003), obtaining new characterizations of old and well known bankruptcy rules. Finally, using the fact that bankruptcy problems can be analyzed from awards and losses, we define a mechanism which provides a new justification of the convex combinations of bankruptcy rules. Keywords: Bankruptcy problems, Unanimous Concessions procedure, Diminishing Claims mechanism, Piniles’ rule, Constrained Egalitarian rule. JEL classification: C71, D63, D71.

A Proportional Approach to Bankruptcy Problems with a guaranteed minimum

In a distribution problem, and specfii cally in bankruptcy issues, the Proportional (P) and the Egalitarian (EA) divisions are two of the most popular ways to resolve the conflict. The Constrained Equal Awards rule (CEA) is introduced in bankruptcy literature to ensure that no agent receives more than her claim, a problem that can arise when using the egalitarian division. We propose an alternative modi cation, by using a convex combination of P and EA. The recursive application of this new rule finishes at the CEA rule. Our solution concept ensures a minimum amount to each agent, and distributes the remaining estate in a proportional way. Keywords: Bankruptcy problems, Proportional rule, Equal Awards, Convex combination of rules, Lorenz dominance. JEL classi fication: C71, D63, D71.