Como desenvolver nos alunos a capacidade de demonstrar

O novo Programa de Matemática do Ensino Básico dá um especial destaque à demonstração no 3.º Ciclo, integrando-a numa das capacidades transversais, o raciocínio matemático, e enquadrando-a num processo que se vai desenvolvendo desde os primeiros anos de escolaridade. Pressupõe-se portanto que a sua abordagem deverá ser transversal a todos os domínios temáticos. Nele refere-se que no “fim do 3.º ciclo, os alunos devem ser capazes de distinguir entre raciocínio indutivo e dedutivo e reconhecer diferentes métodos de demonstração” (p. 8). A investigação desenvolvida por Margarida Rodrigues que contou com a participação de Elvira Santos evidencia a importância do papel do professor na negociação com os alunos da necessidade da demonstração na aula de Matemática e do seu significado. Propomo-nos partilhar alguns resultados dessa investigação, centrando a nossa atenção nos aspectos a atender na acção didáctica do professor em estreita relação com as funções da demonstração.

O papel das funções da demonstração no desenvolvimento dos esquemas demonstrativos dos alunos

Este artigo foca a problemática da demonstração na matemática escolar. Apresenta parte de um estudo que teve como objetivo identificar as formas como os alunos validam os resultados matemáticos, relacionando-as com a prática social desenvolvida na aula. O estudo situa-se num paradigma interpretativo e, focando-se nos significados dos participantes— uma turma de 9.º ano, de onde foi selecionado um grupo de quatro alunos para alvo de registo vídeo e áudio, e a respetiva professora—, foi orientado pelas seguintes questões: 1) qual a natureza da demonstração no contexto escolar?, 2) qual o papel da demonstração na atividade matemática escolar?, e 3) como se relaciona a concretização da demonstração com a prática social desenvolvida na aula de Matemática? Os resultados discutidos no presente artigo reportam-se ao papel das funções da demonstração na evolução dos alunos para a utilização de esquemas demonstrativos dedutivos, quer nas situações pautadas pela existência de uma fase de conjeturação quer nas situações caracterizadas pela ausência de conjeturação.

Práticas de ensino supervisionadas do 1º e 2º ciclo do ensino básico: a prática de resolução de problemas na aquisição do conceito de comprimento e de perímetro no 3.º ano de escolaridade

Relatório final apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Ensino do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico

Dificuldades de aprendizagem na leitura e na escrita: o contributo de jogos eletrónicos na motivação e na aprendizagem

Projeto de Intervenção apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Educação Especial, Especialização em Problemas de Aprendizagem e Comportamento

“Aprender é ocupar o cérebro com coisas essenciais” - conceções de ensino e aprendizagem no 1.º ciclo do ensino básico

Relatório de Estágio apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Ensino do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico

Desenvolvendo a comunicação matemática

Relatório de Estágio apresentado à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Ensino do 1º e 2º ciclo do Ensino Básico

Raciocínio quantitativo aditivo de alunos de 2.º ano: a importância das representações

Neste artigo, pretendemos identificar tipos de representação usados pelos alunos na resolução de duas tarefas que apresentam problemas de transformação, e através da sua análise, discutir o seu papel bem como alguns dos aspetos do raciocínio quantitativo aditivo dos alunos. Começando por discutir o que se entende por raciocínio quantitativo aditivo e por representação matemática, apresentamos depois alguns resultados empíricos no contexto de uma experiência de ensino desenvolvida numa escola pública. Os resultados evidenciam a complexidade inerente ao raciocínio inversivo presente nas duas situações propostas aos alunos. A maioria dos alunos utiliza preferencialmente a representação simbólica, recorrendo também à linguagem oral e escrita como forma de exprimir o significado atribuído às suas resoluções. A representação icónica foi usada apenas por um par de alunos, parecendo ter sido utilizada numa situação inicial de incompreensão do problema, e após registos simbólicos iniciais apagados pelos alunos em causa. O uso da linha numérica vazia e a disposição tabelar constituíram modelos de pensar auxiliando a lidar com a transformação inversa. As representações assumiram um duplo papel, o de serem meios de compreensão do raciocínio dos alunos, e também suportes do desenvolvimento do seu pensamento matemático.

Application of neural networks for pavement evaluation

As vias de comunicação são indispensáveis para o desenvolvimento de uma nação, económica e socialmente. Num mundo globalizado, onde tudo deve chegar ao seu destino no menor espaço de tempo, as vias de comunicação assumem um papel vital. Assim, torna-se essencial construir e manter uma rede de transportes eficiente. Apesar de não ser o método mais eficiente, o transporte rodoviário é muitas vezes o mais económico e possibilita o transporte porta-a-porta, sendo em muitos casos o único meio de transporte possível. Por estas razões, o modo rodoviário tem uma quota significativa no mercado dos transportes, seja de passageiros ou mercadorias, tornando-o extremamente importante na rede de transportes de um país. Os países europeus fizeram um grande investimento na criação de extensas redes de estradas, cobrindo quase todo o seu território. Neste momento, começa-se a atingir o ponto onde a principal preocu+ação das entidades gestoras de estradas deixa de ser a construção de novas vias, passando a focar-se na necessidade de manutenção e conservação das vias existentes. Os pavimentos rodoviários, como todas as outras construções, requerem manutenção de forma a garantir bons níveis de serviço com qualidade, conforto e segurança. Devido aos custos inerentes às operações de manutenção de pavimentos, estas devem rigorosamente e com base em critérios científicos bem definidos. Assim, pretende-se evitar intervenções desnecessárias, mas também impedir que os danos se tornem irreparáveis e economicamente prejudiciais, com repercussões na segurança dos utilizadores. Para se estimar a vida útil de um pavimento é essencial realizar primeiro a caracterização estrutural do mesmo. Para isso, torna-se necessário conhecer o tipo de estrutura de um pavimento, nomeadamente a espessura e o módulo de elasticidade constituintes. A utilização de métodos de ensaio não destrutivos é cada vez mais reconhecida como uma forma eficaz para obter informações sobre o comportamento estrutural de pavimentos. Para efectuar estes ensaios, existem vários equipamentos. No entanto, dois deles, o Deflectómetro de Impacto e o Radar de Prospecção, têm demonstrado ser particularmente eficientes para avaliação da capacidade de carga de um pavimento, sendo estes equipamentos utilizados no âmbito deste estudo. Assim, para realização de ensaios de carga em pavimentos, o equipamento Deflectómetro de Impacto tem sido utilizado com sucesso para medir as deflexões à superfície de um pavimento em pontos pré-determinados quando sujeito a uma carga normalizada de forma a simular o efeito da passagem da roda de um camião. Complementarmente, para a obtenção de informações contínuas sobre a estrutura de um pavimento, o equipamento Radar de Prospecção permite conhecer o número de camadas e as suas espessuras através da utilização de ondas electromagnéticas. Os dados proporcionam, quando usados em conjunto com a realização de sondagens à rotação e poços em alguns locais, permitem uma caracterização mais precisa da condição estrutural de um pavimento e o estabelecimento de modelos de resposta, no caso de pavimentos existentes. Por outro lado, o processamento dos dados obtidos durante os ensaios “in situ” revela-se uma tarefa morosa e complexa. Actualmente, utilizando as espessuras das camadas do pavimento, os módulos de elasticidade das camadas são calculados através da “retro-análise” da bacia de deflexões medida nos ensaios de carga. Este método é iterativo, sendo que um engenheiro experiente testa várias estruturas diferentes de pavimento, até se obter uma estrutura cuja resposta seja o mais próximo possível da obtida durante os ensaios “in Situ”. Esta tarefa revela-se muito dependente da experiência do engenheiro, uma vez que as estruturas de pavimento a serem testadas maioritariamente do seu raciocínio. Outra desvantagem deste método é o facto de apresentar soluções múltiplas, dado que diferentes estruturas podem apresentar modelos de resposta iguais. A solução aceite é, muitas vezes, a que se julga mais provável, baseando-se novamente no raciocínio e experiência do engenheiro. A solução para o problema da enorme quantidade de dados a processar e das múltiplas soluções possíveis poderá ser a utilização de Redes Neuronais Artificiais (RNA) para auxiliar esta tarefa. As redes neuronais são elementos computacionais virtuais, cujo funcionamento é inspirado na forma como os sistemas nervosos biológicos, como o cérebro, processam a informação. Estes elementos são compostos por uma série de camadas, que por sua vez são compostas por neurónios. Durante a transmissão da informação entre neurónios, esta é modificada pela aplicação de um coeficiente, denominado “peso”. As redes neuronais apresentam uma habilidade muito útil, uma vez que são capazes de mapear uma função sem conhecer a sua fórmula matemática. Esta habilidade é utilizada em vários campos científicos como o reconhecimento de padrões, classificação ou compactação de dados. De forma a possibilitar o uso desta característica, a rede deverá ser devidamente “treinada” antes, processo realizado através da introdução de dois conjuntos de dados: os valores de entrada e os valores de saída pretendidos. Através de um processo cíclico de propagação da informação através das ligações entre neurónios, as redes ajustam-se gradualmente, apresentando melhores resultados. Apesar de existirem vários tipos de redes, as que aparentam ser as mais aptas para esta tarefa são as redes de retro-propagação. Estas possuem uma característica importante, nomeadamente o treino denominado “treino supervisionado”. Devido a este método de treino, as redes funcionam dentro da gama de variação dos dados fornecidos para o “treino” e, consequentemente, os resultados calculados também se encontram dentro da mesma gama, impedindo o aparecimento de soluções matemáticas com impossibilidade prática. De forma a tornar esta tarefa ainda mais simples, foi desenvolvido um programa de computador, NNPav, utilizando as RNA como parte integrante do seu processo de cálculo. O objectivo é tornar o processo de “retro-análise” totalmente automático e prevenir erros induzidos pela falta de experiência do utilizador. De forma a expandir ainda mais as funcionalidades do programa, foi implementado um processo de cálculo que realiza uma estimativa da capacidade de carga e da vida útil restante do pavimento, recorrendo a dois critérios de ruína. Estes critérios são normalmente utilizados no dimensionamento de pavimentos, de forma a prevenir o fendilhamento por fadiga e as deformações permanentes. Desta forma, o programa criado permite a estimativa da vida útil restante de um pavimento de forma eficiente, directamente a partir das deflexões e espessuras das camadas, medidas nos ensaios “in situ”. Todos os passos da caracterização estrutural do pavimento são efectuados pelo NNPav, seja recorrendo à utilização de redes neuronais ou a processos de cálculo matemático, incluindo a correcção do módulo de elasticidade da camada de misturas betuminosas para a temperatura de projecto e considerando as características de tráfego e taxas de crescimento do mesmo. Os testes efectuados às redes neuronais revelaram que foram alcançados resultados satisfatórios. Os níveis de erros na utilização de redes neuronais são semelhantes aos obtidos usando modelos de camadas linear-elásticas, excepto para o cálculo da vida útil com base num dos critérios, onde os erros obtidos foram mais altos. No entanto, este processo revela-se bastante mais rápido e possibilita o processamento dos dados por pessoal com menos experiência. Ao mesmo tempo, foi assegurado que nos ficheiros de resultados é possível analisar todos os dados calculados pelo programa, em várias fases de processamento de forma a permitir a análise detalhada dos mesmos. A possibilidade de estimar a capacidade de carga e a vida útil restante de um pavimento, contempladas no programa desenvolvido, representam também ferramentas importantes. Basicamente, o NNPav permite uma análise estrutural completa de um pavimento, estimando a sua vida útil com base nos ensaios de campo realizados pelo Deflectómetro de Impacto e pelo Radar de Prospecção, num único passo. Complementarmente, foi ainda desenvolvido e implementado no NNPav um módulo destinado ao dimensionamento de pavimentos novos. Este módulo permite que, dado um conjunto de estruturas de pavimento possíveis, seja estimada a capacidade de carga e a vida útil daquele pavimento. Este facto permite a análise de uma grande quantidade de estruturas de pavimento, e a fácil comparação dos resultados no ficheiro exportado. Apesar dos resultados obtidos neste trabalho serem bastante satisfatórios, os desenvolvimentos futuros na aplicação de Redes Neuronais na avaliação de pavimentos são ainda mais promissores. Uma vez que este trabalho foi limitado a uma moldura temporal inerente a um trabalho académico, a possibilidade de melhorar ainda mais a resposta das RNA fica em aberto. Apesar dos vários testes realizados às redes, de forma a obter as arquitecturas que apresentassem melhores resultados, as arquitecturas possíveis são virtualmente ilimitadas e pode ser uma área a aprofundar. As funcionalidades implementadas no programa foram as possíveis, dentro da moldura temporal referida, mas existem muitas funcionalidades a serem adicinadas ou expandidas, aumentando a funcionalidade do programa e a sua produtividade. Uma vez que esta é uma ferramenta que pode ser aplicada ao nível de gestão de redes rodoviárias, seria necessário estudar e desenvolver redes similares de forma a avaliar outros tipos de estruturas de pavimentos. Como conclusão final, apesar dos vários aspectos que podem, e devem ser melhorados, o programa desenvolvido provou ser uma ferramenta bastante útil e eficiente na avaliação estrutural de pavimentos com base em métodos de ensaio não destrutivos.

A explicitação do raciocínio na resolução de problemas no 2º ciclo do ensino básico: contributos para o desenvolvimento das competências orais e escritas

Dissertação apresentada à Escola Superior de Educação de Lisboa para a obtenção de grau de Mestre em Didática da Língua Portuguesa no 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico

Cálculo flexível e o raciocínio quantitativo aditivo em alunos dos 1.º e 2.º anos

Esta comunicação insere-se no Projeto “Pensamento numérico e cálculo flexível: Aspetos críticos”. Começa por discutir o que se entende por flexibilidade de cálculo e raciocínio quantitativo aditivo, discutindo depois os resultados de entrevistas individuais realizadas com quatro alunos (dois do 1.º ano e dois do 2.º ano) quando lhes foram propostas tarefas onde aqueles aspetos estavam presentes. Trata-se de um estudo exploratório cujo principal objetivo é compreender o raciocínio dos alunos quando resolvem tarefas numéricas envolvendo situações aditivas, e ainda identificar aspetos associados à flexibilidade de cálculo e ao raciocínio quantitativo. Os resultados mostram que, no caso dos alunos do 1.º ano, o seu desempenho parece estar relacionado com o seu desenvolvimento do sentido do número e com as relações que dominam. Para os alunos do 2.º ano, o raciocínio inversivo constituiu um aspeto crítico, que conseguiram mobilizar depois de superadas as dificuldades iniciais. Os resultados sugerem, ainda, que estes alunos concebem a diferença como uma relação invariante numérica.

A emergência do número fracionário no contexto da divisão de inteiros: um contributo para o conhecimento matemático de Futuros professores dos 1.º e 2.º ciclos do ensino básico

Este texto tem como propósito contribuir para a valorização, no seio da Educação Matemática, do desenvolvimento do conhecimento matemático dos futuros professores dos 1.º e 2.º ciclos, no contexto da formação inicial. Foco-me na emergência do número fracionário no contexto da divisão de números inteiros com a preocupação de aprofundar o sentido de número racional e a compreensão da divisão, conceitos estruturantes do programa de Matemática do Ensino Básico. O tópico programático “Números racionais”, além de ter fundamental importância no desenvolvimento matemático dos alunos do Ensino Básico, representa para muitos estudantes, futuros professores, uma grande dificuldade conceptual e didática. Justifica-se, portanto, que continue a ser-lhe dada muita atenção na formação inicial, além do desenvolvimento de estudos a ele inerentes. Com um exemplo de medida de uma grandeza, contextualizo a necessidade de criar o número fracionário e identifico o problema aritmético a ela associado. Assim, partindo de situações de partilha equitativa e de medida que envolvem variáveis discretas para enquadrar a operação divisão como modelo matemático, apresento a evolução do conceito de número ligada à superação da impossibilidade de, no universo dos números inteiros, determinar o quociente de um dividendo que não é múltiplo do divisor. O conceito de número fracionário aparece como instrumento da superação e ligado ao significado de fração enquanto quociente. Se este artigo contribuir para uma adequada articulação entre o desenvolvimento dos conhecimentos matemático e didático tão necessário ao ensino da Matemática satisfará o principal objetivo que me propus atingir.

O conhecimento matemático dos estudantes no início da licenciatura em educação básica: um projeto envolvendo três escolas superiores de educação

O novo modelo de formação inicial (Decreto-Lei 43/2007) exige que os futuros professores do 1.º e 2.º ciclos do ensino básico e os futuros educadores de infância façam pelo menos 30 ECTS de formação em Matemática na Licenciatura em Educação Básica (LEB), mas a forma e o conteúdo desta formação é da responsabilidade de cada instituição, que define as unidades curriculares, o seu conteúdo e a forma como são lecionadas. Sabe-se que, para além do conteúdo, a forma como o professor aprende tem uma forte influência na forma como vai ensinar. Assim, todos estes aspetos precisam de ser discutidos, tendo por base a investigação já realizada em Portugal e noutros países. Partindo da assunção de que o conhecimento do professor constitui um fator decisivo na interpretação e implementação do currículo e da necessidade de uma discussão alargada de qual deverá ser o conteúdo da formação em Matemática na LEB, as Escolas Superiores de Educação de Lisboa, de Viana do Castelo e de Viseu iniciaram um projeto de investigação que tem como principal objetivo compreender de que modo a formação inicial contribui para o desenvolvimento do conhecimento do professor em Matemática e em Ensino da Matemática e como pode este ser promovido. Uma das questões que o projeto visa investigar é que conhecimento de conteúdo matemático têm os estudantes quando iniciam o curso da LEB.Para caracterizar o conhecimento matemático dos estudantes da LEB, à entrada no curso, foi elaborado um teste diagnóstico, que foi aplicado nas três Escolas Superiores de Educação, em outubro de 2011, a todos os alunos a iniciar o 1.º ano, num total de 268: 143 em Lisboa, 51 em Viseu e 74 em Viana do Castelo. Neste artigo é apresentada uma análise dos principais resultados deste teste bem como as questões e dilemas que aqueles resultados nos colocam.

Representações: janelas para a compreensão do raciocínio estatístico de crianças de 5 e 6 anos

Este artigo apresenta parte de um estudo que se encontra a decorrer e que visa compreender como se caracteriza o raciocínio estatístico de crianças de 5 e 6 anos. O artigo apresenta a interpretação do raciocínio estatístico revelado pelas crianças através da análise das suas representações. Começamos por discutir teoricamente o conceito de raciocínio estatístico, os princípios inerentes a um ambiente de aprendizagem que favoreça o seu desenvolvimento e o papel das representações, especificando depois as características do trabalho em Organização e Tratamento de Dados na educação pré-escolar. O estudo segue uma abordagem de natureza qualitativa sob um paradigma interpretativo e a recolha de dados realizou-se em 2015 através da observação participante e da análise documental. Os resultados preliminares aqui apresentados sugerem que a maioria do grupo de crianças reconhece as diferentes formas de representação dos dados, identifica os seus nomes e sabe explicar as diferentes representações. No âmbito de um pequeno projeto de investigação estatística, as crianças atenderam às suas diferentes fases, mostrando-se capazes de representar e interpretar dados recolhidos por si. Algumas das crianças preocuparam-se em organizar os dados no momento da sua recolha, classificando-os, sendo que uma delas organizou os dados, de modo espontâneo, numa tabela de frequências. As crianças evidenciaram um raciocínio estatístico sobre os dados e sobre a sua representação.

Conhecimento dos professores de 1º ciclo sobre educação estatística

Dissertação apresentada para obtenção do grau de Mestre em Educação Matemática na Educação Pré-Escolar e nos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico na especialidade de Didáctica da Matemática

A geometria na formação inicial de professores: contributos para a caracterização dos estudantes

Dissertação apresentada para obtenção do grau de Mestre em Educação Matemática na Educação Pré-Escolar e nos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico