Reasoning and proof in classroom (9th grade)

This paper is research oriented and pretends to contribute toward giving empirical evidence about how students develop their reasoning and how they achieved to a proof construction in school context. Its main theme is epistemology. It describes the way in which four students in 9th Grade explored a task related with the discovery of symmetry axes in various geometric figures. The proof constructed by students had essentially an explaining function and it was related with the symmetry axes of regular polygons. The teacher’s role in meaning negotiation of the proof and its need is described through illustrative episodes. The paper presents part of a study which purpose is to analyse the nature of mathematical proof in classroom, its role and the nature of the relationship between the construction of a proof and the social interactions. Assuming a social perspective, attention is focussed on the social construction of knowledge and on the structuring resources that shape mathematical experience. The study’s methodology has an interpretative nature. One outcome of the study discussed here is that students develop first a practical understanding with no awareness of the reasons founding mathematical statements and after a theoretical one leading them to a proof elaboration.

O desenvolvimento do conceito de área: um estudo com alunos do 3.º ano de escolaridade

O objetivo desta investigação é compreender como é que alunos do 3.º ano de escolaridade desenvolvem o conceito de área com ênfase em conhecimentos sobre figuras e propriedades geométricas. Para melhor objetivar o estudo, formulei três questões que orientaram a investigação. Pretendo (1) compreender como é que os alunos mobilizam conhecimentos sobre as propriedades das figuras geométricas no estudo da área de uma figura plana? A que estratégias recorrem? Que dificuldades sentem? (2) que compreensão é que os alunos têm sobre o processo de medição? e (3) que ideias e/ou experiências são relevantes no desenvolvimento do conceito de área? Este é um estudo que se insere no paradigma interpretativo e que segue uma abordagem qualitativa, pelo que não visa generalização de resultados, mas uma descrição compreensiva dos processos vivenciados, tendo em conta os contextos pessoais e sociais. Optei por realizar dois Estudos de Caso. Os dados foram recolhidos através de fontes diversificadas, donde se destacam a observação participante e a análise de registos audiovisuais e escritos dos alunos. A análise dos dados teve por referência categorias criadas com base em contributos da literatura de referência. As conclusões desta investigação centram-se numa análise acerca das estratégias a que os alunos em estudo tendencialmente mais recorrem, visando também algumas das suas dificuldades mais relevantes e sobre as quais importa refletir. Destaca-se que ambos os alunos foram capazes de recorrer a raciocínios baseados e não baseados na medida, embora seja evidente uma tendência para raciocínios baseados na medida. É igualmente importante referir que os dois alunos revelaram um bom conhecimento acerca do processo de medição, mesmo quando ele implicava a definição de uma unidade de medida adequada e/ou mudança de unidade. É dado, também, destaque às experiências matemáticas que devem ser proporcionadas aos alunos no sentido do desenvolvimento de um conhecimento amplo e flexível do conceito de área. - Abstract The purpose of this investigation is to understand the development of 3rd year students’ concept of area based on their knowledge of geometrical properties and figures. As means to orientate the present study, the following investigation questions were formulated: 1) how do students use their knowledge about geometrical properties in order to understand geometrical shape’s areas? Which strategies do they use? What do they struggle with? (2) What is their understanding about measurement? And (3) what are the most relevant mathematical reasonings and classroom tasks in the development of the concept of area? This is a study that follows a qualitative approach: it does not intend to be a generalization, but a fully comprehensive description of the witnessed learning processes, bearing in mind the social and personal contexts. As such, two study-cases were developed. The data were collected through various sources, such as direct observation and analysis of audiovisual records or written worksheets. The scrutiny of the generated data was undertaken following criteria based on the literature of reference. The conclusions of this investigation are centered on the most used strategies as well as the students’ difficulties upon which it is important to discuss. It was noticed that the two students were able to use both measurement and non measurement thinking – although, preferably, they tend to use the first one. On the other hand, it is equally demonstrated that the two students have shown good acquaintance about measurement, even if obliged to the establishment of a suitable unit of measurement and/or change of units. At last, it is also referred which mathematical classroom tasks are important to develop a sustained and comprehensive concept of area.

Atividades de investigação em Geometria: uma experiência no 2º ano de escolaridade

Dissertação apresentada à Escola Superior de Educação de Lisboa para obtenção de grau de mestre em Ciências da Educação, especialidade Educação Matemática na Educação Pré-Escolar e nos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico

Análise dos parâmetros de qualidade das imagens de verificação em radioterapia aplicada a patologias de cabeça e pescoço

Mestrado em Radiações Aplicadas às Tecnologias da Saúde - Área de especialização: Terapia com Radiações.

Fibras óticas de plástico em redes de acesso

Trabalho Final de Mestrado para obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Eletrónica e Telecomunicações

A escola portuguesa ao serviço do Estado Novo: as lições de história de Portugal do boletim do ensino primário oficial e o projeto ideológico do salazarismo

O presente ensaio considera o Boletim da Direção Geral do Ensino Primário, Escola Portuguesa, como um importante meio de comunicação da política educativa do Estado Novo junto do professorado primário, com objetivos de orientação e inculcação ideológica. Uma análise do lugar ocupado pela História de Portugal nas páginas da Escola Portuguesa é esboçada para o período compreendido entre 1934 e 1946. Os acontecimentos e as figuras da História portuguesa que são usados como elementos estruturantes do discurso políticoideológico do Salazarismo são identificados. Estas práticas discursivas têm como principais objetivos a legitimação do regime e a operacionalização do seu programa político junto dos agentes educativos, alunos e comunidade local.

Desenvolvimento do conceito de ângulo: um estudo no 5.ºano de escolaridade

A investigação em curso visa compreender a influência da implementação de um conjunto de tarefas no desenvolvimento do conceito de ângulo em alunos do 5.º ano de escolaridade, procurando responder às seguintes questões: a) Que conceções revelam alunos do 5.º ano de escolaridade relativamente ao conceito de ângulo?; b) Que estratégias utilizam os alunos do 5.º ano de escolaridade na exploração das tarefas utilizadas?; e c) Que aspetos do conceito de ângulo são desenvolvidos pelos alunos através da realização das tarefas propostas? A presente comunicação incide na primeira questão do estudo. Optou-se por uma abordagem metodológica qualitativa de paradigma interpretativo com a modalidade de experiência de ensino. Selecionou-se quatro alunos para constituir o grupo-alvo. Procedeu-se à avaliação diagnóstica das conceções de ângulo dos quatro alunos através da realização, no 1.º Período do ano letivo de 2011/12, de entrevistas clínicas semiestruturadas individuais, gravadas em vídeo. Além das entrevistas, foram usadas, como técnicas de recolha de dados, a observação participante das aulas, videogravadas, bem como a análise de documentos. Para analisar os dados, foram elaboradas categorias analíticas. Os resultados relativos à avaliação diagnóstica evidenciam conceções erradas de ângulo e respetiva amplitude: (a) os ângulos são os lados de polígonos (1 aluna); (b) o comprimento dos segmentos representativos dos lados está relacionado com o tamanho dos ângulos (2 alunos); (c) o comprimento do arco marcando o ângulo está relacionado com o tamanho dos ângulos (3 alunos); (d) nos polígonos côncavos, sãoângulos apenas os de amplitude inferior a 1800 (3 alunos); (e) em figuras que não são polígonos, os ângulos são os espaços entre os segmentos de reta e as linhas curvas (1 aluno); (f) o ângulo é a área entre dois segmentos representativos dos lados (4 alunos); e (g) os ângulos retos são apenas os posicionados na posição usual horizontal/vertical (1 aluna).