Positive solutions for parametric Dirichlet problems with indefinite potential and superdiffusive reaction

We consider a parametric semilinear Dirichlet problem driven by the Laplacian plus an indefinite unbounded potential and with a reaction of superdifissive type. Using variational and truncation techniques, we show that there exists a critical parameter value λ_{∗}>0 such that for all λ> λ_{∗} the problem has least two positive solutions, for λ= λ_{∗} the problem has at least one positive solutions, and no positive solutions exist when λ∈(0,λ_{∗}). Also, we show that for λ≥ λ_{∗} the problem has a smallest positive solution.

Nonlinear, nonhomogeneous parametric Neumann problems

We consider a parametric nonlinear Neumann problem driven by a nonlinear nonhomogeneous differential operator and with a Caratheodory reaction $f\left( t,x\right) $ which is $p-$superlinear in $x$ without satisfying the usual in such cases Ambrosetti-Rabinowitz condition. We prove a bifurcation type result describing the dependence of the positive solutions on the parameter $\lambda>0,$ we show the existence of a smallest positive solution $\overline{u}_{\lambda}$ and investigate the properties of the map $\lambda\rightarrow\overline{u}_{\lambda}.$ Finally we also show the existence of nodal solutions.

Implicit optimality criterion for convex SIP problem with box constrained index set

We consider a convex problem of Semi-Infinite Programming (SIP) with multidimensional index set. In study of this problem we apply the approach suggested in [20] for convex SIP problems with one-dimensional index sets and based on the notions of immobile indices and their immobility orders. For the problem under consideration we formulate optimality conditions that are explicit and have the form of criterion. We compare this criterion with other known optimality conditions for SIP and show its efficiency in the convex case.

Optimal control and numerical optimization applied to epidemiological models

A relação entre a epidemiologia, a modelação matemática e as ferramentas computacionais permite construir e testar teorias sobre o desenvolvimento e combate de uma doença. Esta tese tem como motivação o estudo de modelos epidemiológicos aplicados a doenças infeciosas numa perspetiva de Controlo Ótimo, dando particular relevância ao Dengue. Sendo uma doença tropical e subtropical transmitida por mosquitos, afecta cerca de 100 milhões de pessoas por ano, e é considerada pela Organização Mundial de Saúde como uma grande preocupação para a saúde pública. Os modelos matemáticos desenvolvidos e testados neste trabalho, baseiam-se em equações diferenciais ordinárias que descrevem a dinâmica subjacente à doença nomeadamente a interação entre humanos e mosquitos. É feito um estudo analítico dos mesmos relativamente aos pontos de equilíbrio, sua estabilidade e número básico de reprodução. A propagação do Dengue pode ser atenuada através de medidas de controlo do vetor transmissor, tais como o uso de inseticidas específicos e campanhas educacionais. Como o desenvolvimento de uma potencial vacina tem sido uma aposta mundial recente, são propostos modelos baseados na simulação de um hipotético processo de vacinação numa população. Tendo por base a teoria de Controlo Ótimo, são analisadas as estratégias ótimas para o uso destes controlos e respetivas repercussões na redução/erradicação da doença aquando de um surto na população, considerando uma abordagem bioeconómica. Os problemas formulados são resolvidos numericamente usando métodos diretos e indiretos. Os primeiros discretizam o problema reformulando-o num problema de optimização não linear. Os métodos indiretos usam o Princípio do Máximo de Pontryagin como condição necessária para encontrar a curva ótima para o respetivo controlo. Nestas duas estratégias utilizam-se vários pacotes de software numérico. Ao longo deste trabalho, houve sempre um compromisso entre o realismo dos modelos epidemiológicos e a sua tratabilidade em termos matemáticos.