A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

Regularity of Wiener-Hopf plus Hankel operators

In this thesis we consider Wiener-Hopf-Hankel operators with Fourier symbols in the class of almost periodic, semi-almost periodic and piecewise almost periodic functions. In the first place, we consider Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2 Lebesgue spaces with possibly different Fourier matrix symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators. In the second place, we consider these operators with equal Fourier symbols and acting between weighted Lebesgue spaces Lp(R;w), where 1 < p < 1 and w belongs to a subclass of Muckenhoupt weights. In addition, singular integral operators with Carleman shift and almost periodic coefficients are also object of study. The main purpose of this thesis is to obtain regularity properties characterizations of those classes of operators. By regularity properties we mean those that depend on the kernel and cokernel of the operator. The main techniques used are the equivalence relations between operators and the factorization theory. An invertibility characterization for the Wiener-Hopf-Hankel operators with symbols belonging to the Wiener subclass of almost periodic functions APW is obtained, assuming that a particular matrix function admits a numerical range bounded away from zero and based on the values of a certain mean motion. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2-spaces and with possibly different AP symbols, criteria for the semi-Fredholm property and for one-sided and both-sided invertibility are obtained and the inverses for all possible cases are exhibited. For such results, a new type of AP factorization is introduced. Singular integral operators with Carleman shift and scalar almost periodic coefficients are also studied. Considering an auxiliar and simpler operator, and using appropriate factorizations, the dimensions of the kernels and cokernels of those operators are obtained. For Wiener-Hopf-Hankel operators with (possibly different) SAP and PAP matrix symbols and acting between L2-spaces, criteria for the Fredholm property are presented as well as the sum of the Fredholm indices of the Wiener-Hopf plus Hankel and Wiener-Hopf minus Hankel operators. By studying dependencies between different matrix Fourier symbols of Wiener-Hopf plus Hankel operators acting between L2-spaces, results about the kernel and cokernel of those operators are derived. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between weighted Lebesgue spaces, Lp(R;w), a study is made considering equal scalar Fourier symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators and belonging to the classes of APp;w, SAPp;w and PAPp;w. It is obtained an invertibility characterization for Wiener-Hopf plus Hankel operators with APp;w symbols. In the cases for which the Fourier symbols of the operators belong to SAPp;w and PAPp;w, it is obtained semi-Fredholm criteria for Wiener-Hopf-Hankel operators as well as formulas for the Fredholm indices of those operators.

Manuais e transversalidade da língua portuguesa na leitura: um estudo no ensino básico

Numa Sociedade do Conhecimento como a nossa, a leitura é de importância capital para o exercício efetivo da cidadania e a Escola é um dos espaços privilegiados para a formação de leitores competentes. Conhecido o deficiente domínio da compreensão leitora evidenciado pela população portuguesa em geral e pelos estudantes em particular, é necessário repensar as práticas pedagógico-didáticas associadas ao ensino e aprendizagem da compreensão na leitura e convertê-las em instrumentos de motivação para a leitura e de aquisição e desenvolvimento de competências neste domínio e não reduzi-la a uma mera aprendizagem escolar. Enquadrado pela evolução da epistemologia científica e pelo seu impacto no desenho atual da Didática de Línguas, este estudo visa contribuir para a implementação de um ensino/aprendizagem da língua portuguesa efetivamente direcionado para o desenvolvimento de competências transversais em compreensão na leitura. Para o fundamentar teoricamente e para melhor podermos analisar e problematizar os dados a recolher, procurámos compreender as características da sociedade atual e os desafios que lança à Escola, bem como as linhas de base da atual conceção de Educação e sua relação com os atuais contextos sociais. Refletimos também sobre o estatuto e papel da língua portuguesa no contexto do sistema de ensino português, a importância da compreensão na leitura numa abordagem transversal do ensino e da aprendizagem da língua portuguesa e o papel do manual escolar na motivação para a leitura e na aquisição e desenvolvimento de competências neste domínio. Através da análise de manuais de Língua Portuguesa para os três ciclos do Ensino Básico, procurámos determinar em que medida estes vão ao encontro das diretrizes que definem um ensino/aprendizagem da língua portuguesa orientado para o desenvolvimento de competências transversais em compreensão na leitura e definir princípios que possam contribuir para a sua transformação, tornando-os mais adequados à consecução desses objetivos. Os mesmos princípios poderão promover e fundamentar uma seleção mais criteriosa dos manuais a adotar. Do ponto de vista metodológico, estamos perante um estudo de natureza qualitativa. Recorremos à análise documental, como técnica de recolha de dados, e, para a levar a cabo, construímos uma grelha, tendo em conta os princípios definidos pela literatura da especialidade e as diretrizes propostas pela política educativa portuguesa para o desenvolvimento de competências transversais em compreensão na leitura. Para o tratamento dos dados, recorremos à análise de conteúdo. Os resultados obtidos demonstram que, de um modo geral, os projetos editoriais analisados promovem um paradigma de ensino da compreensão na leitura que condiciona a consciência, o sentido crítico e a criatividade dos sujeitos-leitores e que não dá resposta às expectativas sociais. Para que os manuais de Língua Portuguesa contribuam efetivamente para o desenvolvimento de competências transversais em compreensão na leitura, o seu ensino explícito não deve centrar-se só nos textos literários, nem na transmissão de interpretações consagradas destes, que os alunos têm de memorizar. Deverão antes apostar mais em estratégias didáticas concretizadas através de atividades que envolvam os alunos em situações de leitura mais próximas da vida quotidiana, em que estes possam desempenhar um papel mais ativo, assumir maior responsabilidade no seu próprio processo de aprendizagem e interagir com diversos tipos de textos, para assim adquirirem estratégias de leitura adequadas e saberem mobilizá-las e utilizálas de acordo com as circunstâncias concretas em questão.

Characterization of the glial scar tissue in a murine model of spinal cord compression, with focus on hyaluronan

Spinal cord injury (SCI) is a devastating neurological disorder that affects thousands of people each year. Although in recent decades significant progress has been made in relation to understanding the molecular and cellular events underlying the nervous damage, spinal cord injury is still a highly disabling condition for which there is no curative therapy. People affected by spinal cord injuries manifested dysfunction or loss, temporary or permanent, of motor, sensory and / or autonomic functions depending on the spinal lesion damaged. Currently, the incidence rate of this type of injury is approximately 15-40 cases per million people worldwide. At the origin of these lesions are: road accidents, falls, interpersonal violence and the practice of sports. In this work we placed the hypothesis that HA is one of the component of the scar tissue formed after a compressive SCI, that it is likely synthetised by the perilesional glial cells and that it might support the permeation of the glial scar during the late phase of SCI. Nowadays, much focus is drawn on the recovery of CNS function, made impossible after SCI due to the high content of sulfated proteoglycans in the extracellular matrix. Counterbalancing the ratio between these proteoglycans and hyaluronic acid could be one of the experimental therapy to re-permeate the glial scar tissue formed after SCI, making possible axonal regrowth and functional recovery. Therefore, we established a model of spinal cord compression in mice and studied the glial scar tissue, particularly through the characterization of the expression of enzymes related to the metabolism of HA and the subsequent concentration thereof at different distances of the lesion epicenter. Our results show that the lesion induced in mice shows results similar to those produced in human lesions, in terms of histologic similarities and behavioral results. but these animals demonstrate an impressive spontaneous reorganization mechanism of the spinal cord tissue that occurs after injury and allows for partial recovery of the functions of the CNS. As regards the study of the glial scar, changes were recorded at the level of mRNA expression of enzymes metabolizing HA i.e., after injury there was a decreased expression of HA synthases 1-2 (HAS 1-2) and an increase of the expression HAS3 synthase mRNA, as well as the enzymes responsible for the HA catabolism, HYAL 1-2. But the amount of HA measured through the ELISA test was found unchanged after injury, it is not possible to explain this fact only with the change of expression of enzymes. At two weeks and in response to SCI, we found synthesized HA by reactive astrocytes and probably by others like microglial cells as it was advanced by the HA/GFAP+ and HA/IBA1+ cells co-location.