A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

Física e contemporaneidade no ensino secundário: um contributo no âmbito da formação de professores

O presente trabalho versa a problemática da abordagem da Física Moderna e Contemporânea (FMC) no Ensino Secundário no quadro dos desafios que se colocam à educação científica actual. Num mundo em mudança em que o futuro não está garantido, o esforço educativo deve incluir a dimensão da importância do conhecimento na transformação dos indivíduos com vista à intervenção. A literatura tem apresentado a transposição para a sala de aula da Física desenvolvida ao longo do século XX, como relevante neste domínio. Esta relevância prende-se com a actualidade do conhecimento, com a associação a grande parte da tecnologia actual e ainda com a ligação ao conhecimento mais profundo da natureza e, supostamente, ao sentido do universo. Porém, uma escola de cariz essencialmente transmissivo e desencorajadora de itinerâncias pessoais, tornará muito limitativa a referida transposição. Vários são os constrangimentos da abordagem da FMC neste nível de ensino. Trata-se de um conhecimento contra-intuitivo, que suscita interpretações diversificadas e que se desenvolve formalmente com base em ferramentas matemáticas, em grande parte, não acessíveis a alunos do Ensino Secundário. A formação de professores é uma vertente essencial dentro desta problemática, podendo ser considerada, em muitos casos, deficiente ou desadequada por via do mesmo tipo de constrangimentos referidos. Este trabalho propõe-se estudar as possibilidades e potencialidades da formação de professores no contexto apresentado, a partir de um cenário alternativo que consideramos inovador. Para isso foi concebido, implementado e avaliado um Círculo de Estudos no âmbito da formação em FMC. Utilizando uma estratégia de investigação/ acção/ formação, ensaiou-se a integração de uma certa transdisciplinaridade e multidimensionalidade humana num percurso de natureza complexa, procurando-se a emergência a partir da interacção. À partida eram procurados indicadores de construção identitária e desenvolvimento da profissionalidade. Era ainda esperada a participação dos professores formandos na construção de materiais didácticos. Utilizando uma metodologia de cariz qualitativo na tipologia de estudo de caso, os dados foram recolhidos a partir de instrumentos preparados para o efeito como questionários, mas também de outras fontes como textos reflexivos dos professores e materiais didácticos elaborados pelos mesmos. Os resultados obtidos são de dois tipos. Em primeiro lugar mostram que o percurso efectuado produziu alterações ao nível do discurso dos professores, que revela valorização da itinerância e abertura à incerteza na abordagem da FMC, bem como uma maior familiarização com os conceitos. Por outro lado, os materiais de utilização em sala de aula produzidos foram considerados de interesse como contributos didácticos para utilização futura. Pensamos ainda poder afirmar que são apresentados elementos importantes para a definição de um desenho de formação de professores em FMC, com vista a um ensino e a uma aprendizagem pertinentes.