A study of singular integral operators with shift

Nesta tese, consideram-se operadores integrais singulares com a acção extra de um operador de deslocacamento de Carleman e com coeficientes em diferentes classes de funções essencialmente limitadas. Nomeadamente, funções contínuas por troços, funções quase-periódicas e funções possuíndo factorização generalizada. Nos casos dos operadores integrais singulares com deslocamento dado pelo operador de reflexão ou pelo operador de salto no círculo unitário complexo, obtêm-se critérios para a propriedade de Fredholm. Para os coeficientes contínuos, uma fórmula do índice de Fredholm é apresentada. Estes resultados são consequência das relações de equivalência explícitas entre aqueles operadores e alguns operadores adicionais, tais como o operador integral singular, operadores de Toeplitz e operadores de Toeplitz mais Hankel. Além disso, as relações de equivalência permitem-nos obter um critério de invertibilidade e fórmulas para os inversos laterais dos operadores iniciais com coeficientes factorizáveis. Adicionalmente, aplicamos técnicas de análise numérica, tais como métodos de colocação de polinómios, para o estudo da dimensão do núcleo dos dois tipos de operadores integrais singulares com coeficientes contínuos por troços. Esta abordagem permite também a computação do inverso no sentido Moore-Penrose dos operadores principais. Para operadores integrais singulares com operadores de deslocamento do tipo Carleman preservando a orientação e com funções contínuas como coeficientes, são obtidos limites superiores da dimensão do núcleo. Tal é implementado utilizando algumas estimativas e com a ajuda de relações (explícitas) de equivalência entre operadores. Focamos ainda a nossa atenção na resolução e nas soluções de uma classe de equações integrais singulares com deslocamento que não pode ser reduzida a um problema de valor de fronteira binomial. De forma a atingir os objectivos propostos, foram utilizadas projecções complementares e identidades entre operadores. Desta forma, as equações em estudo são associadas a sistemas de equações integrais singulares. Estes sistemas são depois analisados utilizando um problema de valor de fronteira de Riemann. Este procedimento tem como consequência a construção das soluções das equações iniciais a partir das soluções de problemas de valor de fronteira de Riemann. Motivados por uma grande diversidade de aplicações, estendemos a definição de operador integral de Cauchy para espaços de Lebesgue sobre grupos topológicos. Assim, são investigadas as condições de invertibilidade dos operadores integrais neste contexto.

Regularity of Wiener-Hopf plus Hankel operators

In this thesis we consider Wiener-Hopf-Hankel operators with Fourier symbols in the class of almost periodic, semi-almost periodic and piecewise almost periodic functions. In the first place, we consider Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2 Lebesgue spaces with possibly different Fourier matrix symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators. In the second place, we consider these operators with equal Fourier symbols and acting between weighted Lebesgue spaces Lp(R;w), where 1 < p < 1 and w belongs to a subclass of Muckenhoupt weights. In addition, singular integral operators with Carleman shift and almost periodic coefficients are also object of study. The main purpose of this thesis is to obtain regularity properties characterizations of those classes of operators. By regularity properties we mean those that depend on the kernel and cokernel of the operator. The main techniques used are the equivalence relations between operators and the factorization theory. An invertibility characterization for the Wiener-Hopf-Hankel operators with symbols belonging to the Wiener subclass of almost periodic functions APW is obtained, assuming that a particular matrix function admits a numerical range bounded away from zero and based on the values of a certain mean motion. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between L2-spaces and with possibly different AP symbols, criteria for the semi-Fredholm property and for one-sided and both-sided invertibility are obtained and the inverses for all possible cases are exhibited. For such results, a new type of AP factorization is introduced. Singular integral operators with Carleman shift and scalar almost periodic coefficients are also studied. Considering an auxiliar and simpler operator, and using appropriate factorizations, the dimensions of the kernels and cokernels of those operators are obtained. For Wiener-Hopf-Hankel operators with (possibly different) SAP and PAP matrix symbols and acting between L2-spaces, criteria for the Fredholm property are presented as well as the sum of the Fredholm indices of the Wiener-Hopf plus Hankel and Wiener-Hopf minus Hankel operators. By studying dependencies between different matrix Fourier symbols of Wiener-Hopf plus Hankel operators acting between L2-spaces, results about the kernel and cokernel of those operators are derived. For Wiener-Hopf-Hankel operators acting between weighted Lebesgue spaces, Lp(R;w), a study is made considering equal scalar Fourier symbols in the Wiener-Hopf and in the Hankel operators and belonging to the classes of APp;w, SAPp;w and PAPp;w. It is obtained an invertibility characterization for Wiener-Hopf plus Hankel operators with APp;w symbols. In the cases for which the Fourier symbols of the operators belong to SAPp;w and PAPp;w, it is obtained semi-Fredholm criteria for Wiener-Hopf-Hankel operators as well as formulas for the Fredholm indices of those operators.

Indoor air quality in elementary schools of Lisbon and Aveiro

Tem havido uma preocupação crescente com a qualidade do ar interior (QAI) nas escolas em muitos países. Muitos estudos epidemiológicos têm encontrado diferenças regionais entre ambientes interiores. Apesar da elevada incidência de asma e rinite na população infantil, praticamente nada se sabia sobre a QAI em escolas portuguesas. A percepção dos problemas de QAI é crucial para avaliar os riscos para a saúde e rendimento dos estudantes, e para sugerir meios de reduzir a exposição a poluentes indesejáveis. Neste estudo procurou-se obter as concentrações de poluentes de interesse em estabelecimentos de ensino do 1º ciclo de Lisboa e Aveiro, estimar o estado atual de casos de asma e rinite em escolas primárias da capital, avaliar a influência de diferentes materiais das salas de aula/construção e hábitos escolares na QAI, identificar potenciais fontes de poluentes nos interiores e exteriores das salas de aula e propor medidas mitigadoras. Catorze escolas de Lisboa foram visitadas para obter a caracterização física das construções em termos de estrutura, ventilação, materiais de acabamento, produtos de limpeza, densidade de ocupação e potenciais fontes interiores de poluição. Os estudantes foram questionados sobre os seus hábitos e sintomas respiratórios através de inquéritos do modelo ISAAC (International Study of Asthma and Allergies in Childhood). Durante a primavera, outono e inverno (2008-2010), nas salas de aula e pátios, foram monitorizados, por amostragem passiva, compostos orgânicos voláteis (COVs), carbonilos e dióxido de azoto (NO2). Foram também medidos parâmetros de conforto e níveis de microrganismos. Duas escolas localizadas, uma no centro da cidade e outra na região suburbana, em Aveiro foram estudadas em 2010. Parâmetros de conforto, microrganismos, COVs, NO2, material particulado (PM10) foram medidos no interior e no exterior de ambas escolas. Os iões solúveis, carbono orgânico e elementar (OC e EC), e compostos orgânicos presentes no material particulado foram subsequentemente analisados em laboratório. Uma medida mitigadora - fitoremediação - foi avaliada na escola do centro da cidade de Aveiro em 2011. Os resultados do estudo mostraram que a QAI é pior do que a do ar exterior. Em geral, os níveis de CO2 e dos bioaerosóis excederam os níveis máximos aceitáveis para o conforto dos ocupantes estipulado pelas regulamentações portuguesas. Quase todos os COVs e carbonilos identificados mostraram razões interior/exterior (I/E) maiores que uma unidade, o que demonstra a importante contribuição de fontes interiores em todas as escolas. As razões I/E das concentrações de NO2 nunca excederam a unidade. Os níveis interiores diários de PM10 foram sempre maiores que os exteriores, exceto nos fins de semana. Após a colocação de plantas numa das salas de aula, observou-se uma redução estatisticamente significativa nos níveis de CO2, COVs, carbonilos, PM10, OC, e dos iões nitrato, sulfato, amónia, cálcio e carbonato. A possível redução dos níveis de poluentes no interior após a colocação de plantas pode representar uma solução de baixo custo para reduzir a exposição a muitos compostos, melhorar o rendimento e aumentar o bem estar dos alunos e professores em sala de aula.