Eigenfunctions and fundamental solutions of the fractional Laplace and Dirac operators: the Riemann-Liouville case

In this paper we study eigenfunctions and fundamental solutions for the three parameter fractional Laplace operator $\Delta_+^{(\alpha,\beta,\gamma)}:= D_{x_0^+}^{1+\alpha} +D_{y_0^+}^{1+\beta} +D_{z_0^+}^{1+\gamma},$ where $(\alpha, \beta, \gamma) \in \,]0,1]^3$, and the fractional derivatives $D_{x_0^+}^{1+\alpha}$, $D_{y_0^+}^{1+\beta}$, $D_{z_0^+}^{1+\gamma}$ are in the Riemann-Liouville sense. Applying operational techniques via two-dimensional Laplace transform we describe a complete family of eigenfunctions and fundamental solutions of the operator $\Delta_+^{(\alpha,\beta,\gamma)}$ in classes of functions admitting a summable fractional derivative. Making use of the Mittag-Leffler function, a symbolic operational form of the solutions is presented. From the obtained family of fundamental solutions we deduce a family of fundamental solutions of the fractional Dirac operator, which factorizes the fractional Laplace operator. We apply also the method of separation of variables to obtain eigenfunctions and fundamental solutions.

Eigenfunctions and fundamental solutions of the Caputo fractional Laplace and Dirac operators

In this paper, by using the method of separation of variables, we obtain eigenfunctions and fundamental solutions for the three parameter fractional Laplace operator defined via fractional Caputo derivatives. The solutions are expressed using the Mittag-Leffler function and we show some graphical representations for some parameters. A family of fundamental solutions of the corresponding fractional Dirac operator is also obtained. Particular cases are considered in both cases.

Produção de CDR a partir de resíduos industriais: caso de estudo da Recivalongo

A produção de combustível derivado de resíduos (CDR) resultou de uma decisão política que permitiu a instalação em Portugal de um significativo conjunto de processos, cuja avaliação técnico-económica e ambiental pode já ser feita. Este trabalho faz uma avaliação técnica e ambiental da linha de produção de CDR da Recivalongo. A avaliação técnica consistiu na análise dos caudais de material que entraram na linha de produção, na quantidade de CDR produzido, contabilizando também os gastos de recursos da linha (energia e materiais auxiliares). A avaliação da qualidade de CDR produzido a partir do ensaio laboratorial representou também uma parte muito significativa do trabalho produzido. A avaliação ambiental foi efetuada com base na metodologia da Avaliação de Ciclo de Vida (ACV). Os resultados obtidos permitiram concluir que o processo da Recivalongo transforma 69% do material de entrada, recuperando 2% em metais ferrosos e rejeitando para aterro a restante fração de 29%. As análises efetuadas ao CDR mostraram que apresenta um PCI compreendido entre 17 e 20 MJ/kg; o teor em cloro está compreendido entre 0,2 e 0,8% Conclui-se que neste processo o parâmetro mais difícil de controlar é o teor em cloro no CDR, pois existe uma grande diversidade de resíduos com grandes quantidades de cloro na sua constituição e que por muitas vezes são difíceis de identificar e/ou separar na primeira fase do tratamento dos resíduos. Da análise ciclo de vida efetuada à produção de CDR pode-se afirmar que esta operação de gestão de resíduos apresenta uma mais-valia quando comparada com a deposição dos resíduos em aterro, não sendo a diferença entre destinos tão significativa quanto o esperado. Desta avaliação pode concluir-se que a instalação operou muito abaixo da sua capacidade, sendo esta considerada uma das melhores linhas de produção de CDR a nível nacional.